高中数学新教材《统计与概率》章末复习Word文档下载推荐.docx
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现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，因此我们可通过获取样本数据，分析样本的数字特征和样本的分布，进而对总体作出估计．
（1）估计总体的数字特征
通常我们用样本的平均数和方差（标准差）来近似代替总体的平均数和方差（标准差），呈现样本数据的集中趋势及波动大小，从而实现对总体的估计．
①一般情况下，需要将平均数和标准差结合，得到更多样本数据的信息，从而对总体作出较好的估计．因为平均数容易掩盖一些极端情况，使我们对总体作出片面的判断，而标准差较好地避免了极端情况．
②若两组数据的平均数差别很大，也可以仅比较平均数，估计总体的平均水平，从而作出判断．
（2）估计总体的分布
①样本的分布以图表的形式给出，常见的统计图表有频率分布表、频率分布直方图、茎叶图，三者的优缺点如下：
②频率分布直方图中相关计算的常用结论
a．图中小矩形的面积＝组距×
＝频率．
b．所有小矩形的面积之和为1.
需要注意的是：
通过样本数据的统计图表和数字特征，我们能够估计总体的信息，而且样本容量越大，这种估计也就越精确．当样本数据发生变化时，总体的这些信息不会变化．
3．对随机事件的理解
（1）随机事件是指一定条件下出现的某种结果，即随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件在相同的条件下进行研究．
（2）随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验中，随机事件的发生是有规律的．
4．频率与概率的联系与区别
随机事件的频率，是指事件发生的次数与试验总次数的比值．它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，但随着试验次数的不断增加，摆动幅度越来越小，这时可把这个常数作为这个事件的概率．概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．在大量重复试验的前提下，可以用频率来估计这个事件的概率．
5．互斥事件与对立事件
（1）互斥事件是不可能同时发生的两个事件；
对立事件除要求这两个事件不能同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．
（2）应用互斥事件的概率加法公式时，要注意首先确定诸事件彼此互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：
一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；
二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P（A）＝1－P（
）求解．
6．古典概型
对于古典概型概率的计算，关键是分清样本空间中样本点的总个数n与事件中包含的样本点个数m，有时需用列举法把样本空间中的样本点一一列举出来，再利用公式P（A）＝
求出事件的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须做到不重复、不遗漏．
7．事件相互独立的判断
利用相互独立事件的定义（即P（AB）＝P（A）P（B））可以判定两个事件是否相互独立，这是用定量方法进行分析的定量计算，可以较为准确、果断地判断两个事件是否相互独立．因此我们必须熟练掌握这种方法，但需要注意的是互斥事件与相互独立事件之间有一定的关系，也就是若两个事件相互独立，则一定不能互斥（对立）；
反之，若两个事件互斥（对立），则不能相互独立．
学科思想培优
抽样方法的选取及应用
随机抽样方法有简单随机抽样、分层抽样两种．
[典例1]
（1）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
（2）问题：
①某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了了解有关家用轿车购买力的某个指标，要从中抽取一个容量为100的样本；
②从10名学生中抽取3人参加座谈会．方法：
a.简单随机抽样；
b.分层抽样．则问题与方法配对正确的是（ ）
A．①a，②bB．①b，②b
C．①a，②aD．①b，②a
解析
（1）分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本．设从高二年级抽取的学生数为n，
则
＝
，解得n＝8.
（2）问题①中的总体是由差别明显的几部分组成的，故可采用分层抽样方法；
问题②中总体的个数较少，故可采用简单随机抽样．故匹配正确的是D.
答案
（1）B
（2）D
用样本的数字特征估计总体的数字特征
样本的数字特征可分为两大类，一类反映样本数据的集中趋势，包括样本平均数、众数、中位数；
另一类反映样本数据的波动大小，包括样本方差及标准差.通常，我们用样本的数字特征估计总体的数字特征.有关样本平均数及方差的计算和应用是高考考查的热点.
[典例2] 甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成绩（单位：
环）如图所示．
（1）填写下表：
平均数
中位数
命中9环及以上
甲
7
________
1
乙
3
（2）请从四个不同的角度对这次测试进行分析：
①结合平均数和方差，分析偏离程度；
②结合平均数和中位数，分析谁的成绩好些；
③结合平均数和命中9环及以上的次数，看谁的成绩好些；
④结合折线图上两人射击命中环数及走势，分析谁更有潜力．
解
（1）甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，
∴其中位数为7.
乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10，
∴
乙＝
×
（2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10）＝7.
乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，
∴其中位数是
＝7.5.
于是填充后的表格，如下所示：
7.5
（2）s
[（5－7）2＋（6－7）2×
2＋（7－7）2×
4＋（8－7）2×
2＋（9－7）2]＝1.2，
s
[（2－7）2＋（4－7）2＋（6－7）2＋（7－7）2×
2＋（8－7）2×
2＋（9－7）2×
2＋（10－7）2]＝5.4.
①甲、乙的平均数相同，均为7，但s
<
，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大．
②甲、乙的平均数相同，而乙的中位数比甲大，说明乙的射靶成绩好些．
③甲、乙的平均数相同，而乙命中9环及以上的次数比甲多2次，可知乙的射靶成绩比甲好．
④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．
[典例3] 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图．
（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为
1，
2，估计
1－
2的值．
解
（1）设甲校高三年级学生总人数为n.
由题意，知
＝0.05，解得n＝600.
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格的人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－
.
（2）设甲、乙两校样本平均数分别为
1′，
2′.
根据样本茎叶图知，
30（
1′－
2′）＝30
1′－30
2′
＝（7－5）＋（55＋8－14）＋（24－12－65）＋（26－24－79）＋（22－20）＋92
＝2＋49－53－77＋2＋92
＝15.
因此
2′＝
＝0.5，
所以
2的估计值为0.5分．
函数与方程思想
（1）函数思想是中学数学中最重要的基本思想，也是高考考查的重点，函数思想是统计中把握数据、用数据说话的有力工具.,
（2）方程思想是一种重要的数学思想，当一个问题可能与某个方程有关联时，可尝试构造方程解决该问题.
[典例4] 已知样本数据由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13,19,20，且样本的中位数为10.5，若要使该样本的方差最小，则a，b的值分别为（ ）
A．9.5,11.5B．10.5,9.5
C．10,11D．10.5,10.5
解析 由于样本共有10个值，且中间两个数为a，b，所以依题意，得
＝10.5，即b＝21－a.
因为平均数
＝（2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13＋19＋20）÷
10＝10，所以要使该样本的方差最小，只需（a－10）2＋（b－10）2最小．
又（a－10）2＋（b－10）2＝（a－10）2＋（21－a－10）2＝2a2－42a＋221，
所以当a＝－
＝10.5时，（a－10）2＋（b－10）2最小，即该样本的方差最小，此时b＝10.5.
答案 D
[典例5] 经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比“不喜欢”的多12人，按分层抽样法从全班选出部分学生参加摄影座谈会，其中5位“喜欢”摄影，1位“不喜欢”摄影，3位持“一般”态度．那么全班学生中“喜欢”摄影的人数为________．
解析 设班里持“喜欢”态度的有y人，持“一般”态度的有x人，则持“不喜欢”态度的有（x－12）人．
由题意得
，解得x＝18.
又
，所以y＝30.
故全班学生中“喜欢”摄影的人数为30.
答案 30
数形结合思想
数形结合思想是数学中重要的思想方法，在解决有关统计问题时，其作用尤为突出，常结合统计图提取信息.例如，由频率分布直方图可得出相应的频率、频数等.
[典例6] 以下三个图表，表示的都是某工厂在一到三月的生产产值情况，那么其中图表________表示前三个月的产值最高．
解析 A表示一月份的产值是10万元，二月份的产值是20万元，三月份的产值是30万元，前三个月的产值合计是60万元；
B表示一月末的产值是10万元（还不一定是一月份的产值，也可能是从头一年某个时间起累积的产值），二月末的产值是20万元（也就是说二月份的产值是10万元），三月末的产值是30万元（也就是说三月份的产值是10万元），这样计算下来，前三个月的产值最多也就30万元；
C表示一月份的产值增长了10万元（不考虑出现负产值的情况，则一月份的产值至少有10万元），二月份的产值则在一月份产值的基础上增长了20万元（二月份的产值至少有30万元），而三月份的产值则在二月份产值的基础上增长了30万元（三月份的产值至少有60万元）．由此可见，前三个月的产值至少有100万元；
综上可知，C对应的产值最高，故填C.
