最新八年级数学每日一题Word文档下载推荐.docx

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（第4期）锲而不舍，金石可镂！

如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若AB=6，AC=5，则△ADE的周长是_________． 

11

根据题意可得：

△BDO和△COE是等腰三角形，OD=BD，OE=EC，则△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DO+OE+AE=AD+BD+AE+CE=AB+AC=6+5=11.

考点：

（1）、角平分线的性质；

（2）、等腰三角形的性质.

（第5期）小水长流，则能穿石！

如图所示，三角形ABC的面积为1．AP垂直∠B的平分线BP于点P．则三角形PBC的面积是 

过点P作PE⊥BP，垂足为P，交BC于点E，由角平分线的定义可知∠ABP=∠EBP，结合BP=BP以及∠APB=∠EPB=90°

即可证出△ABP≌△EBP（ASA），进而可得出AP=EP，根据三角形的面积即可得出

，再根据

=

故答案为：

等腰三角形的判定与性质；

角平分线的定义；

三角形的面积；

全等三角形的判定与性质．

（第6期）立志不坚，终不济事！

如图，△ABC是等腰直角三角形，延长BC至E使BE=BA，过点B作BD⊥AE于点D，BD与AC交于点F，连接EF．

（1）求证：

BF=2AD；

（2）若CE=

，求AC的长

试题解析：

（1）证明：

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AC=BC，

∠FCB=∠ECA=90°

，

∵AC⊥BE，BD⊥AE，

∴∠CBF+∠CFB=90°

，∠DAF+∠AFD=90°

∵∠CFB=∠AFD，

∴∠CBF=∠CAE，

在△BCF与△ACE中，，

∴△BCF≌△ACE，

∴AE=BF，

∵BE=BA，BD⊥AE，

∴AD=ED，即AE=2AD，

∴BF=2AD；

（2）由

（1）知△BCF≌△ACE，

∴CF=CE=

∴在Rt△CEF中，EF=

=2，

∵BD⊥AE，AD=ED，

∴AF=FE=2，

∴AC=AF+CF=2+

全等三角形的判定与性质；

勾股定理

（第7期）

已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，

求证：

BP=2PQ．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°

在△ABE和△CAD中，

AB=AC，∠BAE=∠C=60°

，AE=CD，

∴△ABE≌△CAD（SAS），

∴∠1=∠2，

∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ=90°

﹣∠BPQ=90°

﹣60°

=30°

∴BP=2PQ．

等边三角形的性质；

含30度角的直角三角形．

（第8期）

如图，∠MON=90°

，△ABC的顶点A、B分别在OM、ON上，当A点从O点出发沿着OM向右运动时，同时点B在ON上运动，连结OC. 

若AC=4，BC=3，AB=5，则OC的长度的最大值是 

取AB中点E，连接OE、CE，在直角三角形AOB中，OE=AB，利用勾股定理的逆定理可得△ACB是直角三角形，所以CE=AB，利用OE+CE≥OC，所以OC的最大值为OE+CE，即OC的最大值=AB=5．

勾股定理的逆定理

（第9期）精诚所至，金石为开！

著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为

cm．

连接OP，

∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，

∴OP=

AB，

∵AB=20cm，

∴OP=10cm，

直角三角形斜边上的中线．

（第10期）最可怕的是比你优秀的人还比你努力！

如图，在△ABC中，AB=AC，点E为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点E作射线EF交AC于点F，使∠AEF=∠B．

（1）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；

（2）请你探索：

当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．

（1）∠BAE=∠FEC；

理由如下：

∵∠B+∠BAE=∠AEC，∠AEF=∠B，

∴∠BAE=∠FEC；

（2）如图1，当∠AFE=90°

时，

∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，

∠B=∠AEF=∠C，

∴∠BAE=∠CEF，

∵∠C+∠CEF=90°

∴∠BAE+∠AEF=90°

即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余；

如图2，当∠EAF=90°

∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠1，

∴∠BAE=∠1，

∵∠C+∠1+∠AEF=90°

∴2∠AEF+∠1=90°

即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及外角的性质，此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用．

（第11期）耐心是一切聪明才智的基础！

如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则

：

等于 

由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面积公式即可求解．过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三条角平分线的交点，∴OD=OE=OF，∵AB=20，BC=30，AC=40，∴

