1718版 必修5 第2章 22 第2课时 等差数列的性质Word下载.docx
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(5){an}的公差为d,则d>
0⇔{an}为递增数列;
d<
0⇔{an}为递减数列;
d=0⇔{an}为常数列.
1.下列说法中正确的是________(填序号).
①若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列.
②若{|an|}是等差数列,则{an}也是等差数列.
③若{an}是等差数列,则对任意n∈N*都有2an+1=an+an+2.
④数列{an}的通项公式为an=3n+5,则数列{an}的公差与函数y=3x+5的图象的斜率相等.
【解析】 ①错误.如-2,-1,0,1,2是等差数列,但其绝对值就不是等差数列.
②错误.如数列-1,2,-3,4,-5,其绝对值为等差数列,但其本身不是等差数列.
③正确.根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*都有2an+1=an+an+2成立.
④正确.因为an=3n+5的公差d=3,而直线y=3x+5的斜率也是3.
【答案】 ③④
2.在等差数列{an}中,若a5=6,a8=15,则a14=________.
【解析】 ∵数列{an}是等差数列,
∴a5,a8,a11,a14也成等差数列且公差为9,
∴a14=6+9×
3=33.
【答案】 33
3.在等差数列{an}中,已知a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=________.
【解析】 因为a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,
所以a5=90,
a2+a8=2a5=2×
90=180.
【答案】 180
4.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12=________.
【解析】 在等差数列{an}中,由于a7+a9=a4+a12,所以a12=(a7+a9)-a4=16-1=15.
【答案】 15
[小组合作型]
灵活设元解等差数列
已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.
【精彩点拨】
(1)能否直接设出首项和公差,用方程组求解?
(2)等差数列相邻四项和为26,这四项有对称性吗?
能否用对称设法求解?
【自主解答】 法一:
设这四个数分别为a,b,c,d,根据题意,得
解得
或
∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.
法二:
设此等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意,得
化简,得
法三:
设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,根据题意,得
1.当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时,可直接设首项为a1,公差为d,利用已知条件建立方程组求出a1和d,即可确定数列.
2.当已知数列有2n项时,可设为a-(2n-1)d,…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,a+(2n-1)d,此时公差为2d.
3.当已知数列有2n+1项时,可设为a-nd,a-(n-1)d,…,a-d,a,a+d,…,a+(n-1)d,a+nd,此时公差为d.
[再练一题]
1.三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数.
【解】
(1)设这三个数依次为a-d,a,a+d,
则
∴这三个数为4,3,2.
等差数列的实际应用
甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图221.甲调查表明:
从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:
由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.
甲 乙
图221
请你根据提供的信息回答问题.
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了?
请说明理由.
【精彩点拨】 解决本题关键是构造两个数列:
一个是每年的养鸡只数的平均值构成的数列,一个是每年的养鸡场的个数构成的数列.
【自主解答】 由题图可知,从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列,记为{an},公差为d1,且a1=1,a6=2;
从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列,记为{bn},公差为d2,且b1=30,b6=10;
从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn},则cn=anbn.
(1)由a1=1,a6=2,得
∴
得a2=1.2;
由b1=30,b6=10,得
得b2=26.
∴c2=a2b2=1.2×
26=31.2,
即第2年养鸡场有26个,全县出产鸡31.2万只.
(2)∵c6=a6b6=2×
10=20<
c1=a1b1=30,
∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.
1.在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.
2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量.
2.某公司经销一种数码产品,第1年获利200万元,从第2年起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?
【解】 由题意可知,设第1年获利为a1,第n年获利为an,则an-an-1=-20,(n≥2,n∈N*),每年获利构成等差数列{an},且首项a1=200,公差d=-20.
所以an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×
(-20)
=-20n+220.
若an<
0,则该公司经销这一产品将亏损,
由an=-20n+220<
0,解得n>
11,
即从第12年起,该公司经销这一产品将亏损.
[探究共研型]
等差数列的性质
探究1 数列2,4,6,8,10,12,14,16,…是等差数列吗?
2,6,10,14,…是等差数列吗?
