完整word版完美版圆锥曲线知识点总结Word文档下载推荐.docx

资源描述

完整word版完美版圆锥曲线知识点总结Word文档下载推荐.docx

《完整word版完美版圆锥曲线知识点总结Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整word版完美版圆锥曲线知识点总结Word文档下载推荐.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

完整word版完美版圆锥曲线知识点总结Word文档下载推荐.docx

叫椭圆的中心;

x0，得yb，则B1（0,b）,B2（0,b）是椭圆与y轴的两个交点。

同理令y0得xa，即A（a,0）,

A（a,O）是椭圆与x轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段AA、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长

半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：

椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；

在RtOB2F2中，|OB2|b,|OF2|c,|B2F2|a,且|OF2|2|B2F2|2|OB2|2，即c2a2b2；

4离心率：

椭圆的焦距与长轴的比e叫椭圆的离心率。

：

ac00e1，且e越接近1,c就

越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；

反之，e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。

当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a2。

2.双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PRI|PF2II2a）。

注意：

①式中是差的绝对值，在02aIRF2I条件下；

|PF,||PF2|2a时为双曲线的一支；

|PF2|IPF,I2a时为双曲线的另一支（含F,的一支）；

②当2a|F,F2|时，||PF,||PF2||2a表示两条射

焦距。

（2）双曲线的性质

xa,xa即双曲线在两条直线xa的外侧。

双曲线务葺1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点ab

是双曲线务每1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

以令y0得xa，因此双曲线和x轴有两个交点A（a,0）A2（a,0），他们是双曲线令—1的顶点。

令x0,没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：

双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。

2）实轴：

线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。

虚轴：

线段BB2叫做双

曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：

注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。

从

图上看，双曲线爲爲1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

5等轴双曲线：

1）定义：

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

定义式：

ab；

2）等轴双曲线的性质：

（1）渐近线方程为：

yx；

（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。

亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征

b，则等轴双曲线可以设为：

xy（0），当0时交点在x轴，

0时焦点在y轴上。

轴也变了。

抛物线的概念

抛物线的焦点，定直线I叫做抛物线的准线。

方程y2pxp0叫做抛物线的标准方程。

它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（卫，0），它的准线方程是x-；

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其

他几种形式：

222

y2px,x2py,x2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如

F表:

标准方程

y22px

（pO）

（PO）

（P

2py

O）

x22py

图形

■

厶

3kt咳

焦点坐标

（-,O）

（亍,o）

（o£

准线方程

x卫

y舟

范围

对称性

x轴

y轴

顶点

（O,O）

离心率

说明：

（1）通径：

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；

（2）抛物线的几何性质的特点：

有一个顶

点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；

（3）注意强调p的几何意义：

是焦点到准线

的距离。

4.高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

一、方程的曲线：

在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x,y）=O的

实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上

的点，那么这个方程叫做曲线的方程；

这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：

若曲线C的方程是f（x,y）=0，则点Po（xo,y0）在曲线C上f（xo,yo）=0;

点Po（xo,yo）不在曲线C上f（xo,yo）丰O。

两条曲线的交点：

若曲线Ci,C2的方程分别为fi（x,y）=o,f2（x,y）=O,则点Po（xo,yo）是C,C2的交点

{fl（xo,yo）O方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；

方程组没有实数解，曲线就没

f2（xo,yo）O

有交点。

二、圆：

1、定义：

点集{M|

2、方程：

（1）标准方程

0M|=门

圆心在

-,其中定点0为圆心，定长r为半径.

c（a,b），半径为r的圆方程是（x-a）+（y-b）=r

圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x+y2=r2

⑵一般方程：

①当D2+W-4F>

0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为（—,―）半径

rDE22

是DE4F。

配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x+—）2+（y+—）2=DE-4F

2当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-D,-—）；

3当D2+E2-4FV0时，方程不表示任何图形.

