线性代数论文《矩阵在实际中的应用》Word格式.docx

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线性代数矩阵实际应用

Abstract:

Fromthedevelopmentofmathematics,wecanseethatitcomesfromourlife.Withthedevelopmentofscienceandtechnology,themathismoreandmorebeingusedinourlives,itcanbesaidthatmathematicsandreallifearecloselyrelated.Whilelearningmathknowledgewecannotforgettoapplymathematicalknowledgetoourlife.Intheprocessoflearninglinearalgebra,wefoundthatalgebrahasanindispensablepositioninlifepractice.Inthisarticle,weexploretheapplicationofthematrixinthecosting,populationmobility,encryptionanddecryption,computergraphicstransform.

Keywords:

linearalgebramatrixpracticalapplication

正文：

1、引言

数学作为一门相当重要的学科，在人类发展历史中一直扮演着必不可少的角色，它凝聚了每一代聪明智慧的人们的结晶。

数学应用的领域遍及我们日常生活的每个部分，数学是我们的基本功，是每个人或多或少都应该懂的知识。

数学是一门神奇的学科，它有着迷人的魅力，让一代又一代的数学爱好者为之痴迷，他们在这方面也做出不朽的贡献。

如今，我们将带着好奇的心走进数学领域中的一门有趣的课——《线性代数》，其中我们将对矩阵的应用做简要的介绍。

矩阵是一个大家听起来很陌生的次，但它简单易懂而且在生活中有重要的作用。

下面我们将举例论述矩阵在实际生活中的应用。

2、实际应用举例

2.1生产成本计算

在社会生产管理中经常要对生产过程中产生的很多数据进行统计、处理、分析，以此来对生产过程进行了解和监控，进而对生产进行管理和调控，保证正常平稳的生产以达到最好的经济收益。

但是得到的原始数据往往纷繁杂乱，这就需要用一些方法对数据进行处理，生成直接明了的结果。

在计算中引入矩阵可以对数据进行大量的处理，这种方法比较简单快捷。

例1.某工厂生产三种产品A、B、C。

每种产品的原料费、支付员工工资、管理费和其他费用等见表1，每季度生产每种产品的数量见表2。

财务人员需要用表格形势直观地向部门经理展示以下数据：

每一季度中每一类成本的数量、

每一季度三类成本的总数量、四个季度每类成本的总数量。

表1.生产单位产品的成本（元）

表2.每种产品各季度产量（件）

成本

产品

A

B

C

原料费用

10

20

15

支付工资

30

40

管理及其他费用

季度

春季

夏季

秋季

冬季

2000

3000

2500

2800

4800

3700

3500

4000

解我们用矩阵的方法考虑这个问题。

两张表格的数据都可以表示成一个矩阵。

如下所示：

通过矩阵的乘法运算得到

MN的第一行元素表示了四个季度中每个季度的原料总成本；

MN的第二行元素表示了四个季度中每个季度的支付工资总成本；

MN的第三行元素表示了四个季度中每个季度的管理及其他总成本。

MN的第一列表示了春季生产三种产品的总成本；

MN的第二列表示了夏季生产三种产品的总成本；

MN的第三列表示了秋季生产三种产品的总成本；

MN的第四列表示了冬季生产三种产品的总成本。

对总成本进行汇总，每一类成本的年度总成本由矩阵的每一行元素相加得到，每一季度的总成本可由每一列相加得到。

如下表：

表3.总成本汇总表

全年

原料费

113500

178500

159000

110000

561000

222000

352000

303000

220000

1097000

管理费及

其他

87000

120500

85000

402500

合计

422500

640500

582500

415000

2060500

这样，我们就利用矩阵的乘法把多个数据表汇总成一个数据表。

从而比较直观地反映了该工厂生产的成本。

2.2人口流动问题

例2.假设某个中小城市及郊区乡镇共有40万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：

（1）在这40万就业人员中，目前约有25万人从事农业，10万人从事工业，5万人经商；

（2）在务农人员中，每年约有10%改为务工，10%改为经商；

（3）在务工人员中，每年约有10%改为务农，20%改为经商；

（4）在经商人员中，每年约有10%改为务农，20%改为务工。

现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。

解若用三维向量（xi,yi,zi）T表示第i年后从事这三种职业的人员总数，则已知（x0,y0,z0）T=（25，10，5）T。

而欲求（x1,y1,z1）T，（x2,y2,z2）T并考察在n→∞时（xn,yn,zn）T的发展趋势。

依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为

即：

以（x0,y0,z0）T=（25，10，5）T代入上式，即得:

