秋季学期新版新人教版八年级数学上册第十三章轴对称备课教案Word下载.docx

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分小组讨论.

思考:

大家想一想,你发现了什么?

小结得出:

.像这样,把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.

三、随堂练习

课本60页练习.

四、课时小结

这节课我们主要认识了轴对称图形,了解了轴对称图形及有关概念,进一步探讨了轴对称的特点,区分了轴对称图形和两个图形成轴对称.

五、课后作业

课本64页习题13.1的第1、2题.

六．教学反思

数学教学应该选在牵一发而动全身的关键之处进行，轴对称图形的认识的教学就是要抓住“对折”与“完全重合”两个关键之处．不然就是隔靴搔痒.当“部分重合”与“完全重合”理解了，轴对称图形的概念也会在学生脑海中留下深刻的印象．

第2课时

1.了解两个图形成轴对称性的性质,了解轴对称图形的性质.

2.探索并理解线段垂直平分线的两个性质

3.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力逐步养成数学推理的习惯.

4.在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步说理和进行简单推理的能力.

重点:

轴对称的性质,线段垂直平分线的性质.

难点:

由线段垂直平分线的两个性质得出的“点的集合”的描述

1.什么样的图形是轴对称图形呢?

2.轴对称图形有哪些性质,从图形中能得到结论?

1.如图,△ABC和△A'

B'

C'

关于直线MN对称,点A'

、B'

、C'

分别是点A、B、C对称点,线段AA'

、BB'

、CC'

与直线MN有什么关系?

为什么?

（学生思考并做小范围讨论）

2.对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.

3.画一个轴对称图形,并找出两对称点,看一下对称轴和两对称点连线的关系.

4.对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点,并且垂直于这条线段.

5.归纳图形轴对称的性质:

如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.类似地,轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.

下面我们来探究线段垂直平分线的性质.

[探究1]如图,木条L与AB钉在一起,L垂直平分AB,P1,P2,P3,…是L上的点,分别量一量点P1,P2,P3,…到A与B的距离,你有什么发现?

证法一:

利用判定两个三角形全等.

如图,在△APC和△BPC中,

⇒△APC≌△BPC⇒PA=PB.

证法二:

利用轴对称性质.

由于点C是线段AB的中点,将线段AB沿直线L对折,线段PA与PB是重合的,因此它们也是相等的.

带着探究1的结论我们来看下面的问题.

[探究2]

如图,用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋,做一个简易的“弓”,“箭”通过木棒中央的孔射出去,怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢?

探究结论:

与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质,即:

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;

反过来,与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.

如图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?

这节课通过探索轴对称图形对称性的过程,了解了线段的垂直平分线的有关性质,同学们应灵活运用这些性质来解决问题.

课本65页习题13.1的第3、4题.

本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线．在课堂中，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等

13.1.2　线段的垂直平分线的性质

知识与技能

1.探索作出轴对称图形的对称轴的方法.掌握轴对称图形对称轴的作法.

2.在探索的过程中,培养学生分析、归纳的能力.

过程与方法

1.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯.

2.在灵活运用知识解决有关问题的过程中,体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法,进一步说理和进行简单推理的能力.

情感、态度与价值观

1.体会数学与现实生活的联系,增强克服困难的勇气和信心.

2.会应用数学知识解决一些简单的实际问题,增强应用意识.

【教学重难点】

轴对称图形对称轴的作法.

探索轴对称图形对称轴的作法.

【教学过程】

一、提出问题,引入新课

1.有时我们感觉两个图形是轴对称的,如何验证呢?

不折叠图形,你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗?

2.轴对称图形性质.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴,是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.

3.找到一对对应点,作出连结它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴了.4.问题:

如何作出线段的垂直平分线?

要作出线段的垂直平分线,根据垂直平分线的判定定理,到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,又由两点确定一条直线这个公理,那么必须找到两个到线段两端点距离相等的点,这样才能确定已知线段的垂直平分线.

例1　尺规作图：

经过已知直线外一点作这条直线的垂线．

已知：

直线AB和AB外一点C.（如下图）

求作：

AB的垂线，使它经过点C.

作法：

（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．

（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.

（3）分别以点D和点E为圆心，大于

DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.

（4）作直线CF.

直线CF就是所求作的垂线．

根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？

请与同伴进行交流．

例2:

如图

（1）,点A和点B关于某条直线成轴对称,你能作出这条直线吗?

已知:

线段AB[如图

（1）].

求作:

线段AB的垂直平分线.

作法:

如图

（2）

（1）分别以点A、B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C和D两点;

（2）作直线CD.

直线CD就是线段AB的垂直平分线.

如图,与图形A成轴对称的是哪个图形?

画出它们的对称轴.

　　　A　　　B　　　C　　　　D

答案:

与A成轴对称的是图形D（或B）.

本节课我们探讨了尺规作图,作出线段的垂直平分线.并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法:

找出轴对称图形的任意一对对应点,连接这对对应点,作出连线的垂直平分线,该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴.