（3）点与圆的位置关系已知圆心C（a,b）,半径为r,点M的坐标为（xo,y0），则丨MC|Vr点M在圆C内，丨

MC|=r点M在圆C上，|MC|>

r点M在圆C内，其中丨MC|=,x0-a）2（y0-b）2。

（4）直线和圆的位置关系：

①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：

直线与圆相交有两个公共点；

直

线与圆相切有一个公共点；

直线与圆相离没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定：

（i）判别式法；

（ii）利用圆心C（a,b）到直线Ax+By+C=0的距离dAaBbC

VA2B2

与半径r的大小关系来判定。

三、圆锥曲线的统一定义:

平面内的动点P（x,y）到一个定点F（c,0）的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e（e

0）,则动点的轨迹叫做圆锥曲线。

其中定点F（c,0）称为焦点，定直线I称为准线，正常数e称为离心率。

当0

vev1时，轨迹为椭圆；

当e=1时，轨迹为抛物线；

当e>

1时，轨迹为双曲线。

四、椭圆、双曲线、抛物线:

椭圆

双曲线

抛物线

1.到两定点Fl,F2的距离之差的

绝对值为定值2a（0<

2a<

|F1F2I）

的点的轨迹

2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>

1）

轨迹条件

点^集:

点集：

（{M||MF+|MF|

=2a,|F1F2|V2a}.

{M||MF|-|MF|.

=±

2a,|F2F2|>

2a}.

点集｛M||MF|=点M到直

线I的距离｝.

方程

标准

方程

Xr51（ab>

0）ab

22Xy

PZ_1（a>

0,b>

0）

y22px

参数

xacosybsin

（参数为离心角）

xasecybtan

X2pt（t为参数）y2pt

—axa,—byb

|X|a,yR

中心

原点0（0,0）

（a,0）,（—a,0）,

（0,b）,（0,—b）

（a,0）,（—a,0）

（0,0）

对称轴

x轴，y轴；

长轴长2a,短轴长2b

实轴长2a,虚轴长2b.

X轴

焦占

八'

、八\、

Fi（c,0）,F2（—c,0）

F1（c,0）,F2（—c,0）

准线

亠aX=土—

准线垂直于长轴，且在椭圆

外•

准线垂直于实轴，且在两顶点的

内侧.

x=-卫

准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.

焦距

2c（c=Ja2b2）

12.2

2c（c=^ab）

ec（0e1）

e-（e1）a

e=1

【备注1】双曲线:

⑶等轴双曲线：

双曲线X2y2a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率e、、2.

⑷共轭双曲线：

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线

它的双曲线方程可设为乞

b2（0）.

【备注2】抛物线：

（1）抛物线

y2=2px（p>

0）的焦点坐标是（E,0），准线方程x=-—，开口向右；

抛物线y2=-2px（p>

0）的焦点坐22

，准线方程x=P，开口向左；

抛物线x2=2py（p>

0）的焦点坐标是（0,卫），准线方程y=-卫，开

X。

；

抛物线y=-2px（p>

0）上的点M（xO,yO）

叫做焦半径）.

五、坐标的变换:

（i）坐标变换：

在解析几何中，把坐标系的变换（如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向）叫做坐标变换.实施

坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程

（2）坐标轴的平移：

坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

叫做平移（或移轴）公式•

（4）中心或顶点在（h,k）的圆锥曲线方程见下表:

焦占

八、、八、、

焦线

（x-h）2|（y-k）2=1

2.21

（±

c+h,k）

a-x=±

—+h

x=h

y=k

（x-h）2+（y-k）21

.22=1ba

（h,±

c+k）

a,y=±

—+kc

（x-h）2（y-k）2=1

丄a,

x=±

—+k

2.2

（y-k）2（x-h）2-

2.21ab

c+h）

（y-k）=2p（x-h）

（-+h,k）

x=-—+h

（y-k）=-2p（x-h）

（--+h,k）

x=-^+h

（x-h）2=2p（y-k）

（h,卫+k）

y=-—+k

（x-h）=-2p（y-k）

（h,-&

+k）

y=^+k

六、椭圆的常用结论:

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的

两个端点•

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切

（a>

0）的焦半径公式

椭圆耸

IMF1Iaexo,IMF2|aexo（F,c,0）,F2（c,0）M（x°

y°

））.

9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点

F的椭圆准线于MN两点，贝UMFLNF.

