数列综合练习题及答案.docx

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数列综合练习题及答案

数列的综合问题

★重难点突破★

1、教学重点：

会利用函数相关知识以及函数的解题思想解决数列的问题。

掌握数列解题的基本思想及解题方法。

2、教学难点：

会利用函数相关知识以及函数的解题思想解决数列的问题。

★热点考点题型探析★

例1、设数列满足,

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：

对于一切正整数n,

例2、已知数列的前项和为，且满足：

，N*，.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若存在N*，使得，，成等差数列，试判断：

对于任意的N*，且，，，是否成等差数列，并证明你的结论.

解：

（Ⅰ）由已知：

得，两式相减得，又

所以当时数列为：

，0，0，0，…，

当时，由已知，所以，，于是

所以数列成等比数列，即当时

综上数列的通项公式为

（Ⅱ）对于任意的，且，，，成等差数列，证明如下：

当时由（Ⅰ）知，此时，，成等差数列；

当时，若存在N*，使得，，成等差数列，则2=+

∴，由（Ⅰ）知数列的公比，于是对于任意的N*，且，

；所以2=+即，，成等差数列；

综上：

对于任意的，且，，，成等差数列。

例3、已知两个等比数列，，满足，，，.

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若数列唯一，求的值.

【解析】

（1）设的公比为，则，，

，由，，成等比数列得，

即，解得，

所以的通项公式或.

（2）设的公比为，则由，得

由得，故方程（*）有两个不同的实根.

由唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得.

例4、等比数列的各项均为正数，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设求数列的前n项和.

解：

（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。

由条件可知a>0,故。

由得，所以。

故数列{an}的通项式为an=。

（Ⅱ ）=

故

所以数列的前n项和为

例5、已知数列和的通项公式分别为，（.将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列

（1）写出；

（2）求证：

在数列中，但不在数列中的项恰为；

（3）求数列的通项公式.

解：

⑴；

⑵①任意，设，则，即

②假设（矛盾），∴

∴在数列中、但不在数列中的项恰为。

⑶，

，，

∵

∴当时，依次有，……

∴

例6、已知数列满足：

且（）

（Ⅰ）求证：

数列为等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）证明：

（）。

解：

（Ⅰ）由题得：

an+1（an+n）=2（n+1）an，即

故即数列为等比数列，……3分

，……7分

（Ⅱ）由上知……………………………………8分

。

例7、已知公差不为0的等差数列的首项为，且，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）对，试比较与的大小．

（Ⅰ）解：

设等差数列的公差为，由题意可知

即，从而

因为故通项公式

（Ⅱ）解：

记

所以

从而，当时，；当

例8、在各项均为负数的数列{an}中，已知点（an，an＋1）（n∈N*）在函数y＝x的图象上，且a2·a5＝.

（1）求证：

数列{an}是等比数列，并求出其通项；

（2）若数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝an＋n，求Sn.

[解析]　

（1）因为点（an，an＋1）（n∈N*）在函数y＝x的图象上，

所以an＋1＝an，即＝，故数列{an}是公比q＝的等比数列，

因为a2a5＝，则a1q·a1q4＝，即a5＝3，由于数列{an}的各项均为负数，则a1＝－，

所以an＝－n－2.

（2）由

（1）知，an＝－n－2，bn＝－n－2＋n，所以Sn＝3·n－1＋.

例9、（2011·黑龙江）已知a1＝2，点（an，an＋1）在函数f（x）＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….

（1）证明数列{lg（1＋an）}是等比数列；

（2）设Tn＝（1＋a1）（1＋a2）…（1＋an），求Tn及数列{an}的通项．

[解析]

（1）由已知an＋1＝a＋2an，∴an＋1＋1＝（an＋1）2.∵a1＝2，∴an＋1>1，两边取对数得：

lg（1＋an＋1）＝2lg（1＋an），即＝2.∴{lg（1＋an）}是公比为2的等比数列．

（2）由

（1）知lg（1＋an）＝2n－1·lg（1＋a1）＝2n－1·lg3＝lg32n－1∴1＋an＝32n－1（*）

∴Tn＝（1＋a1）（1＋a2）…（1＋an）＝320·321·…·32n－1＝31＋2＋22＋…＋2n－1＝32n－1.

由（*）式得an＝32n－1－1.

例10、2011·湖南长沙一中月考）已知f（x）＝mx（m为常数，m>0且m≠1）．设f（a1），f（a2），…，f（an）…（n∈N）是首项为m2，公比为m的等比数列．

（1）求证：

数列{an}是等差数列；

（2）若bn＝anf（an），且数列{bn}的前n项和为Sn，当m＝2时，求Sn；

（3）若cn＝f（an）lgf（an），问是否存在正实数m，使得数列{cn}中每一项恒小于它后面的项？

若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

[解析]

（1）由题意f（an）＝m2·mn－1，即man＝mn＋1.

