高中数学新教材必修第一册第五章三角函数 55三角恒等变换南开题库含详解Word文档下载推荐.docx
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C.等腰或直角三角形D.钝角三角形
18.已知，，则的值等于
19.在中，，则是
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等腰直角三角形
20.已知，则的值是
21.的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则
22.在中，已知，给出以下四个论断：
①；
②；
③；
④．
其中正确的是
A.①③B.②④C.①④D.②③
23.设，，，，则，，，的大小关系为
24.设且，则
25.“”是“”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
26.若，则
27.函数是
A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的偶函数
28.若，则
29.若复数是纯虚数（为虚数单位），则的值为
A.B.C.D.或
30.已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则
31.已知，，则等于
32.若，则
33.在中，角，，所对的边分别为，，，，且，则
34.已知命题：
①，使成立；
②，使成立；
③，有成立；
④若，是的内角，则"
"
的充要条件是"
其中正确命题的个数是
35.下面能得出为锐角三角形的条件是
A.B.
C.D.
36.如图，在正方体中，点为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围为
37.已知函数的定义域为，若存在常数，对任意，有，则称为函数．给出下列函数：
①；
②；
③；
④；
⑤是定义在上的奇函数，且满足对一切实数均有．其中是函数的序号为
A.①②④B.②③④C.①④⑤D.①②⑤
38.已知，，则
39.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，，则的取值范围是
40.设为椭圆上的动点，，为椭圆的焦点，为的内心，则直线和直线的斜率之积
A.是定值B.非定值，但存在最大值
C.非定值，但存在最小值D.非定值，且不存在最值
二、填空题（共40小题；
41.已知，，那么
.
42.若，则
43.已知，，则
44.已知，则
45.知，，那么
46.已知，分别为三角形两个内角，满足，则取最大值时
47.化简：
48.在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则的形状为
49.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上且，则
50.若，，则的值为
51.已知是第三象限角，且，那么
52.已知，，则的值为
53.函数的最大值是
54.的值是
55.已知，是函数在内的两个零点，则
56.已知，则
，
57.设为锐角，若，则
58.求值：
59.已知，则
60.的值是
61.已知，，那么的值是
62.函数的最小值是
63.函数，的最小值为
64.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为，则
65.若，则
66.已知点在直线上，则
67.若点是函数的一个对称中心，则
68.已知，，则
69.已知，是圆心在坐标原点的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点的横坐标为，点的横坐标为，则
70.若平面向量，，且，则的值是
71.边长为的正三角形内（包括三边）有点，，求的范围
72.在中，，，分别是角，，的对边，且，若，，则的值为
73.
（1）若，则的取值范围是
；
（2）若，则的最小值为
74.计算
75.函数的最大值与最小值之和为
76.设，，分别为三内角，，的对边，面积，若，则的最大值是
77.在中，，，分别为，的中点，且，则的最小值为
78.在中，，，则的最大值为
79.已知，且，若，则
80.
三、解答题（共20小题；
共260分）
81.已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
82.中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（2）求的面积．
83.已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
84.已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围．
85.已知函数．
（1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求函数在区间上的最值．
86.设函数．
（1）求的最小正周期．
（2）若函数与的图象关于直线对称，求当时的最大值．
87.已知．
（2）求的值．
88.已知函数．
（1）求的定义域和最小正周期；
（2）设，若，求的值．
89.已知函数，．
（1）求函数的最小正周期并写出函数图象的对称轴方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值．
90.已知函数的最小正周期为
（1）求的值及函数的单调递减区间．
（2）将函数的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值．
91.在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，．
（1）求和的值；
92.在中，，，．
93.已知函数．
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）在给出的直角坐标系中，画出函数在区间上的图象．
94.已知函数，其中向量，，，且的最小正周期为．
（2）求的最小值，并求出相应的的取值集合；
（3）将的图象向左平移个单位，所得图象关于点对称，求的最小正值.