10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,Ai、A为椭圆长轴上的顶点，AP和AQ交于点MAP和AQ

11.AB是椭圆—

交于点N,贝UMFLNF.

1的不平行于对称轴的弦，M（X0,y°

）为AB的中点，贝yk°

MkAB

Kab

bX0

ay。

【推论】：

贝Htan—cot—.

ac22

4、设椭圆务占1（a>

0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PFF2中，记

sinc

F1PF2,PF1F2,F1F2P，则有e.

sinsina

22_

5、若椭圆令七1（a>

0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L,则当0vew21时，可在椭圆上

求一点P,使得PR是P到对应准线距离d与PF>

的比例中项.

6、P为椭圆令岭1（a>

0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，贝U

2a|AF2||PA||PF1|2a|AF11,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立

7、椭圆

（xXo）

（yyo）

1与直线AxByC0有公共点的充要条件是

Bb（Axo

ByoC）.

已知椭圆—

2yb2

1（a>

0）,O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且

OPOQ.

（1）

|OP|

|OQ|

丄；

（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为4^；

（3）Sopq

bab

2b2

的最小值是—a2.

9、过椭圆

（a>

0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于

M,N两点,

弦MN的垂直平分线交

x轴于P,

则四

|MN|

10、已知椭圆

0）,A、B是椭圆上的两点，线段

AB的垂直平分线与x轴相交于点

P（x°

O）,

则a_A_

11、设P点是椭圆

2x~2a

0）上异于长轴端点的任一点

FF2为其焦点记F1PF2

，则

⑴|PF1||PF2|

』.

（2）

1cos

PF1F2

b2tan

12、设A、

B是椭圆笃

0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB

PBA

BPA

e分别是椭圆的半焦距离心率，则有

2ab|cos|⑵

（1）|PA|a2c2cos2

tantan

1e2

•⑶

SPAB

b^cot

13、已知椭圆

1（a>

0）的右准线I与x轴相交于点

E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、

B两点，点C在右准线|上，且BCX轴，则直线AC经过线段EF

14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，

的中点.

则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直

15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直

16、椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.

（注：

在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点•）

17、椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18、椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项•

七、双曲线的常用结论：

1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点•

3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交•

4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切•（内切：

P在右支；

外切：

P在左支）

|MF11exoa,|MF2〔ex°

a；

当M（x°

）在左支上时，IMFjexoa,|MF2|exoa。

9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于MN两点，贝UMFLNF.

10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A、A为双曲线实轴上的顶点，AP和AQ交于点M,A2P和AQ交于点N,贝UMF丄NF.

12、若P）（xo,yo）在双曲线

1（a>

0,b>

0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是

XoX

yoy

13、若Po（x）,yo）在双曲线

~2a

1（a>

0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

2X~2a

~Ta

即Kab

b2Xo

ayo

1、双曲线X,

笃1（a>

0）的两个顶点为A1（a,0）,A2（a,0）,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时

A1P1与AP2交点的轨迹方程是笃

6、P为双曲线一

|AF2|2a|PA|

7、双曲线X?

0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是

“22

C2.

已知双曲线

1（b>

0）,O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且

OQ.

|OQ|2

2；

（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为字%;

（3）Sopq

bba

的最小值是乎J

b2a2

9、过双曲线务占

0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN勺垂直平分线交

1（a>

0,b>

0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x°

2ab|cos|

c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有⑴|PA|22_L

accos|

⑵tan

tan1

e.（3）SPAB,2

c2,2

2ab丄

cot

的右准线I与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相

13、已知双曲线务

71（a>

0）

交于AB两点,点C在右准线I上，且BC

X轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线

15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直

16、双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.

在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点）.

17、双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

18双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项

八、抛物线的常用结论：

①ay2bycx顶点（4acbb）.4a2a

②y22px（p

0）则焦点半径pFx千22py（p

y—

0）则焦点半径为

③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的

④y22px（或x22py）的参数方程为X2Pt（或X2Pt2）（t为参数）.

y2pty2pt

2小

y2px

x2py

▲

八'

、八、、

F（*,0）

F（号，。

）

F（。

自

F（0,吵

x号

x0,yR

xR,y

展开阅读全文