秋人教必修2863第二课时平面与平面垂直的性质Word文档格式.docx
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（1）若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
（2）若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；
（3）若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
其中正确的命题为（ ）
A.
（1）
（2）B.（3）
C.
（2）（3）D.
（1）
（2）（3）
解析 对于
（1），依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故
（1）不正确.
对于
（2），如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′与平面DCC′D′的交线为C′D′，与平面ABCD的交线为AB，但C′D′∥AB.故
（2）不正确.
对于（3），由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；
若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β.故（3）正确.
答案 B
规律方法 空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下：
【训练1】 若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
解析 由线面平行、垂直的有关知识可排除A，B，D；
对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m′，则m′∥m，由于m⊥β，故m′⊥β，又m′⊂α，则α⊥β，所以C正确.
答案 C
题型二 平面与平面垂直的性质及应用 面⊥面⇒线⊥面
探究1 证明直线和平面垂直
【例2－1】 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°
且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点.求证：
（1）BG⊥平面PAD；
（2）AD⊥PB.
证明
（1）由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD，由BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°
，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD.
（2）由
（1）可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG，
又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.
探究2 与面面垂直的性质有关的计算问题
【例2－2】 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC＝AD＝2，BC＝CD＝1.求四面体ABCD的体积.
解 如图所示，在平面ACD内过D点作DF⊥AC，垂足为F，故由平面ABC⊥平面ACD，AC为交线，DF⊂平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高.
设G为边CD的中点，连接AG，则由AC＝AD，知AG⊥CD，从而AG＝
＝
.
由
AC·
DF＝
CD·
AG得
在Rt△ABC中，AB＝
S△ABC＝
AB·
BC＝
故四面体ABCD的体积V＝
·
S△ABC·
探究3 面面垂直的性质在探究性问题中的应用
【例2－3】 如图1，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2，点E是线段AM的中点.
（1）求四棱锥D－ABCM的体积；
（2）求证：
平面BDE⊥平面ABCM；
（3）过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：
①l⊂平面ABCM；
②l⊥AD.请说明理由.
（1）解 由已知DA＝DM，E是AM的中点，
∴DE⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，
∴DE⊥平面ABCM.
四棱锥P－ABCM的体积V＝
SABCM·
DE＝
×
（2）证明 由
（1）可得，DE⊥平面ABCM，DE⊂平面DEB，
∴平面DEB⊥平面ABCM.
（3）解 过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件：
②l⊥AD.理由：
在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM，
∴l⊥平面ADM，∴l⊥AD.
规律方法 1.证明或判定线面垂直的常用方法：
（1）线面垂直的判定定理；
（2）面面垂直的性质定理；
（3）若a∥b，a⊥α，则b⊥α（a，b为直线，α为平面）；
（4）若a⊥α，α∥β，则a⊥β（a为直线，α，β为平面）；
2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作（找）与交线垂直的直线.
【训练2】 如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F（E与A，D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC.
证明
（1）在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，
则AB∥EF.
∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
∴EF∥平面ABC.
（2）∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，
∴BC⊥平面ABD.
∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD.
∵AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，
∴AD⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC.
题型三 平行关系、垂直关系的综合应用
【例3】 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.
（1）求证：
PE⊥BC；
平面PAB⊥平面PCD；
（3）求证：
EF∥平面PCD.
证明
（1）因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，
所以BC∥AD.
所以PE⊥BC.
（2）因为底面ABCD为矩形，
所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD.
所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，PB⊂平面PAB，
所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
（3）如图，取PC中点G，连接FG，DG.
因为F，G分别为PB，PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝
BC.
因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥BC，DE＝
所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形DEFG为平行四边形.
所以EF∥DG.
又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
规律方法 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.
2.垂直与平行的综合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.
【训练3】 如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点.
BF∥平面ADP；
（2）已知O是BD的中点，求证：
BD⊥平面AOF.
证明
（1）如图，取PD的中点为G，连接FG，AG.
∵F是CE的中点，∴FG是梯形CDPE的中位线，
∵CD＝3PE，
∴FG＝2PE，FG∥CD.
∵CD∥AB，AB＝2PE，
∴AB∥FG，AB＝FG，即四边形ABFG是平行四边形，
∴BF∥AG，又BF⊄平面ADP，AG⊂平面ADP，
∴BF∥平面ADP.
（2）延长AO交CD于M，连接BM，FM.
∵BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，
∴四边形ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE，
∴FM∥PD.
∵PD⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM⊥BD，
∵AM∩FM＝M，AM，FM⊂平面AMF，
∴BD⊥平面AMF，∴BD⊥平面AOF.
一、素养落地
1.通过学习和应用面面垂直的性质定理，重点培养数学抽象素养，及提升逻辑推理素养和直观想象素养.
2.垂直关系之间的相互转化
3.判定线面垂直的方法主要有以下五种
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定定理；
③面面垂直的性质定理；
④如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，
⇒b⊥α；
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，
⇒a⊥β.
二、素养训练
1.在空间中，下列命题正确的是（ ）
A.垂直于同一条直线的两直线平行
B.平行于同一条直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
解析 A项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；
B项中，平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；
C项中，垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；
D项正确.
