考研数学一分类真题一元函数积分学文档格式.docx
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=______．
解由于[*]所以[*]本题主要考查变上限积分求导．
6.
sinx2．）
解令x-t=u，则[*]本题主要考查定积分变量代换和变上限积分求导．
7.
解1[*]
△解2由定积分的几何意义知，积分[*]应等于圆x2+y2=2x围成面积的[*]，此圆半径为1，其面积为[*]，故[*]．
本题主要考查定积分换元法（解1），但显然解2最好．
8.
1）
解[*]本题主要考查广义积分计算．
9.已知f'
（ex）-xe-x，且f
（1）=0，则f（x）=______．
[*]）
解令ex=t，则x=Int，代入f'
（ex）=xe-x得
[*]
由f
（1）=0知，C=0，故f（x）=[*]
本题主要考查对f'
（ex）的理解和不定积分．解决此类问题的方法是先作变量代换求出f'
（t），然后积分便可求得f（t）．
10.
1.00）
解1[*]解2令[*]，则[*]本题主要考查计算定积分的分部积分法．
11.
-4π）
解令[*]，则x=t2，dx=2tdt
原式=[*]=-4π
本题主要考查定积分的计算方法．重点是两种方法，即换元积分法和分部积分法．
12.曲线
的弧长s=______．
解[*]则[*]本题主要考查平面曲线弧长计算和变上限积分求导
13.
解1由于[*]
令x-1=sint,则dt=costdt
解2由于[*]
令x-1=t,则dx=dt
本题是一道定积分计算的基本题，用到定积分计算中很多常用方法和结论、换元法（x-1=sint,x-1=t）,其中结论
定积分几何意义：
[*]（单位圆x2+y2≤1面积的[*]）．
14.
（ln2）．）
[*]本题主要考查反常积分的计算.
二、{{B}}选择题{{/B}}（总题数：
19，分数：
19.00）
15.设f（x）为已知连续函数，
，其中s＞0，t＞0，则I的值______
∙A.依赖于s和t．
∙B.依赖于s．t，x．
∙C.依赖于t和x，不依赖于s．
∙D.依赖于s，不依赖于t．
A.
B.
C.
D.
√
解[*]由此可见，I的值只与S有关，所以应选D．本题主要考查定积分的概念和变量代换．
16.设f（x）是连续函数，且F（x）=
，则F'
（x）等于______
∙A.-e-xf（e-x）-f（x）
∙B.-e-xf（e-x）+f（x）
∙C.e-xf（e-x）-f（x）
∙D.e-xf（e-x）+f（x）
A.
D.
解由[*]可知
F'
（x）=-e-xf（e-x）-f（x）
故应选A．
17.设
，则当x→0时，f（x）是g（x）的______
∙A.等价无穷小．
∙B.同阶但非等价的无穷小．
∙C.高阶无穷小．
∙D.低阶无穷小．
B.
解因为[*]所以，当x→0时，f（x）与g（x）是同阶但非等价的无穷小．本题主要考查无穷小量阶的比较和变上限积分求导．
18.双纽线（x2+y2）2=x2-y2所围成的区域面积可用定积分表示为______
A．
．B．
．
C．
．D．
双纽线（x2+y2）2=x2-y2所围成的图形关于y轴和x轴都对称．因此，所求面积应为第一象限的4倍．而在计算双纽线围成的面积时应用极坐标方程r2=cos2θ，并且应特别注意在第一象限θ的取值范围应是0≤θ≤[*]，而不是0≤θ≤[*]．
解设双纽线在第一象限围成的面积为S1，则
所求面积为[*]
所以应选A．
本题主要考查平面图形的面积计算．
19.设
，则有______
∙A.N＜P＜M.
∙B.M＜P＜N.
∙C.N＜M＜P．
∙D.P＜M＜N．
注意本题中所给三个定积分的积分区间都是关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解由被积函数的奇偶性可知M=0N=[*]P=[*]因此P＜M＜N，故应选D．本题主要考查关于原点对称区间上奇偶函数积分的性质．
20.设f（x）有连续导数，f（0）=0，f'
（0）≠0，F（x）=
，且当x→0时，F'
（x）与xk是同阶无穷小，则k等于______
∙A.1．
∙B.2．
∙C.3．
∙D.4．
C.
