二元一次方程组竞赛题集Word格式.docx
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时，方程组无解。
（∵两个方程是矛盾的）
③当a1
（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：
c1b2
c2b1
x
a2b1
a1b2
（这个解可用加减消元法求得）
c2a1
c1a2
y
2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按
二元一次方程整数解的求法进行。
3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解
含待定系数的不等式或加以讨论。
（见例2、3）
例题
5xy7
例1.选择一组a,c值使方程组1.有无数多解，2.无解，3.有唯一的
ax2yc
解
【例2】解方程组
【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系
数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否
为零.
解：
由①，得y=4－mx，③
把③代入②，得2x+5（4－mx）=8，
解得（2－5m）x=-12，当2－5m＝0，
即m＝时，方程无解，则原方程组无解.
当2－5m≠0，即m≠时，方程解为
将代入③，得
故当m≠时，
原方程组的解为
例3.a取什么值时，方程组
例4.m取何整数值时，方程组
a
5x
3y
的解是正数？
31
2xmy4
的解x和y都是整数？
x4y1
二元一次方程组的特殊解法
1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。
这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。
2、灵活消元
（1）整体代入法
1
x2
1.解方程组4
3
2x
（2）先消常数法
4x
2.解方程组
2y
15
2
3x
（3）设参代入法
x3y
3.解方程组
4:
3
x:
y
（4）换元法
xy
4.解方程组2
6
3x
4xy
（5）简化系数法
5.解方程组4x3y
3x4y
4
课堂练习
1．不解方程组，判定下列方程组解的情况：
x2y3
2x
y3
5y
①
②
2y3
③
5y
3x6y9
4x
2．a取哪些正整数值，方程组
x2y5a
3x4y2a
的解x和y都是正整数？
xkyk
3．要使方程组的解都是整数，k应取哪些整数值？
x2y1
二元一次方程组应用探索
【知识链接】
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
（1）审：
通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；
（2）找：
找出能够表示题意两个相等关系；
（3）列：
根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
（4）解：
解这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答：
在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.
二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，
大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：
一、数字问题
例1一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；
如果交换十位上的数与个位
上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．
分析：
设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其
之间的关系可用下表表示：
十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系
原两位数xy10x+y10x+y=x+y+9
新两位数yｘ10y+x10y+x=10x+y+27
10xyxy9
14．
解方程组
，得
，因此，所求的两位数是
10yx10xy27
点评：
由于受一元一次方程先入为主的影响，
不少同学习惯于只设一元，
然后列一元一
次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，
如果
直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于
x的方程．一
般地，与数位上的数字有关的求数问题，
一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程
组解之．
二、利润问题
例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利
20%；
如果打八折出售可以盈利
10元，
问此商品的定价是多少？
商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为
x元，进价为
y元，则打九折时的卖出价为
0.9x元，获利（0.9x-y）元，因此得方程0.9x-y=20%y；
打八折时
的卖出价为
0.8x元，获利（0.8x-y）元，可得方程0.8x-y=10.
0.9xy20%y
200
10
，解得
，
0.8xy
150
因此，此商品定价为
元．
商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，
不要误为是相对于定价或卖出价．
利
润的计算一般有两种方法，一是：
利润
=卖出价-进价；
二是：
利润=进价×
利润率（盈利百分
数）．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．
三、配套问题
例3某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓
25个或螺母
20个，如果一
个螺栓与两个螺母配成一套，
那么每天安排多名工人生产螺栓，
多少名工人生产螺母，
才能
使每天生产出来的产品配成最多套？
要使生产出来的产品配成最多套，
只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，
根据
题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：
每天生产的螺栓数
×
2=每天生产的螺母数×
1．因
此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓
25ｘ个，螺母
20ｙ个，依题
意，得
120
20
50x
，解之，得
．
220y1
100
故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母．
产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好
配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关
系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：
（1）“二合一”问题：
如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等
甲产品数乙产品数
于乙产品数的ａ倍，即；
ab
（2）“三合一”问题：
如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种
甲产品数乙产品数丙产品数
产品数应满足的相等关系式是：
．
abc
四、行程问题
例4在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，
B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时
以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令
后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就
被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶
上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？
【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则
y120
40
80
，整理，得
因此，巡逻车的速度是
80千米/时，犯罪团伙的车的速度是
40千米/时．
“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存
在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：
“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；
“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．
五、货运问题
典例5某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中
甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重
和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？
“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则
y300
300
6x
2y1200
600
因此，甲、乙两重货物应各装
吨．
由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注
意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或
两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．
六、工程问题
例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服
装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内
只能完成订货的
4；
现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，
每天可生产这种工作服200
5
套，这样不仅比规定时间少用
1天，而且比订货量多生产25
套，求订做的工作服是几套？
要求的期限是几天？
设订做的工作服是
x套，要求的期限是
y天，依题意，得
150y
3375
200y
1x
25
18
工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时
间×
工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷
工作效率，工作效率=工作量÷
工作时
间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1表”示总工作量．
【例7】某种商品价格为每件３３元，某人身边只带有２元和５元两种面值的人民币
各若干张，买了一件这种商品.若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出２元和５元钱
的张数）？
哪种付款方式付出的张数最少？
【思考与分析】本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解.我们先找出
问题中的数量关系，再找出最主要的数量关系，构建等式.然后找出已知量和未知量设元，
列方程组求解.