2.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n
解析 因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.
3.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形.
解析 设P在平面ABC上的射影为O，
∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴O∈AB.
∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，
∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，
∴△ABC是直角三角形.
答案 直角
4.如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°
，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.
BF⊥平面ACFD.
证明 延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.
因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥平面BCK，
因此BF⊥AC.
又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，
所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.
又CK∩AC＝C，CK，AC⊂平面ACFD，
所以BF⊥平面ACFD.
基础达标
一、选择题
1.已知平面α⊥平面β，则下列命题中真命题的个数是（ ）
①α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线；
②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；
③α内的任意一条直线必垂直于β；
④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α.
A.4B.3C.2D.1
解析 ①设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；
②β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线，为真命题；
③α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题；
④垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直，为假命题.
2.在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是（ ）
A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直D.相交且垂直
解析 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确.
3.如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则（ ）
A.PD⊂平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
解析 ∵PA＝PB，AD＝DB，
∴PD⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面PAB，
平面ABC∩平面PAB＝AB，PD⊂平面PAB，
∴PD⊥平面ABC.
4.如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是（ ）
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆，但要去掉两个点
解析 ∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，
∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，
∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.
5.如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为
和
.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′等于（ ）
A.2∶1B.3∶1
C.3∶2D.4∶3
解析 由已知条件可知∠BAB′＝
，∠ABA′＝
设AB＝2a，则BB′＝2asin
a，
A′B＝2acos
a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，
∴AB∶A′B′＝2∶1.
答案 A
二、填空题
6.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD，则EF与AA1的位置关系是________.
解析 ∵AA1⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，
∴AA1∥EF.
答案 平行
7.已知a，b为直线，α，β为平面.在下列四个命题中，正确的命题是________（填序号）.
①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
④若α∥b，β∥b，则α∥β.
解析 由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；
由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；
由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；
易知④假.
答案 ①③
8.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°
，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
解析 ∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°
（即PA⊥AC），
∴PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，
∴PA⊥AB，∴PB＝
答案
三、解答题
9.已知平面ABC⊥平面ACD，AB⊥平面BCD，BE⊥AC于点E.
（1）判断DC与BE的关系；
DC⊥BC.
（1）解 DC⊥BE，理由如下：
∵平面ABC⊥平面ACD，BE⊥AC于点E，平面ABC∩平面ACD＝AC，BE⊂平面ABC，
∴BE⊥平面ACD，又DC⊂平面ACD，∴BE⊥DC.
（2）证明 ∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.
∵BE⊥CD，AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面ABC，
∴CD⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，
∴CD⊥BC.
10.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝
a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角.
（1）AB⊥平面BCD；
（2）平面ACD⊥平面ABD.
证明
（1）在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝
∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°
，AB⊥BD.
又∵平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，
∴AB⊥平面BCD.
（2）∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，
∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
∵AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，
∴CD⊥平面ABD.
又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.
能力提升
11.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________.
解析 取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，
所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
所以MG⊥平面DCEF，
可得MG⊥NG，
所以MN＝
12.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2.∠ABC＝∠DBC＝120°
，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.
EF⊥平面BCG；
（2）求三棱锥D－BCG的体积.
（1）证明 ∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°
∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC.
∵G为AD的中点，∴CG⊥AD.
同理BG⊥AD，
∵CG∩BG＝G，CG，BG⊂平面BGC，
∴AD⊥平面BGC.又E，F分别是AC，CD的中点，
∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG.
（2）解 在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB的延长线于O，
∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面ABC∩平面BCD＝BC，且AO⊂平面ABC，
∴AO⊥平面BCD.
∵G为AD的中点，
∴G到平面BCD的距离h是AO长度的一半.
在△AOB中，AO＝ABsin60°
，∴h＝
在△BCD中，BF＝BD·
cos60°
＝2×
＝1，
DF＝AB·
sin60°
，∴DC＝2
故S△DCB＝
BF·
DC＝
1×
2
∴VD－BCG＝VG－BCD＝
S△DCBh＝
创新猜想
13.（多选题）如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系成立的有（ ）
A.SG⊥平面EFGB.SE⊥平面EFG
C.GF⊥SED.EF⊥平面SEG
解析 由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，同理可证GF⊥平面GSE，所以平面EFG，SFG，SEG两两垂直，所以选项A，C正确；
若SE⊥平面EFG，则SE⊥EG，这与SG⊥EG矛盾，同理可知EF⊥平面SEG不正确，所以B，D不正确.
答案 AC
14.（多选题）如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形（A′不与A，F重合），则下列命题中正确的是（ ）
A.动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
B.BC∥平面A′DE
C.三棱锥A′－FED的体积有最大值
D.三棱锥A′－FED可能是正三棱锥
解析 注意折叠前DE⊥AF，折叠后其位置关系没有改变.
A中，由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上.
B中，BC∥DE，BC⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，
∴BC∥平面A′DE.
C中，当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大.
D中，因为A′F的长度在
范围内，所以存在一个位置，使A′F＝
又因为△DEF是正三角形，所以该位置使三棱锥A′－FED是正三棱锥.
答案 ABCD
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