二次函数学案(全章).doc
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北师大版二次函数学案
第1课时二次函数的概念
【学习目标】1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；
2．探索并归纳二次函数的定义；
3．能够表示简单变量之间的二次函数关系。
【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。
【课时类型】概念课
【学习过程】
一、学习准备
1．函数的定义：
在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称是的函数，其中是自变量，是因变量。
2．一次函数的关系式为y=（其中k、b是常数，且k≠0）；正比例函数的关系式为y＝（其中k是的常数）；反比例函数的关系式为y=（k是的常数）。
二、解读教材——数学知识源于生活
3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。
现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。
根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。
假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有棵橙子树，这时平均每棵树结个橙子，如果果园橙子的总产量为y个，那么y=。
4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。
那么你能写出两年后的本息和y（元）的表达式（不考虑利息税）吗？
。
5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？
注意：
（1）关于x的代数式一定是整式，其中a，b，c为常数且a≠0；
（2）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项哟！
一般地，形如y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数。
它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。
例1下列函数中，哪些是二次函数？
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
即时练习：
下列函数中，哪些是二次函数？
（1）
（2）（3）
（4）（5）（6）
三、挖掘教材
6．对二次函数定义的深刻理解及运用
例2若函数是二次函数，求k的值。
分析：
x的最高次数等于2，即k2-3k+2=2，求出k的值即可。
解：
即时练习：
若函数是二次函数，则k的值为。
四、反思小结
1．我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。
2．定义：
一般地，形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数。
3．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的几种不同表示形式：
（1）y=ax²（a≠0）；
（2）y=ax²+c（a≠0且c≠0）；（3）y=ax²+bx（a≠0且b≠0）。
4．二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_____，且______项系数不为_____的整式。
【达标测评】
1．下列函数不属于二次函数的是（）
A．y=（x－1）（x+2） B．y=（x+1）2C．y=2（x+3）2－2x2 D．y=1－x2
2．在边长为6cm的正方形中间剪去一个边长为xcm（x<6）的小正方形，剩下的四方框形的面积为y，则y与x之间的函数关系是。
3．用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S（m²）与矩形一边长a（m）之间的关系式是，它是函数。
4．正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，则y与x之间的函数表达式为。
5．当m=时，是二次函数；若函数是二次函数，则m=。
6．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c都是常数）：
当a时，它是二次函数；当a，b时，它是一次函数；当a，b，c时，它是正比例函数。
7．若函数y=（k2－4）x2+（k+2）x+3是二次函数，则k。
第2课时二次函数y＝ax2的图象与性质
【学习目标】1．能够利用描点法做出函数y＝ax2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2的性质；
2．理解二次函数y＝ax2中a对函数图象的影响。
【学习重点】经历探索二次函数y＝ax2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。
【学习难点】能够利用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2的性质。
【学习过程】
一、学习准备
1．正比例函数y=kx（k≠0）是图像是。
2．一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是。
3．反比列函数y=（k≠0）的图像是。
4．当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤是：
，，。
二、解读教材
x
y
O
5．试作出二次函数y＝x2的图象。
（1）画出图象：
①列表：
（注意选择适当的x值，并计算出相应的y值）
x
……
……
y＝x2
……
……
②描点：
（在右图坐标系中描点）
③连线：
（应注意用光滑的曲线连接各点）
（2）根据图像，进行小结：
①y＝x2的图像是，且开口方向是。
这就是回答最值的标准格式。
②它是对称图像，对称轴是轴。
在对称轴的左侧（x>0）,y随x的增大而；在对称轴的右侧（x<0），y随x的增大而。
③图像与对称轴有交点，称为抛物线的顶点，从图中可以看出也是图像的最低点，
x
y
O
此时，坐标为（，）。
④因为图像有最低点，所以函数有最值，当x=0时，y最小=。
6．变式训练1作出二次函数y＝-x2的图象。
x
……
……
y＝-x2
……
……
小结：
①y＝-x2的图像是，且开口向。
②对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：
在对称轴左侧，y随x的增大，在对称轴的右侧，y随x的增大。
③顶点坐标是：
（，），且从图像看出它有最点，所以函数有最值。
当x=0时，。
x
y
O
7．变式训练2作出y＝2x2，y＝0.5x2的图像。
x
y＝2x2
y=0.5x2
三、挖掘教材
8．根据上面的图象，从图象的开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标、最值等五个方面进行归纳。
表达式
草图
开口
对称轴
顶点
最值
增减性
x>0
x<0
y=ax2（a>0）
y=ax2（a<0）
同时，a决定图象在同一直角坐标系中的开口方向，|a|越小图象开口。
9．例已知：
抛物线，当x>0时，y随x的增大而增大，求m的值。
分析：
①函数的图象是抛物线，则它是二次函数，所以m2+m-10=2，且m≠0；
②当x>0时，y随x的增大而增大，所以m>0。
解：
由题意得：
解得：
又∵当x>0时，y随x的增大而增大，所以m>0。
∴m=3
10．已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8），
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
四、反思小结
二次函数的y＝ax2（a≠0）的图象与性质：
五个方面理解：
，，，，。
【达标测评】
1．抛物线y=2x2的顶点坐标是，对称轴是，在侧，y随着x的增大而增大；在侧,y随着x的增大而减小。
当x=时，函数y的值最小,最小值是。
抛物线y=2x2的图象在方（除顶点外）。
2．函数y＝x2的顶点坐标为，若点（a，4）在其图象上，则a的值是。
3．函数y＝x2与y＝-x2的图象关于对称，也可以认为y＝-x2是函数y＝x2的图象绕旋转得到的。
4．求出函数y=x+2与函数y＝x2的图象的交点坐标。
5．若a>1，点（a-1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y＝x2的图象上，判断y1，y2，y3的大小关系是。
第3课时二次函数y＝ax2+k的图象与性质
【学习目标】1．会用描点法作出函数y＝ax2+k的图象，能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2+k的性质；
2．理解二次函数y＝ax2+k中a和k对函数图象的影响；
3．理解二次函数y＝ax2与y＝ax2+k的关系。
【学习重点】理解二次函数y＝ax2+k的性质。
【学习难点】理解二次函数y＝ax2与y＝ax2+k的关系。
【学习过程】一、学习准备1．画出两条抛物线的草图并填空。
抛物线
y＝x2
y＝-x2
开口方向
对称轴
增减性
在对称轴左侧，y随x的增大而。
在对称轴右侧，y随x的增大而。
顶点坐标
最值
当x=0时，ymax=。
x
y
O
x
y
O
二、解读教材2．用描点法作出二次函数y＝2x2+1的图像。
x
……
0
……
y＝2x2+1
……
……
小结：
①y＝2x2+1的图像是，且开口向。
②对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：
在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大而。
③顶点是：
（，），且从图像看它
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