=2：

3：

4．

2：

角平分线的性质；

三角形的面积．

（第12期）

如图，已知∠AOB=60°

，点P在OA上，OP=8，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM= 

解：

过P作PC⊥MN

∵PM=PN 

∴C为MN中点

在Rt△OPC中，∠AOB=60°

， 

∴∠OPC=30°

∴2OC=OP=8，

∴OC=4

则OM=OC﹣MC=4﹣1=3，

（第13期）能坚持别人不能坚持的，才能拥有别人不能拥有的

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°

，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，下列结论：

①∠ACD=∠B；

②CH=CE=EF；

③AC=AF；

④CH=HD．其中正确的结论为（ 

）

A.①②④ 

B.①②③ 

C.②③ 

D.①③

∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，

∴∠ACD=∠B，故①正确；

∵CD⊥AB，EF⊥AB，

∴EF∥CD，

∴∠AEF=∠CHE，

∴∠CEH=∠CHE，

∴CH=CE=EF，故②正确；

∵角平分线AE交CD于H，

∴∠CAE=∠BAE，

∴△ACE≌△AFE（AAS），

∴AC=AF，故③正确；

CH=CE=EF＞HD，故④错误．

故：

正确答案选B

（第14期）

如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°

，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，则DE与DF的数量关系是_______

如图，连接CD．

∵BC=AC，∠BCA=90°

∴△ABC是等腰直角三角形 

∵D为AB中点

∴BD=CD=AD，CD平分∠BCA，CD⊥AB 

∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠FCD=90°

∴∠A=∠FCD

∵∠CDF+∠CDE=90°

∠CDE+∠ADE=90°

∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CFD中

∵∠A=∠FCD，AD=CD，∠ADE=∠CDF 

∴△ADE≌△CFD（ASA） 

∴DE=DF．

（第15期）耐心和恒心总会得到报酬的.

如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．

（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？

若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

（2）请求出何时△PBQ是直角三角形？

（第16期）守其初心，始终不变！

（1）不变，∠CMQ=60°

∴等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°

又∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．

∴AP=BQ，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°

；

（2）设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4﹣t）cm，

当∠PQB=90°

∵∠B=60°

∴PB=2BQ，即4﹣t=2t，t=

当∠BPQ=90°

∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=

∴当第

秒或第

秒时，△PBQ为直角三角形．

已知：

如图，∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．

①证明：

连结CD，

∵D在BC的中垂线上

∴BD=CD

∵DE⊥AB，DF⊥AC

AD平分∠BAC

∴DE=DF

∠BED=∠DCF=90°

在RT△BDE和RT△CDF中，

∴RT△BDE≌RT△CDF（HL），

∴BE=CF；

②解：

由（HL）可得，Rt△ADE≌Rt△ADF，

∴AE=AF=5，

∴△ABC的周长=AB+BC+AC，

=（AE+BE）+BC+（AF﹣CF）

=5+6+5

=16．

（第17期）逝者如斯夫，不舍昼夜！

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°

，∠C=30°

BC=5．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

AE=DF；

（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？

请说明理由．

在△DFC中，∠DFC=90°

，DC=2t，

∴DF=t．

又∵AE=t，

∴AE=DF；

（2）①∠EDF=90°

时，四边形EBFD为矩形．

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°

， 

∴AD=2AE．即10-2t=2t， 

∴t=

②∠DEF=90°

时，由

（2）知EF∥AD， 

∴∠ADE=∠DEF=90°

∵∠A=90°

-∠C=60°

∴AD=

AE．

即10-2t=

t， 

∴t=4；

③∠EFD=90°

时，此种情况不存在；

综上所述，当t=

或4时，△DEF为直角三角形．

（第18期）有梦想，才有远方！

如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°

，AB=AC=2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（ 

（第19期）坚持，就会改变！

如果不等式（1+a）x＞1+a的解集为x＜1，那么a的取值范围是（ 

） 

A.a＞0 

B.a＜0 

C.a＞-1 

D.a＜-1

（第20期）对于有恒心的的旅人，不存在遥远的途程.

（第21期）

（第22期）让今天过得比昨天更有意义，这才是昨天存在的价值.

（第23期）相信自己没问题

（第24期）

如果不等式3x－m≤0的正整数解是1、2、3，那么m的取值范围是（　）

A．9≤m<

12 

B．9<

m<

C．m<

D．m≥9

（第25期）

（第26期）

（第27期）坚持，就会改变！

（第28期）

【答案】a＜1

不等式组中两不等式分别求出解集，由不等式组有解确定出a的范围即可．

不等式的解集．

（第29期）此刻打盹，你将做梦；

而此刻学习，你将圆梦.

一本故事书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完.李永平均每天比张力多读3页，张力平均每天读多少页？

（答案取整数）

【答案】

解设张力平均每天读a页，那么李永每天读（a+3）页

根据题意

7a<

98

（1）

7（a+3）>

98

（2）

由

（1）

a<

14

由

（2）

7a+21>

98

a>

14-3

∴11<

a取整数

所以张力平均每天读12或13页

不等式的实际应用

（第30期）

小明、小华、小刚三人在一起讨论一个一元一次不等式组．

小明：

其中一个不等式的解集为x≤8；

小刚：

其中有一个不等式在求解的过程中需要改变不等号方向；

请你写出符合上述条件的不等式组，并解这个不等式组．