概率论与数理统计公式考试版专用.docx

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概率论与数理统计公式考试版专用

第1章随机事件及其概率

（1）排列组合公式

P：

S"从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

一nm!

,

Cm从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

n!

（mn）!

（2）加法和乘法原理

加法原理（两种方法均能完成此事）：

m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n

种方法来元成，则这件事可由m+n种方法来元成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：

论n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n

种方法来完成，则这件事可由mxn种方法来完成。

（3）一些常见排列

重复排列和非重复排列（有序）

对立事件（至少有一个）

顺序问题

（4）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件卜可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有

如下性质：

1每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

2任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。

通常用大写字母

A,B,C,…母事件，它们是的子集。

为必然事件，？

为/、可能事件。

爪可能事件（？

）的概率为零，而概率为零的事件爪一定是小可能事件；同理，

必然事件（Q）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

AB

如果问时有AB,BA,则称事件A与事件B等价，或称AWB：

A=B

A、B中至少有一个发生的事件：

AB,或者A+B。

"A"属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B,也可

表示为A-AB或者AB,它表示A发生而B不发生的事件。

A、B问时发生：

AB,或者ABAB=?

，则表示A与B不可能问时发生，

称事件A与事件B互不相容或者互斥。

基本事件是互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。

它表小A不发生

的事件。

互斥未必对立。

②运算：

结合率：

A（BC）=（AB）CAU（BUC）=（AUB）UC

分配率:

（AB）UC=（AUC）A（BUC）（AUB）nC=（AC）U（BC）

德摩根率：

i1i1ABAB,ABAB

（7）概率的公理化定义

设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P（A）,若满足卜列三个条件：

1°0

2P（Q）=1

3°对于两两互而相容的事件A1,A2,…有

PAiP（Ai）

i1i1

常称为可列（完全）可加性。

则称P（A）为事件A的概率。

（8）古典概型

1°1,2n，

。

一一一1

2P

（1）P

（2）P（n）一。

n

设任一事件A,它是由1,2m组成的，则有

P（A）=

（1）

（2）（m）=P

（1）P

（2）P（m）

mA所包含的基本事件数

n基本事件总数

（9）几何概型

若随机试验的结果为无限本可数并且每个结果出现的可能性均匀，问时样本空

间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何

概型。

对任一事件A,

L（A）.

P（A）。

其中L为几何网（长度、面积、体积）。

L（）

（10）加法公式

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

当P（AB）=0时，P（A+B）=P（A）+P（B）

（11）减法公式

P（A-B）=P（A）-P（AB）

当BA时，P（A-B）=P（A）-P（B）

当A=Q时,P（B）=1-P（B）

（12）条件概率

定义设A、B是两个事件，且P（A）>0，则称P（AB）为事件A发生条件下，事

P（A）

件B发生的条件概率，记为P（B/A）P（AB）。

P（A）

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P（Q/B）=1P（B/A）=1-P（B/A）

（13）乘法公式

乘法公式：

P（AB）P（A）P（B/A）

更一般地，对事件A,Aa,•••■,若P（A1A2…An-1）>0,则有

P（A1A2...An）P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）......P（An|A1A2...

An1）/o

（14）独立性

1两个事件的独立性

设事件A、B满足P（AB）P（A）P（B），则称事件A、B是相互独立的。

命件A、B相互独立，且P（A）。

，则有

P（B|A）冬P（A）P（B）P（B）

P（A）P（A）

若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。

必然事件和E能事件？

与任何事件都相互独立。

?