最后，比较各个解对应的x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少.
设付出２元钱的张数为x，付出５元钱的张数为y，则x，y的取值均为自然数.依
题意可得方程：
2x+5y=33.
因为5y个位上的数只可能是０或５，
所以2x个位上数应为３或８.
又因为２x是偶数，所以２x个位上的数是８，从而此方程的解为：
由得x+y=12；
由得x+y=15.所以第一种付款方式付
出的张数最少.
答：
付款方式有３种，分别是：
付出４张２元钱和５张５元钱；
付出９张２元钱和
３张５元钱；
付出１４张２元钱和１张５元钱.其中第一种付款方式付出的张数最少.
【例8】某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门，
其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了训练：
当同时
开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；
当同时开启一道正门和一道侧
门时，4分钟可以通过800名学生.
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？
（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％.安全检查规定，在
紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室
最多有45名学生，问：
建造的这4道门是否符合安全规定？
请说明理由.
【思考与解】
（1）设平均每分钟一道正门可通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生.
根据题意，得
所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人，一道侧门可以通过学生80人.
（2）这栋楼最多有学生4×
8×
45=1440（人）.拥挤时5分钟4道门能通过
5×
2×
（120+80）×
（1-20%）=1600（人）.
因为1600>
1440，所以建造的4道门符合安全规定.
答:
平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生；
建造的这4道门
符合安全规定.
【例9】某水果批发市场香蕉的价格如下表：
张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，请问张强第一次、
第二次分别购买香蕉多少千克？
【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克，我们可以从香蕉
的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分
三段，分别是6元、5元、4元.相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们可以假设张强两次
买的香蕉的千克数分别在某段范围内，利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购
买香蕉的千克数.
设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克．由题意，得0<
x<
25．
①当0<
x≤20，y≤40时，由题意，得
②当0<
x≤20，y>
40时，由题意，得（与0<
x≤20，y≤40相矛
盾，不合题意，舍去）．
③当20<
25时，25<
y<
30．此时张强用去的款项为5x+5y=5（x+y）=5×
50=250<
264（不
合题意，舍去）.
综合①②③可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉36千克.
张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克.
【反思】我们在做这道题的时候，一定要考虑周全，不能说想出了一种情况就认为万事大
吉了，要进行分类讨论，考虑所有的可能性，看有几种情况符合题意.
【例10】用如图１中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图２的竖式和横式两
种无盖纸盒.现在仓库里有１０００张正方形纸板和２000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？
【思考与分析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数1000，长方形纸板的总数2００
０，未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数.而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定
数量的正方形纸板和长方形纸板做成，如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板
和长方形纸板，就能建立起如下的等量关系：
每个竖式纸盒要用的正方形纸板数×
竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的正方形纸板
数×
横式纸盒个数=正方形纸板的总数
每个竖式纸盒要用的长方形纸板数×
竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的长方形纸板
横式纸盒个数=长方形纸板的总数
通过观察图形，可知每个竖式纸盒分别要用１张正方形纸板和４张长方形纸板，每个横式
纸盒分别要用２张正方形纸板和３张长方形纸板.
由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系.
设竖式纸盒做x个，横式纸盒做y个.根据题意，得
①×
4-②，得５y=2000，解得y=400.
把y=400代入①，得x+800=1000，解得x=200.
所以方程组的解为
因为200和400均为自然数，所以这个解符合题意.
竖式纸盒做２００个，横式纸盒做４００个，恰好将库存的纸板用完.
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