4,8,12,16是等差数列吗,它们有什么关系?
这说明了什么?
【提示】 这三个数列均是等差数列,后两个数列是从第一个数列中每隔相同的项数抽取一项,按原来顺序组成的新数列,这说明从一个等差数列中每隔相同的项数取一项,按原来的顺序排列,还是一个等差数列.
探究2 在等差数列{an}中,若an=3n+1,那么a1+a5=a2+a4吗?
a2+a5=a3+a4成立吗?
由此你能得到什么结论?
该结论对任意等差数列都适用吗?
为什么?
【提示】 由an=3n+1可知a1+a5=a2+a4与a2+a5=a3+a4均成立,由此有若m,n,p,q∈N*且m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
对于任意等差数列{an},设其公差为d.
则am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d
=2a1+(m+n-2)d,
ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d
=2a1+(p+q-2)d,
因m+n=p+q,故am+an=ap+aq对任意等差数列都适用.
探究3 在等差数列{an}中,2an=an+1+an-1(n>
1)成立吗?
2an=an+k+an-k(n>
k>
0)是否成立?
【提示】 在探究2的结论中,令m=n,p=n+1,q=n-1,可知2an=an+1+an-1成立;
令m=n,p=n+k,q=n-k,可知2an=an+k+an-k也成立.
在公差为d的等差数列{an}中,
(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;
(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·
a5=52,求d.
【精彩点拨】 解答本题可以直接转化为基本量的运算,求出a1和d后再解决其他问题,也可以利用等差数列的性质来解决.
(1)化成a1和d的方程如下:
(a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48,
即4(a1+12d)=48,∴4a13=48,∴a13=12.
(2)化成a1和d的方程如下:
∴d=3或-3.
(1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48,及a2+a24=a3+a23=2a13,
得4a13=48,∴a13=12.
(2)由a2+a3+a4+a5=34,及a3+a4=a2+a5得
2(a2+a5)=34,
即a2+a5=17.
解
得
∴d=
=
=3或d=
=-3.
1.利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组,求出a1和d,进而解决问题是处理等差数列问题的基本方法.
2.巧妙地利用等差数列的性质,可以大大简化解题过程.
3.通项公式的变形形式an=am+(n-m)d,(m,n∈N*),它又可变形为d=
,应注意把握,并学会应用.
3.
(1)设数列{an},{bn}都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=________.
(2)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=________.
【解析】
(1)法一:
设数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,因为a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以d1+d2=7,所以a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+2×
7=35.
∵数列{an},{bn}都是等差数列,
∴数列{an+bn}也构成等差数列,
∴2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5),
∴2×
21=7+a5+b5,∴a5+b5=35.
(2)法一:
因为{an}为等差数列,
所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,其公差为d,a15为首项,则a60为其第四项,所以a60=a15+3d,得d=4.
所以a75=a60+d⇒a75=24.
因为a15=a1+14d,a60=a1+59d,
所以
故a75=a1+74d=
+74×
=24.
【答案】
(1)35
(2)24
1.已知等差数列{an},则使数列{bn}一定为等差数列的是( )
A.bn=-anB.bn=a
C.bn=
D.bn=
∴an+1-an=d(常数).
对于A:
bn+1-bn=an-an+1=-d,正确;
对于B不一定正确,如数列{an}={n},则bn=a
=n2,显然不是等差数列;
对于C、D:
及
不一定有意义,故选A.
【答案】 A
2.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( )
A.40B.42
C.43D.45
【解析】 由
即
得d=3.
所以a5=2+4×
3=14,
所以a4+a5+a6=3a5=42,故选B.
【答案】 B
3.在等差数列{an}中,a2+a5=9,a8=6,则a2=______________________.
解之得a2=4.
【答案】 4
4.若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=________.
【解析】 由题意得该等差数列的公差d=
,
所以c-a=2d=
.
【答案】
5.已知三个数成等差数列并且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.
【解】 设这三个数为a-d,a,a+d,由已知得
由①得a=6,代入②得d=±
2.
∵该数列是递增数列,
∴d>
0,即d=2,
∴这三个数依次为4,6,8.