课本65页习题13.1的第5、10、11、12题.

通过前两节的学习，这节画对称轴的习题课就可以全部交由学生自己完成．画轴对称图形的对称轴就是利用两个对称点找到对称轴，即画出这对对应点连线的垂直平分线，让学生用尺规作图，独立完成．

13．2　画轴对称图形

第1课时　

1．能够作轴对称图形；

2．通过实际操作，掌握作轴对称图形的方法．

3．能够用轴对称的知识解决相应的数学问题．

能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形．

较复杂图形的轴对称图形的画法．

一、问题导入

我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质．如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？

这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法．

二、探究新知

[活动]　在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请你再将一个图形做一做，看看能否得到同样的结论．

（1）认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？

（成轴对称）

（2）对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP′是什么关系？

（直线l垂直平分线段PP′）

[思考1]　如何画一个点的对称图形？

例1　画出点A关于直线l的对称点A′.

画法：

（1）过点A作对称轴l的垂线，垂足为B；

（2）延长AB到A′，使得BA′＝AB.点A′就是点A关于直线l的对称点．

[思考2]　如何画一条直线的对称图形？

例2　已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段．

（1）画出点A关于直线l的对称点A′.

（2）画出点B关于直线l的对称点B′.

（3）连接点A′和点B′成线段A′B′.线段A′B′即为所求．

[思考3]　如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？

例3　如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形．

（1）过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′＝OA，A′就是点A关于直线l的对称点．

（2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′.

（3）连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求．

三、课堂练习

1．教材第68页练习第1，2题

2．下列图形中，点P与P′关于直线MN对称的图形是（　　）

四、课堂小结

几何图形都可以看成由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段的端点），连接这些对称点，就可以得到图形的对称图形．

五．布置作业：

教材习题13.2第1题．

六.课后反思

几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；

对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．

第2课时　

1．能在直角坐标系中画点关于坐标轴的对称点．

2．能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线的对称点的坐标．

3.能够经过探索利用坐标来表示轴对称；

用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．

找对称点的坐标之间的关系．

教材图13.2－3是一张老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？

（1）

【探究1】

（1）在直角坐标系中画出下列已知点A（2，－3），B（－1，2），C（－6，－5），D（3，5），E（4，0），F（0，－3）；

（2）画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点，并填写表格；

（3）请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗？

（4）请你想办法检验你所发现的规律的正确性，说说你是如何检验的．

已知点

A（2，－3）

B（－1，2）

C（－6，－5）

D（

，1）

E（4，0）

关于x轴

的对称点

关于y轴

　　归纳：

关于x轴对称的点的坐标规律是：

横坐标相同，纵坐标互为相反数．

（2）

【探究2】在同一平面直角坐标系内描出以上各点关于y轴的对称点并写出坐标，观察关于y轴对称的两个点的坐标有什么规律？

归纳：

关于y轴对称的点的坐标规律是：

纵坐标相同，横坐标互为相反数．

（3）

【探究3】按以上规律，说出点P（x，y）关于x轴的对称点P1的坐标，再说出P1关于y轴的对称点P2坐标．观察点P经过两次轴对称所得点P2的坐标有什么规律？

一个点经历关于x轴、y轴两次轴对称得到的对称点坐标规律是：

横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．在以后学了“中心对称”后，两点被称为关于原点对称．

三、举例分析

例1：

已知A（2，a），B（－b，4），分别根据下列条件求a，b的值．

（1）A，B关于y轴对称；

（2）A，B关于x轴对称；

（3）A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称．

解析：

（1）A，B关于y轴对称，说明纵坐标相同，横坐标相反，a＝4，b＝2；

（2）A，B关于x轴对称，说明横坐标相同，纵坐标相反，a＝－4，b＝－2；

（3）A，C关于x轴对称，B，C关于y轴对称，说明A，B经过x轴、y轴两次对称变换，即关于原点对称，横、纵坐标各互为相反数，a＝－4，b＝2.

例2：

如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．

学生独立完成，教师用多媒体出示出正确答案并讲评．

四、课堂巩固

教材第70页练习第1，2.3题

五、课堂小结

（1）点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求．

（2）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y），即横坐标相等，纵坐标互为相反数；

点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）即横坐标互为相反数，纵坐标相等．

六.布置作业

教材习题13.2第3，4题．

七：

课后反思

本节课通过学生熟悉、向往的北京城内天安门、长安街、东直门等的方位引入新课，能强烈地吸引学生的注意力，较好地激发学生的学习兴趣．其中归纳规律后检验其正确性是科学研究问题的一个必不可少的步骤，并通过一系列的练习培养学生思维的流畅性，也使学生特别是学有困难的学生都能达到基本的学习目标．

13．3.1　等腰三角形

1．理解并掌握等腰三角形的性质．

2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算．

3．观察等腰三角形的对称性、发展形象思维．

等腰三角形的性质及应用．

等腰三角形的性质的证明．

一、情境导入

教师预先做出各种几何图形，包括圆、长方形、正方形、等腰梯形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形等．

让同学们抢答哪些是轴对称图形，提问什么是轴对称图形，什么样的三角形才是轴对称图形．引入今天所要讲的课题——等腰三角形．我们知道，有两条边相等的三角形是等腰三角形，下面我们利用轴对称的知识来研究等腰三角形．

（一）活动1：

如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？

1.学生活动：

学生动手操作，从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB＝AC.