95.设函数
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，的最小值为，求的最大值．
96.已知函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）若，求的值．
97.若函数在区间的最大值为．
（1）求常数的值；
（2）求函数当时的最小值，并求出相应的的取值集合；
（3）求该函数在的单调增区间．
98.已知函数．的最小正周期为．
（1）求的值及函数的单调递减区间；
99.己知向量，．记．
（1）若，求的值；
（2）在锐角中，角，，的对边分别是，，，且满足，求函数的取值范围．
100.
（1）在中，已知边，，已知角，求角；
若该题中的条件改为边，，已知角，求角；
请根据该题的解答归纳判断解三角形的一个解、两个解的依据；
（2），，的对边分别是，，，已知，求的值；
（3）在中，内角，，的对边分别是，，，若，，求角；
（4）在锐角中，，，的对边分别是，，，，求的值．
答案
第一部分
1.A【解析】由于，，
所以，．
所以．
2.D
3.A【解析】，由正弦定理得，又，，所以，易知，，．
4.B
5.C
6.A【解析】是假命题；
是真命题，如时成立；
是真命题，因为，，；
是假命题，如，时，，但．
7.B
8.A【解析】因为，所以，即．因为，所以．
9.C【解析】，，
则
10.B
11.A【解析】，将第二个等号的两边平方，得，所以．
12.A【解析】，
两边平方得：
，即，
则．
13.B【解析】
（方法一）由正弦定理可得．由余弦定理得，化简得．所以是等腰三角形．
（方法二）可知，所以．所以．故为等腰三角形．
14.A【解析】为假命题；
因为恒成立，所以命题为假命题；
为真命题；
因为当，时，，所以命题为真命题；
因为，而，所以，所以，
所以命题为真命题；
为假命题；
因为，而，所以命题为假命题．
15.D
16.D
17.B
18.B
19.C【解析】因为，所以，即，即，所以．
20.D
【解析】，所以，，
故.
21.B【解析】由题意得
，
即，
由正弦定理得，
即，得．
22.B【解析】，由得，所以，所以，所以是为直角三角形，，得不到①；
，所以成立，②正确；
，得不到③；
，④正确．
23.C【解析】
．
故．
24.D【解析】因为，所以，整理得，所以．
25.A
【解析】因为，
所以当时，，充分性成立；
当时，
因为，
所以或，必要性不成立．
26.D【解析】因为
27.A【解析】．
28.D
29.C
30.A
31.D【解析】由，
则，
又，
所以，
又．
32.D
33.A【解析】因为，所以，由正弦定理得，可得，因为，所以，即为锐角，所以．
34.B【解析】①中，错误；
②中当时，成立，正确；
③中当，时，等式右边式子无意义；
④中不妨设，对应的边为，，由三角形中大边对大角，知，又由正弦定理，，知，于是，正确．
35.D
【解析】A选项中角为钝角，B选项中只能得到角为锐角，得不出锐角三角形；
C选项中角可以是锐角，也可以是钝角；
D选项中，假设三角形为钝角三角形，不妨设角为钝角，将用表示后展开，可以变形得到，假设不成立．
36.B【解析】可证，而当为的中点时，，此时，从而的最大值为．因此．
设，则，．
在中，．
综上所述，．
37.C
38.C【解析】方法一（直接法）：
两边平方，
再同时除以，
整理得，
故或，
代入，得．
方法二（猜想法）：
由给出的数据及选项的唯一性，
记，，
这时符合要求，
此时，代入二倍角公式求解即可．
39.B【解析】由得，，
则，由知，为钝角，
又，则，，
由于，
40.A
【解析】设，，，
则有，，则
即，为定值．
第二部分
41.
42.
【解析】，则．
43.
44.
【解析】因为，则
45.
所以
46.
【解析】，把代入得，当，即时取得最大值．
47.
【解析】
48.等腰或直角三角形
所以或．
因为，，
所以为直角三角形或等腰三角形．
49.
【解析】设，结合题意知．
因为在的平分线上，所以在，上的射影相等，从而有
即
化简得，结合的范围知，．
其他解法：
如图，
可设点坐标为，根据点为平分线上的点可知，再结合可知，，结合二倍角公式，可解得，由题意知，联立即可得到答案．
50.