∴an＝n＋1，∴an＋1－an＝1，∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列．

（2）由题意bn＝anf（an）＝（n＋1）·mn＋1，

当m＝2时，bn＝（n＋1）·2n＋1，∴Sn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋（n＋1）·2n＋1①

①式两端同乘以2得，2Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋（n＋1）·2n＋2②

②－①并整理得，

Sn＝－2·22－23－24－25－…－2n＋1＋（n＋1）·2n＋2＝－22－（22＋23＋24＋…＋2n＋1）＋（n＋1）·2n＋2

＝－4－＋（n＋1）·2n＋2＝－4＋22（1－2n）＋（n＋1）·2n＋2＝2n＋2·n.

（3）由题意cn＝f（an）·lgf（an）＝mn＋1·lgmn＋1＝（n＋1）·mn＋1·lgm，

要使cn

①当m>1时，lgm>0，所以n＋1m对一切n∈N*成立，因为＝1－的最小值为，所以0

综上，当01时，数列{cn}中每一项恒小于它后面的项．

例11、数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n（n＋1）（n∈N*）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足：

an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式；

[解析]

（1）当n＝1时，a1＝S1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n（n＋1）－（n－1）n＝2n，知a1＝2满足该式

∴数列{an}的通项公式为an＝2n.

（2）an＝＋＋＋…＋（n≥1）①

∴an＋1＝＋＋＋…＋＋②

②－①得，＝an＋1－an＝2，bn＋1＝2（3n＋1＋1），

故bn＝2（3n＋1）（n∈N）．

（3）cn＝＝n（3n＋1）＝n·3n＋n，

∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝（1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n）＋（1＋2＋…＋n）

令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，①

则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②

①－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1

∴Hn＝，

∴数列{cn}的前n项和

Tn＝＋.

3）令cn＝（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn.

综合练习

一、选择题

1．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于（　　）

A．40　　　B．42　　　C．43　　　D．45

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是（　　）

A.　　　B．1　　　C．2　　　D．3

3.已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1（n∈N*）且a2＋a4＋a6＝9，则log（a5＋a7＋a9）的值是（　　）

A．－5B．－C．5D.

4.已知{an}为等差数列，{bn}为正项等比数列，公式q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，则（　　）

A．a6＝b6B．a6>b6

C．a6

5.已知a>0，b>0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是（　　）

A．ab＝AGB．ab≥AG

C．ab≤AGD．不能确定

6.各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为（　　）

A.B.C.D.或

7.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋1＝|an－an－1|（n≥2），则该数列前2011项的和等于（　　）

A．1341B．669C．1340D．1339

8.数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为（　　）

A.B．4C．2D.

9.已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的最大值n为（　　）

A．11B．19C．20D．21

10.在等差数列{an}中，其前n项和是Sn，若S15>0，S16<0，则在，，…，中最大的是（　　）

A.B.C.D.

11.将n2（n≥3）个正整数1,2,3，…，n2填入n×n方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记f（n）为n阶幻方对角线上数的和，如右表就是一个3阶幻方，可知f（3）＝15，则f（n）＝（　　）

8

1

6

3

5

7

4

9

2

A.n（n2＋1）B.n2（n＋1）－3

C.n2（n2＋1）D．n（n2＋1）

12.若数列{an}满足：

an＋1＝1－且a1＝2，则a2011等于（　　）

A．1B．－C．2D.

13.数列{an}是等差数列，公差d≠0，且a2046＋a1978－a＝0，{bn}是等比数列，且b2012＝a2012，则b2010·b2014＝（　　）

A．0B．1C．4D．8

14.设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10＝（　　）

A．1033B．1034C．2057D．2058

15.在圆x2＋y2＝10x内，过点（5,3）有n条长度成等差数列的弦，最短弦长为数列{an}的首项a1，最长弦长为an，若公差d∈，那么n的取值集合为（　　）

A．{4,5,6}B．{6,7,8,9}

C．{3,4,5}D．{3,4,5,6}

16.在数列{an}中，an＋1＝an＋a（n∈N*，a为常数），若平面上的三个不共线的非零向量，，满足＝a1＋a2010，三点A、B、C共线且该直线不过O点，则S2010等于（　　）

A．1005B．1006C．2010D．2012

二、填空题

1.已知1，x1，x2,7成等差数列，1，y1，y2,8成等比数列，点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中垂线方程是________．

2.已知正项数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，若以（an，Sn）为坐标的点在曲线y＝x（x＋1）上，则数列{an}的通项公式为________．

3.已知α∈∪，且sinα，sin2α，sin4α成等比数列，则α的值为________．

4.秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an