解1F（x）=[*]
（x）=[*]
由于[*]=f'
（0）≠0，而上式右端极限存在且为非零常数，则k=3，所以应选C．
解2由原题知当x→0时，F'
（x）与xk为同阶无穷小，换句话说，当x→0时，F'
（x）是x的k阶无穷小，本题要决定k，即要决定当x→0时，F'
（x）是x的几阶无穷小，如果能决定F（x）是x的几阶无穷小，降一阶就应是F'
（x）的阶数．下面来决定F（x）是x的几阶无穷小．由于
f（t）=f（0）+f'
（0）t+o（t）=f（0）t+o（t）
由于上式中第二项o（t）是高阶无穷小，略去它不影响F（x）的阶数，则x→0时，[*]与F（x）的阶数相同，而
显然它是x的四阶无穷小。
则x→0时F（x）是x的四阶无穷小，F'
（x）应是x的三阶无穷小，故应选C．
△解3与解2前面的分析一样，本题只要能确定F（x）是x的几阶无穷小，问题就得到解决．在F（x）=[*]的表达式中有一个一般函数．f（t），这样一个一般的f（t）它都能决定F（x）的阶数，那么取一个具体的f（t），比如取f（t）=t．当然同样也可以决定结果．将f（t）=t代入[*]．得
显然它是x的四阶无穷小，从而F'
（x）是x的三阶无穷小，所以应选C．
本题主要考查变上限积分求导、洛必达法则及无穷小阶的比较．
21.设在区间[a，b]上f（x）＞0，f（x）＜0，f（x）＞0．令S1=
-a），S3=
[f（a）+f（b）]（b-a），则______
∙A.S1＜S2＜S3
∙B.S2＜S1＜S3
∙C.S3＜S1＜S2．
∙D.S2＜S3＜S1．
解1在[0，In2]上考虑f（x）=e-x，显然f（x）满足原题设条件，而
则S2＜S1＜S3
解2由题设条件对f（x）的图形进行分析，易知f（x）在x轴上方、单调下降且向上凹，如图2.5所示，S2表示长方形ABCE的面积，S3等于梯形ABCD的面积，S1等于曲边梯形ABCD的面积．从而有
S2＜S1＜S3
本题主要考查利用函数的导数对函数图形的描述．
22.设F（x）=
，则F（x）______
∙A.为正常数．
∙B.为负常数．
∙C.恒为零．
∙D.不为常数．
首先决定f（x）是否为常数，有两种方法．
（1）由于F'
（x）=esin（x+2π）sin（x+2π）-esinxsinx≡0．则F（x）≡C．
（2）显然被积函数esinxsint以2π为周期，由周期函数性质可知，F（x）≡F（0）=C．
其次是决定常数C是正数、负数还是零．
△解2考察F（0）=[*]
被积函数中sint在（0，π）上为正，（π，2π）上为负，且在这两个区间上sint的值完全对应且仅仅相差一个负号．而当t∈（0，π）时，esinx＞1，当t∈（π，2π）时，esint＜1，则积分[*]一定为正，故应选A．
△解3F（0）=[*]
又[*]
则F（0）=[*]
而当t∈（0，π）时，（esinx-e-sinx）sint＞0，则F（0）＞0．
△解4考察F（-π）=[*]有
则F（-π）=[*]
上式积分中sint的奇次幂项为奇函数，该项积分为零，而sint的偶次幂项的积分显然为正，则F（-π）＞0．
本题主要考查周期函数的积分性质．
23.设f（x）连续，则
=______
∙A.xf（x2）．
∙B.-xf（x2）．
∙C.2xf（x2）．
∙D.-2xf（x2）．
此类问题通常是通过变量代换将被积函数中的x换到积分限上来．
解1令x2-t2=u，则
原式=[*]
△解2令f（x）≡1，则[*]，显然B，C，D均不正确，故应选A．
24.设f（x）是连续函数，F（x）是f（x）的原函数，则______
∙A.当f（x）是奇函数时，F（x）必是偶函数．
∙B.当f（x）是偶函数时，F（x）必是奇函数．
∙C.当f（x）是周期函数时，F（x）必是周期函数．
∙D.当f（x）是单调增函数时，F（x）必是单调增函数．
B，C，D分别举反例如下．B的反例：
f（x）=cosx，F（x）=sinx+1不是奇函数．C的反例：
f（x）=cosx+1，F（x）=sinx+x不是周期函数．D的反例：
f（x）=x，F（x）=[*]不是单调增的．所以应选A．解2直接说明A正确．f（x）的原函数F（x）可表示为F（x）=[*]则[*]故A是正确选项．本题主要考查原函数的概念及其变上限函数表示法．
25.把a→0+时的无穷小量
排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是______
∙A.α，β，γ．
∙B.α，γ，β．
∙C.β，α，γ．
∙D.β，γ，α．
则当x→0+时γ是α的高阶无穷小，又
则当0→0+时β是γ的高阶无穷小，故应选B.
