1定积分与微积分基本定理理含答案版.docx
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1定积分与微积分基本定理理含答案版
定积分与微积分基本定理(理)
基础巩固强化
1.求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积,其中正确的是( )
A.S=(x2-x)dx B.S=(x-x2)dx
C.S=(y2-y)dyD.S=(y-)dy
[答案] B
[分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数.
[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x≥x2,故函数y=x2与y=x所围成图形的面积S=(x-x2)dx.
2.如图,阴影部分面积等于( )
A.2B.2-
C.D.
[答案] C
[解析] 图中阴影部分面积为
S=(3-x2-2x)dx=(3x-x3-x2)|=.
3.dx=( )
A.4πB.2π
C.πD.
[答案] C
[解析] 令y=,则x2+y2=4(y≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积,
∴S=×π×22=π.
4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是( )
A.在t1时刻,甲车在乙车前面
B.在t1时刻,甲车在乙车后面
C.在t0时刻,两车的位置相同
D.t0时刻后,乙车在甲车前面
[答案] A
[解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t0,t1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:
车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分,即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积.从图象知:
在t0时刻,v甲的图象与t轴和t=0,t=t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t=0,t=t0围成区域的面积,因此,在t0时刻,甲车在乙车的前面,而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度,所以选项C,D错误;同样,在t1时刻,v甲的图象与t轴和t=t1围成区域的面积,仍然大于v乙的图象与t轴和t=t1围成区域的面积,所以,可以断定:
在t1时刻,甲车还是在乙车的前面.所以选A.
5.向平面区域Ω={(x,y)|-≤x≤,0≤y≤1}随机投掷一点,该点落在曲线y=cos2x下方的概率是( )
A.B.
C.-1D.
[答案] D
[解析] 平面区域Ω是矩形区域,其面积是,在这个区
6.的值是( )
A.0 B. C.2 D.-2
[答案] D
[解析] ==-2.
7.(2-|1-x|)dx=________.
[答案] 3
[解析] ∵y=,
∴(2-|1-x|)dx=(1+x)dx+(3-x)dx
=(x+x2)|+(3x-x2)|=+=3.
9.已知a=,则二项式(a-)6的展开式中含x2项的系数是________.
[答案] -192
[解析] 由已知得a==(-cosx+sinx)|0=(sin-cos)-(sin0-cos0)=2,
(2-)6的展开式中第r+1项是Tr+1=(-1)r×C×26-r×x3-r,令3-r=2得,r=1,故其系数为(-1)1×C×25=-192.
10.有一条直线与抛物线y=x2相交于A、B两点,线段AB与抛物线所围成图形的面积恒等于,求线段AB的中点P的轨迹方程.
[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a,a2),B(b,b2),不妨设a
则直线AB的方程为y-a2=(x-a),
即y=(a+b)x-ab.
则直线AB与抛物线围成图形的面积为S=[(a+b)x-ab-x2]dx=(x2-abx-)|=(b-a)3,
∴(b-a)3=,
解得b-a=2.设线段AB的中点坐标为P(x,y),
其中将b-a=2代入得
消去a得y=x2+1.
∴线段AB的中点P的轨迹方程为y=x2+1.
能力拓展提升
11.等比数列{an}中,a3=6,前三项和S3=4xdx,则公比q的值为( )
A.1B.-
C.1或-D.-1或-
[答案] C
[解析] 因为S3=4xdx=2x2|=18,所以++6=18,化简得2q2-q-1=0,解得q=1或q=-,故选C.
12.已知(xlnx)′=lnx+1,则lnxdx=( )
A.1B.eC.e-1D.e+1
[答案] A
[解析] 由(xlnx)′=lnx+1,联想到(xlnx-x)′=(lnx+1)-1=lnx,于是lnxdx=(xlnx-x)|=(elne-e)-(1×ln1-1)=1.
13.抛物线y2=2x与直线y=4-x围成的平面图形的面积为________.
[答案] 18
[解析] 由方程组解得两交点A(2,2)、B(8,-4),选y作为积分变量x=、x=4-y,
∴S=[(4-y)-]dy=(4y--)|=18.
14.
已知函数f(x)=ex-1,直线l1:
x=1,l2:
y=et-1(t为常数,且0≤t≤1).直线l1,l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示,其面积用S2表示.直线l2,y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示,其面积用S1表示.当t变化时,阴影部分的面积的最小值为________.
[答案] (-1)2
[解析] 由题意得S1+S2=(et-1-ex+1)dx+(ex-1-et+1)dx=(et-ex)dx+(ex-et)dx=(xet-ex)|+(ex-xet)|=(2t-3)et+e+1,令g(t)=(2t-3)et+e+1(0≤t≤1),则g′(t)=2et+(2t-3)et=(2t-1)et,令g′(t)=0,得t=,∴当t∈[0,)时,g′(t)<0,g(t)是减函数,当t∈(,1]时,g′(t)>0,g(t)是增函数,因此g(t)的最小值为g()=e+1-2e=(-1)2.故阴影部分的面积的最小值为(-1)2.
15.求下列定积分.
(1)-1|x|dx;
(2)cos2dx;
(3)∫dx.
[解析]
(1)-1|x|dx=2xdx=2×x2|=1.
(2)cos2dx=dx=x|+sinx|=.
(3)∫dx=ln(x-1)|=1.
16.已知函数f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与x轴在原点处相切,且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,求a的值.
[解析] f′(x)=-3x2+2ax+b,∵f′(0)=0,∴b=0,
∴f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).
∴S阴影=[0-(-x3+ax2)]dx
=(x4-ax3)|=a4=,
∵a<0,∴a=-1.
1.已知函数f(x)=sin5x+1,根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义,探求的值,结果是( )
A.+B.π
C.1D.0
[答案] B
[解析] =sin5xdx+1dx,由于函数y=sin5x是奇函数,所以sin5xdx=0,而1dx=x|-=π,故选B.
2.若函数f(x)=的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a,则a的值为( )
A.B.
C.1D.
[答案] D
[解析] 由图可知a=+cosxdx=+sinx|0=.
3.对任意非零实数a、b,若a⊗b的运算原理如图所示,则⊗sinxdx=________.
[答案]
[解析] ∵sinxdx=-cosx|=2>,
∴⊗sinxdx=⊗2==.
4.设函数f(x)=ax2+c(a≠0),若f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则x0的值为________.
[答案]
[解析] f(x)dx=(ax2+c)dx=(+cx)|=+c,故+c=ax+c,即ax=,又a≠0,所以x=,又0≤x0≤1,所以x0=.故填.
5.设n=(3x2-2)dx,则(x-)n展开式中含x2项的系数是________.
[答案] 40
[解析] ∵(x3-2x)′=3x2-2,
∴n=(3x2-2)dx=(x3-2x)|
=(23-2×2)-(1-2)=5.
∴(x-)5的通项公式为Tr+1=Cx5-r(-)r
=(-2)rCx,令5-=2,得r=2,
∴x2项的系数是(-2)2C=40.