即一年业人员的人数分别为21.5万10.5万、8万人。

以及

即两年后从事各业人员的人数分别为19.05万、11.1万、9.85万人。

进而推得：

即n年之后从事各业人员的人数完全由决定。

在这个问题的求解过程中，我们应用到矩阵的乘法、转置等，将一个实际问题数学化，进而解决了实际生活中的人口流动问题。

这个问题看似复杂，但通过对矩阵的正确应用，我们成功的将其解决。

不得不说，矩阵是我们解决实际问题的重要工具。

2.3应用矩阵编制Hill密码

密码学在经济和军事方面都起着极其重要的作用。

在密码学中将信息代码称为密码，没有转换成密码的文字信息称为明文，把密码表示的信息称为密文。

从明文转换为密文的过程叫加密，反之则为解密。

现在密码学涉及很多高深的数学知识。

1929年，希尔（Hill）通过矩阵理论对传输信息进行加密处理，提出了在密码学史上有重要地位的希尔加密算法。

下面我们介绍一下这种算法的基本思想。

假设我们要发出“attack”这个消息。

首先把每个字母a，b，c，d……x，y，z映射到数1，2，3，4……24，25，26。

例如1表示a，3表示c，20表示t，11表示k，另外用0表示空格，用27表示句号等。

于是可以用以下数集来表示消息“attack”：

把这个消息按列写成矩阵的形式：

第一步：

“加密”工作。

现在任选一个三阶的可逆矩阵，例如:

于是可以把将要发出的消息或者矩阵经过乘以A变成“密码”（B）后发出。

第二步：

“解密”。

解密是加密的逆过程，这里要用到矩阵A的逆矩

阵A-1这个可逆矩阵称为解密的钥匙，或称为“密匙”。

当然矩阵A

是通信双方都知道的。

即用

从密码中解出明码：

通过反查字母与数字的映射，即可得到消息“attack”。

在实际应用中，可以选择不同的可逆矩阵，不同的映射关系，也可以把字母对应的数字进行不同的排列得到不同的矩阵，这样就有多种加密和解密的方式，从而保证了传递信息的秘密性。

上述例子是矩阵乘法与逆矩阵的应用，将高等代数与密码学紧密结合起来。

运用数学知识破译密码，进而运用到军事等方面。

可见矩阵的作用是何其强大。

2.4计算机图形变换

本学期我们学习了计算机图形学这门基础专业课程，其中接触到很多与矩阵变换有关的知识，这激发了我们的学习兴趣。

下面将简单列举矩阵在这门课中的重要作用。

在计算机中点的坐标用齐次向量坐标来表示，即用n+1维向量来表示n维向量。

如点A（x,y,z）用齐次向量坐标表示为A（x,y,z,1）。

例3：

在二维直角坐标系中有三角形ABC，坐标分别为（2，3），（3，1），（1，1），现将其向x轴正方向平移2个单位，向y轴正方向平移2个单位，求平移后各点对应的齐次坐标及相应的变换矩阵?

解：

先写出ABC三点所对应的齐次坐标，A（2，3,1）,B（3,1,1）,C（1,1,1）

平移的矩阵变换式为

此处Tx=2Ty=2,则变换矩阵为

经上述变换后，A点齐次坐标为（4，5，1）B点齐次坐标为（5,3,1）

C点齐次坐标为（3，3，1）。

可以看出图形的一种变换对应着一个矩阵运算，也就是说二维图形变换可以表示为图形点集的齐次坐标矩阵与某一变换矩阵相乘的形式。

我们可以定义以下二维变换矩阵：

这样，二维空间中的某点的二维变换可以表示成点的规范化齐次坐标矩阵与三维齐次坐标变换矩阵相乘的形式，即

根据在变换中的具体作用，进一步可以将分成4个子矩阵。

矩阵的作用是对点进行比例、对称、旋转和错切变换。

矩阵的作用是对点进行平移变换。

矩阵的作用是进行透视投影变换。

矩阵的作用是产生整体比例变换。

3、结束语

通过这次论文的举例，加深了我们对矩阵的认识，深刻理解了矩阵在实际生活中的应用，矩阵在实际生活中的应用还有很多，在次就不一一列举，以后在日常生活中会经常接触。

这次通过对矩阵的学习不仅加深了对矩阵的认识，而且在计算机图形学中也加强了对矩阵变换的应用，使我们对其矩阵变换过程有了更好的理解。

相信在以后的学习过程中，我们能更有兴趣，热爱数学，情迷数学。

参考文献

[1]上海交通大学数学系.线性代数（第二版）[M].北京：

科学出版社，2007.

[2]陆枫，何云峰.计算机图形学基础[M].北京：

电子工业出版社，2008.

[3]郭龙先，张毅敏，何建琼.高等代数[M].北京：

科学出版社，2011

分工情况

2.1，2.2部分由***完成；

2.3，2.4部分由***完成。