51.
因为角是第三象限角，
52.
【解析】由题意：
，①
，②
①②得，②①得.
所以.
53.
【解析】函数化简为．所以最大值为．
54.
55.
【解析】，是函数在内的两个零点，可得，
即为，
即有，
由，可得，可得，由，
可得，
由，
即有．
56.，
【解析】因为，，
57.
【解析】．
58.
所以结果为．
59.
60.
61.
62.
【解析】
所以最小值为．
63.
所以由万能公式，可得（当且仅当时取等号）．
64.
65.
66.
67.
【解析】因为点是函数的一个对称中心，
所以，则
68.
69.
【解析】由题意可得，，所以；
再根据，可得．
70.
71.
【解析】以中点为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
因为正三角形边长为，
所以，，，
设的坐标为，
所以，，
即点在的圆弧即上，
如图可以求出，；
，，，
设，则，，
当时，最大，；
当时，最小，；
所以的范围是．
72.或
【解析】，
由于为三角形的内角，则，
又，即有，
解得，，或，．
73.
（1），
（2）
（1）由，解得或．于是．
（2）类似
（1）可解得，于是在时取到最小值．
74.
75.
【解析】由，得，
由，得，解得：
所以函数的最大值与最小值分别为，，和为．
76.
77.
【解析】如图，
设，，，，．
所以点在圆上，当直线与该圆在第一象限相切时，最大，设该圆的圆心为，
设圆的切线方程为（取），
当与相切时，最大，最小．此时也最小，，
所以
78.
【解析】由正弦定理，知，
其中，是第一象限的角．
因为，且是第一象限角，
所以有最大值．
79.
80.
第三部分
81.
（1）因为，所以，所以.
（2）因为，，所以，，所以.
82.
（1）因为，
因为．
由正弦定理知，
（2）因为，
83.
（1）
（2），，
所以当，即时，，
当，即时，.
84.
（1）因为
由直线是图象的一条对称轴，
所以，
即．
又，，
所以的最小正周期是．
（2）由的图象过点，得，
即．
故，
由，有，
得，
故函数在上的取值范围为．
85.
（1）因为
所以周期．
由，，得，，
所以图象的对称轴方程为，．
（2）因为，
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，．
又因为，
86.
（1）
故的最小正周期为．
（2）在的图象上任取一点，它关于的对称点为．
由题设条件，点在的图象上，从而
当时，，
因此在区间上的最大值为．
87.
（1）因为
所以，由得
解得
（2）
88.
（1）因为，
所以的定义域为．
的最小正周期．
所以．
而，
故由，解得，．
89.
（1）
函数的最小正周期为．
函数图象的对称轴方程为，．
（2）因为函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为．
90.
（1）
因为，所以
当，函数单调递减，
所以函数的单调递减区间为
（2）将函数的图象上各点的横坐标向右平行移动个单位长度，纵坐标不变，得到函数的图象，，
在上单调递增，在上单调递减，
，
所以在上最大值为，最小值为
91.
（1）在中，由，可得．
又由及，，可得．
由
得
因为，故解得．所以
（2）由，，得
92.
（1）在中，根据正弦定理，
于是
（2）在中，根据余弦定理，得
从而
93.
（1）原式可变形为
所以函数的最小正周期为最大值为．
（2）由
（1）列表得
故函数在区间上的图象是
94.
（1）由已知得，
因为最小正周期为，所以
（2）因为，所以最小值为，此时满足，则，因此的取值集合为
（3），由题意得，，
所以得最小正值.
95.
（1）.
由，，得，
所以的单调递增区间为.
（2）由，得，故．
由的最小值为，得
解得．
所以的最大值为.
96.
（1）
由，，
得，，
所以的单调增区间为．
（2）由
（1）知，
97.
（1），
所以函数在区间上为增函数，在区间上为减函数，
所以在区间的最大值为，
（2）的最小值为，此时，，
解得：
（3）不妨设，
则函数的单调增区间为，，
由，得，．
设，，，
所以
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