2.教师活动：

让学生回顾等腰三角形的概念：

有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．如下图．

（二）活动2：

把活动1中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段，填入下表：

重合的线段

重合的角

　　从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？

学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质．

引导学生归纳．

性质1　等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；

性质2　等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．

（三）活动3：

你能用所学知识验证上述性质吗？

如图，在△ABC中，AB＝AC.求证：

∠B＝∠C.

证明：

作BC边上的中线AD，如图．

在△ABD和△ACD中，

所以△ABD≌△ACD（SSS），所以∠B＝∠C.

三、应用提高

例1　如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．

小组合作，分组讨论、交流．

引导学生分析图形中关于角的数量关系．（三角形的内角、外角，等腰三角形的底角）

（1）等边对等角；

（2）等腰三角形的三线合一；

（3）等腰三角形常用辅助线作法（作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线）．

教材习题13.3第1，3，7题．

六．课后反思

本节课重点要让学生通过动手翻折等腰三角形纸片得出等腰三角形“两个底角相等”、“三线合一”的性质．设计理念是让学生通过感官认识、折纸、猜想、验证等腰三角形的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证，使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，从而实现教学目的．

1．理解并掌握等腰三角形的判定方法．

2．运用等腰三角形的判定进行证明和计算．

等腰三角形的判定方法．

等腰三角形的判定方法的证明．

一、提出问题

出示教材第77页“思考”．学生思考，回答后教师提问：

在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？

学生猜想它们所对的边相等．即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．

二、解决问题

教师引导提示，学生根据提示画出图形，并写出已知、求证．

在△ABC中，∠B＝∠C.

求证：

AB＝AC.

如图，在△ABC中，∠B＝∠C，作△ABC的角平分线AD.

在△BAD和△CAD中，

∴△BAD≌△CAD（AAS），∴AB＝AC.

结论：

归纳等腰三角形的判定方法：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：

“等角对等边”．

三、应用举例

1．出示教材例2.引导学生根据命题画出图形，利用角平分线的性质及“等边对等角”来证明．学生讨论后，自己完成证明过程．

例2　求证：

如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．

∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC.（如图所示）

分析：

要证明AB＝AC.可先证明∠B＝∠C.因为∠1＝∠2，所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系．

∵AD∥BC，

∴∠1＝∠B（______________________），

∠2＝∠C（______________________）．

而已知∠1＝∠2，所以

∴AB＝AC（______________）．

2．出示教材例3.

让学生自学例3.

例3　已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．

（1）作线段AB＝a.

（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.

（3）在MN上取一点C，使DC＝h.

（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．

1．等腰三角形的判定方法是什么？

2．等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？

五、布置作业

教材习题13.3第2，8，10题．

学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识．因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算．发展学生的动手、归纳猜想能力；

发展学生证明用文字表述的几何命题的能力；

使它们进一步掌握归纳思维方法，领会数学分类思想、转化思想．

13．3.2　等边三角形

1．掌握等边三角形的定义．

2．理解等边三角形的性质与判定．

等边三角形的性质和判定．

等边三角形的性质的应用．

一、问题引入

在等腰三角形中，如果底边与腰相等，会得到什么结论？

二、自主探究

1．等边三角形的定义

底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三角形．

2．思考：

把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？

一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？

（1）边：

三条边都相等．

（2）角：

三个角都相等，并且每一个角都等于60°

.

3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA吗？

为什么？

你从中能得到什么结论？

三个角都相等的三角形是等边三角形．

4．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°

（1）求证：

△ABC是等边三角形；

（2）如果把∠A＝60°

改为∠B＝60°

或∠C＝60°

，那么结论还成立吗？

（3）由上你可以得到什么结论？

有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形．

5.小结：

等边三角形的性质和判定

（1）等边三角形三个角都相等，并且每一个角都等于60°

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形

（3）有一个角是60°

1．教材例4.

例4　如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：

△ADE是等边三角形．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C.

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，

∴∠A＝∠ADE＝∠AED，

∴△ADE是等边三角形．

2．归纳：

在判定三角形是等边三角形时：

（1）若三角形是一般三角形，只要找三个角相等或三条边相等；

（2）若三角形是等腰三角形，一般是找一个角等于60°

四、巩固练习

1.教材第80页练习第1，2题．

2.补充题：

（1）．如图，已知等边△ABC，点D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF.求证：

△DEF是等边三角形．

（2）．如图，已知等边△ABC，点D是AC的中点，且CE＝CD，DF⊥BE.求证：

BF＝EF.

教师提出