答案 C
[典例7] 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50,90）之外的人数．
分数段
[50,60）
[60,70）
[70,80）
[80,90）
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
解
（1）依题意，得10×
（2a＋0.02＋0.03＋0.04）＝1，解得a＝0.005.
（2）这100名学生语文成绩的平均分为55×
0.05＋65×
0.4＋75×
0.3＋85×
0.2＋95×
0.05＝73.
（3）数学成绩在[50,60）的人数为100×
0.05＝5，
数学成绩在[60,70）的人数为100×
0.4×
＝20，
数学成绩在[70,80）的人数为100×
0.3×
＝40，
数学成绩在[80,90）的人数为100×
0.2×
＝25.
所以数学成绩在[50,90）之外的人数为100－5－20－40－25＝10.
频率与概率的关系
（1）求一个事件的概率的一种方法是通过大量的重复试验．
（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才可看作该事件的概率．
（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．
（4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小．
（5）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P（A）≤1.
[典例8] 对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
4
5
8
9
次品频率
（1）计算表中次品的频率（结果保留到小数点后三位）；
（2）从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？
（3）为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？
解
（1）表中次品频率从左到右依次为0.060,0.040,0.025,0.017,0.020,0.018.
（2）当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
（3）设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x（1－0.02）≥2000，因为x是正整数，
所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘．
互斥事件、对立事件及其概率
不能同时发生的是互斥事件，反映在集合上就是两事件的交集为空.在互斥的基础上必有一个发生的是对立事件，互为对立的两个事件概率之和为1.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率问题的关键.
其中互斥加法与对立加法概率公式可以推广到有限个事件，即如果事件A1，A2，…，An是两两互斥关系，
则P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）.
[典例9] 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
（1）分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
（2）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于从A地赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解
（1）选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：
（2）设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由
（1）知P（A1）＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P（A2）＝0.1＋0.4＝0.5，
因为P（A1）>
P（A2），所以甲应选择路径L1；
P（B1）＝1－0.2＝0.8，P（B2）＝1－0.1＝0.9，
因为P（B2）>
P（B1），所以乙应选择路径L2.
古典概型
古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概率的基础.在高考题中，经常出现此种概型的题目.用古典概型计算概率时，一定要验证所构造的样本空间的样本点是否是等可能的，同时要弄清所求事件所包含的等可能出现的结果（样本点）的个数.
[典例10] 某高速公路服务区临时停车场按时段收费，收费标准为：
每辆汽车一次停车不超过1小时收费5元，超过1小时的部分每小时收费7元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人在该服务区临时停车，两人停车都不超过4小时．
（1）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为
，停车付费多于12元的概率为
，求甲停车付费恰为5元的概率；
（2）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车付费之和为38元的概率．
解
（1）设“甲停车付费恰为5元”为事件A，则P（A）＝1－
－
所以甲停车付费恰为5元的概率是
（2）甲停车付费a元，乙停车付费b元．其中a，b＝5,12,19,26.
则甲、乙两人的停车费用构成的样本空间的样本点为（5,5），（5,12），（5,19），（5,26），（12,5），（12,12），（12,19），（12,26），（19,5），（19,12），（19,19），（19,26），（26,5），（26,12），（26,19），（26,26），共16个，且这16个样本点发生的可能性是相等的．
其中，（12,26），（19,19），（26,12）这3个样本点符合题意．
故“甲、乙两人停车付费之和为38元”的概率为P＝
独立事件与互斥事件综合问题的概率
求复杂事件的概率一般可分为三步进行：
①列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；
②理清各事件之间的关系，列出关系式；
③根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算.
[典例11] 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为
、
，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率．
解
（1）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai（i＝1,2,3,4），则P（A1）＝
，P（A2）＝
，P（A3）＝
，P（A4）＝
，
∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率
P1＝P（A1A2A3
4）＝P（A1）P（A2）P（A3）P（
4）
（2）该选手至多进入第三轮考核的概率：
P2＝P（
1＋A1
2＋A1A2
3）
＝P（
1）＋P（A1）P（
2）＋P（A1）P（A2）P（
＋
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