第四章边值问题的分离变量方法Word下载.docx
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即
XT
2八’,
XcT
其中■是不依赖于x,t的常数。
首先分别讨论•乞0和•・0时,方程
XX=0
X(0)=X(I)=0
的解。
3)
Xk(x)=CkSin..kx=cksin〔
相应的T(t)为
=Gcosxgsin、,x,由此,g=0,c2sin、I=0,为使
□0
u(x,t)=\Nkcos(kt玉)sin
k=il
其中
l,cos%=
可见:
该波动可以视为振动uk(x,t)=Nkcos(・ktTk)sin〒X,k-1之叠加。
而此振动
uk(x,t)的频率和位相与位置x无关,振幅则依赖于位置,特别在点Xkm=B,0兰m兰k,
k
其振幅为零,这类振动称为驻波。
基音(最低固有频率):
•rc
I,这是叠加振动分量中的最低振动频率。
该频率与振动的初始条件无关,只与弦长和弦的材质有关。
泛音:
•・k“,其余叠加振动分量中的振动频率是最低振动频率的整数倍。
【end】
同样方法可考虑一维齐次扩散方程的初边值问题
「2
ut=auxx,ta0,0vx<
Iu(x,0)」(x),u(0,t)=0,u(I,t)=0
令u(x,t)=X(x)T(t),贝yxv-a2xT,因此
同样讨论,何时,
XX=0,X(0)=O,X(I)=0
方程有非零解。
类似当■<
0时,方程只有零解,只有当
•k=;
2时,方程有非零解
Xk(t)=akSin\/.rX=akSin
qa2t
相应,Tk(t)=dkef,即
寻找一般解
对很多齐次边界条件问题,分离变量法都能得到解的级数展开表示形式。
例如,
Dirichlet条件:
u(0,t)=u(l,t)=0;
(XO觀0=
2)
Neumann条件:
ux(O,t)=ux(l,t)=0;
(X0鳴丨0
4.3非齐次方程的分离变量方法对一般的非齐次波动方程
Utt=c2Uxxf(t,x),0:
:
x:
l,t•0
u(O,t)=g(t),u(l,t)=h(t),
u(x,O)=:
(x),Ut(x,O)J(x)
利用叠加原理,可以把问题的解分解为振动的叠加。
令U=V•W,
<
2
Vtt+Wtt=c(Vxx+Wxx)+f(t,x),0vxcl,t>
0v(O,t)w(O,t)二g(t),v(l,t)w(l,t)=h(t)v(x,0)+w(x,0)=@(x),vt(x,0)+wt(x,0)=申(x)
选择w,使边界条件齐次化,即:
w(O,t)=g(t),w(l,t)=h(t)。
这类函数很多,例如,
1
w(x,t)=a(t)xb(t),其中,a(t)[h(t)-g(t)],b(t)=g(t)。
这样,问题转化为齐次边
界问题
Utt=c2Uxx+f(t,x),0cxcl,ta0
’U(0,t)=U(l,t)=0
出兀0)=科(x),Ut(x,O)=划(x)
的求解。
而该问题又可分解为u=v,w,(为方便起见,U等,仍记为u),
2
vtt=cvxx-f(t,x),0:
l,t0v(O,t)=v(l,t)=0
v(x,0)=vt(x,0)=0
和u=v+w,
f2
|Wtt=CWxx,0£
X£
l,t>
0
w(0,t)=w(l,t)=0
w(x,0)=W(x),Wt(x,0)=屮(x)
第二个问题可用分离变量方法求解。
迓n兀
第一个问题利用固有函数方法也可用分离变量方法解。
设v(x,t)=7vn(t)sin—x,这
n¥
l
时边界条件自然满足,而初始条件,使vn(0)=vn(0)=0。
为确定vn(t),代入方程得
魚“n兀丄工n兀2n兀煮n兀
vn(t)sinx=_vn(t)()sinx二f(x,t)二fn(t)sinx
n1ln1llndl
即需
cn二
vn()vn(t)=fn(t)
l。
.MO)讦(0)=0
利用拉普拉斯变换方法:
Vn(S)二丁-Fn(s),所以
皿s2+(n)2
II
Itcm
Vn(t)-fn()sinI(t-)d.。