与任何事件都互斥。

2多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P（AB）=P（A）P（B）;P（BC）=P（B）P（C）;P（CA）=P（C）P（A）

并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

那么AB、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）全概公式

设事件B1，B2,，Bn满足

1B1，B2，，Bn^^相容P（Bi）0（i以，，n）,

n

2AI,

则有

P（A）P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）P（Bn）P（A|Bn）。

（16）贝叶斯公式

设事件B1,B2,…，Bn及A满足

1°B1,B2,…，Bn两两旦』、相容，P（Bi）>0,i1,2,…，n,

n

2A［建P（A）0,

则

P（Bi/A）ng"",…

P（Bj）P（A/Bj）j1此公式即为贝叶斯公式。

P（Bi）,（i1,2，…，n），通常叫先验概率。

P（BJA）,（i1,2，…，n）,通常称为后验概率。

贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

（17）伯努利概型

我们作了n次试验，且满足

每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；

n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；

每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与

否是互江影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。

用p表示每次试验A发生的概率，则a发生的概率为1pq,用Pn（k）表

示n重伯努利试验中A出现k（0kn）次的概率，

—八、_kknk_

Pn（k）Cnpq,k0,1,2,,no

（1）离散型随机变量的分布律

第二章随机变虽及其分布

设离散型随机变量X的可能取值为X（k=1,2,…）且取各个值的概率，即事件（X=Xk）的概率为

P（X=xk）=pk,k=1,2,•••,

则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。

有时也用分布列的形

式给出：

X|x1,x2,,xk,

P（Xxk）p1,p2,,Pk,

显然分布律应满足下列条件：

（2）连续

型随机变量的分布密度

设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f（x）,对任意实数x,有x

F（x）f（x）dx

则称X为连续型随机变量。

f（x）称为X的概率密度函数或密度函数，简称概

率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1f（x）°。

f（x）dx1

o

P（Xx）P（xXxdx）f（x）dx

积分元f（x）dx在连续型随机变量理论中所起的作用与

散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布函数

设X为随机变量，x是任意实数，贝炳数

F（x）P（Xx）

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

P（aXb）F（b）F（a）可以得到X落入区间（a,b］的概率。

分布

函数F（x）表示随机变量落入区间（-8,x］内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°0F（x）1,x;

2F（x）是单调』、减的函数，即xix2时，有F（xi）F（x2）；

3F（）limF（x）0,F（）limF（x）1;

4°F（x0）F（x）,即F（x）是右连续的；

5°P（Xx）F（x）F（x0）。

对于离散型随机变量，F（x）pk；

xkx

x

对于连续型随机变量，F（x）f（x）dx。

（5）八大分布

0-1分布

P（X=1）=p,P（X=0）=q

二项分布

在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。

事件A发生

的次数是随机变量，设为X,则X可能取值为0,1,2,,n。

_kknk

P（Xk）Pn（k）Cnpq,其中

q1p,0p1,k0,1,2,,n,则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。

记为

X~B（n,p）。

当n1时，P（Xk）pkq1k,k0.1，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量X的分布律为

k

P（Xk）—e,0,k0,1,2,

k!

则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X~（）或

者P（）。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=入，n^oo）。

超几何分布

CM?

cnMk0,1,2,l

P（Xk）——,

CNlmin（M,n）

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H（n,N,M）。

几何分布

P（Xk）qk1p,k1,2,3,，其中p>0,q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G（p）。

均匀分布

设随机变量X的值只落在［a,b］内，其密度函数f（x）在［a,b］…，1

上为常数，即

ba

1.

1avx

f（x）ba,甘仙

其他，

0,

则称随机变量X在［a,b］上服从均匀分布，记为X~U（a,b）。

分布函数为

0,x

xa

x〈baa

F（x）f（x）dx

t1,x>b。

当a

_x2x1

P（x1Xx2）———。

ba

指数分布

x

[e,x。

，

f（x）

[0,x。

，

其中0,则称随机变量X服从参数为的指数分布。

X的分布函数为

rax-

1e,x0

F（x）10

L0,x<0。

记住积分公式：

xnexdxn!

0

正态分布

设随机变量X的密度函数为

1^2

f（x）^^e2,x,

42

其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、

2\

的正态分布或局斯（Gauss）分布，记为X~