cn兀0I
总结一般步骤:
1)
4)
5)
处理的必须是齐次边界问题;
对只有齐次边界的问题进行变量分离后得到常微分方程的定解问题;
由常微分方程定解问题有非零解,确定特征值和特征函数序列;
得到不考虑初始条件的解序列;
进行无限线性组合;
确定系数,使其满足初始条件。
这样就能得到形式解,但是否是经典意义解则需验证。
4.4分离变量法的例子
如何使用分离变量方法,要通过练习才能熟练掌握。
所以,这里再给出一些具体问题的解。
L2
ut=cu^Ovxcl,t>
例1热传导方程u(x,0)=(x)
u(0,t)=0,ux(l,t)+hu(l,t)=0
解此问题的边界条件是混合的(Dirichlet和Robin)。
-2
步骤一。
不考虑初值条件的问题u^cuxx,0"
丨,t•0,寻找变量分离形式的解
[u(0,t)=0,ux(l,t)+hu(l,t)=0
u(x,t)=X(x)T(t)。
相应的常微分方程组:
TX
—2-==-'
cTX。
X(0)=0,X(l)=「hX(l)
步骤二。
确定特征值和特征函数序列。
为使方程
X
—=_人
X(0)=0,X(l)=-hX(l)
有非零解,必须’0(论证过程与前类似),则
X(x)二acos一xbsin.x。
由X(0)=0即知:
a=0。
再由X(l)=-hX(l)得:
bcos「l=-hb、、—sin「l。
可
见,要使方程有非零解,必须tanI)=…1「I-■I。
所以特征值是方程
hl
,特征值序列为
tan(;
'
I)=〉、’I的解。
该方程组有可列个根(由图显然,严格证明略)
{n,n_0}。
不能给出特征值序列的解析式,但它们满足等式:
tan(、「小=;
、,亞口|。
相应的特征函数序
列{Xn(x)=sin_0}(不计相应的常数倍),同时相应的Tn(t)二歹'
用。
因此,
|■c2t
Un(x,t)二e_'
nsin—x,n_0。
步骤三。
选择适当的系数,无限线性组合后,使其满足初始条件:
2_
U(X,t)=EanUn(X,t)=E3n^^CtSin。
n卫n卫
由初始条件知:
oO
「(x)=u(x,0)=、ansin■nx。
所以,
n」
(x)sin、nxdx=ansin2、.■nxdx
00
即得到an。
注这里必须证明{Xn(x)=sin,~x,n_0}是正交完备系。
只证明正交性:
直接计算有困
难,因为'
n没有显式解。
但是对这类两次线性方程的解的正交性有一般的处理方法:
Xn(X)—nXn(X),Xm(X)—mXm(X),
所以,(XmXn-XnXm)、XnXm-XmXn=Cm-,n)Xn(X)Xm(X),因此
(m-n).Xn(X)Xm(X)dX二(XmX.-X.Xm)dX=0。
即得正交性。
【end]厂2
utt=cUxx+A,0cxvl,t>
例2用分离变量方法求方程u(x,0)=0,ut(x,0)=0的解。
u(0,t)=0,u(l,t)=B
解这是非齐次边界,非齐次方程的情况。
把方程的边界齐次化。
u(x,t)=v(x,t)w(x),贝y
vtt=c2(\+w"
)+A,0cxvl,ta0
v(x,0)--w(x),Vt(x,0)=0。
|v(0,t)--w(0),v(l,t)二B-w(l)
故令
c2wA=0
w(0)=0,w(l)=B
A2Al
即w(x)2x2x。
贝U
2c22c2
分离变量后,相应的方程组为
由初始条件,
△x2-马x)sinxdx。
2c22c2l
第四章习题
1.对函数f(x)=[x[0,1],求其Fourier变换。
|0x老[0,1]
Utt=cUxx—rut,0cxcl
2.利用分离变量方法求解。
2下c«
u(0,t)=u(l,t)=0,这里0cr。
u(x,0)=%x),ut(x,0)=屮(x)1
k■:
u(x,t)=迟(ak+bke』川
kd:
)sinJhk—2x=E(ak+b<
e』"
怡巾
¥
c2心l
00k兀旳
(x)=\(akbk)sinx,'
-(x)=bkc2■ksin
k1lk二l