解2由于[*]，[*]，则x→0+时，α是x的一阶无穷小；
而[*]．则当x→0+时β是x的3阶无穷小；
[*]，则当x→0+时，γ是x的二阶无穷小，故应选B.
本题主要考查无穷小量阶的比较和变上限积分求导．
26.设F（x）是连续函数f（x）的一个原函数，“M
N”表示“M的充分必要条件是N”，则必有______A．F（x）是偶函数
f（x）是奇函数．B．F（x）是奇函数
f（x）是偶函数．C．F（x）是周期函数
f（x）是周期函数．D．F（x）是单调函数
f（x）是单调奇函数．
解1直接法若F（x）是连续函数f（x）的原函数，且F（x）是偶函数，则F（-x）=F（x），式两端对x求导得
-F'
（-x）=F（x）
-f（-x）=f（x）
反之，若f（x）为奇函数，则G（x）=[*]是f（x）的一个原函数，又
则G（x）是偶函数，由于F（x）也是f（x）的原函数，则
F（x）=G（x）+C
F（x）亦是偶函数，故应选A．
解2排除法令f（x）=cosx，F（x）=sinx+1．显然f（x）是偶函数，但F（x）不是奇函数，所以B不正确；
令F（x）=sinx+x，f（x）=cosx+1．显然f（x）是周期函数，但F（x）不是周期函数，故C不正确；
令F（x）=x2，f（x）=2x．显然f（x）是单调函数，但F（x）不是单调函数，则D不正确，故应选A．
本题主要考查函数与其原函数在奇偶性、周期性及单调性之间的关系．
27.如图，连续函数y=f（x）在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周．设
，则下列结论正确的是______
．C．
解根据定积分的几何意义知，[*]则[*]，故应选C．也可用排除法：
由定积分的几何意义知[*][*]也可利用f（x）是奇函数，则[*]为偶函数，从而[*]则A，B，D均不正确，故应选C．本题主要考查定积分的几何意义．
28.设函数y=f（x）在区间[-1，3]上的图形为
则函数
的图形为A．
B．
C．
D．
解由题设知，当x∈（-1，0）时F'
（x）=f（x），而当x∈（-1，0）时f（x）≡1＞0，即F'
（x）＞0，从而F（x）单调增，显然A选项是错误的，因为A选项中F（x）在（-1，0）中单调减.由于F（x）=[*]，则F（0）=0，显然C选项错误．由于当x∈（2，3]时f（x）≡0，则当x∈（2，3]时[*]则B错误的，D是正确的.本题主要考查变上限积分的性质及函数与其导函数的关系.
29.设m，n均是正整数，则反常积分
的收敛性______
∙A.仅与m的取值有关．
∙B.仅与n的取值有关．
∙C.与m，n的取值都有关．
∙D.与m，n的取值都无关．
解[*]由于当x→0时，[*]，则[*]与[*]同敛散，而[*]，则[*]收敛，故[*]收敛．由于[*]，则[*]与[*]同敛散．[*][*]而[*]收敛，则[*]收敛.故对任意正整数m和n积分[*]收敛，所以选D．本题主要考查无界函数反常积分敛散性的判定．
30.
=______．A．
解[*]故应选D．本题主要考查定积分定义．
31.设
则I，J，K的大小关系为
∙A.I＜J＜K．
∙B.I＜K＜J．
∙C.J＜I＜K．
∙D.K＜J＜I．
解当x∈[*]时，sinx＜cosx＜1＜cotx，而lnx为单调增的函数，则Insinx＜lncosx＜lncotxx∈[*][*]故应选B．本题主要考查积分的不等式性质．
32.设
（k=1，2．3），则有______
∙A.I1＜I2＜I3．
∙B.I3＜I2＜I1．
∙C.I2＜I3＜I1．
∙D.I2＜I1＜I3．
解本题主要考查定积分几何意义，曲线y=sinx如图（a），而ex2在（0，+∞）单调增且大于1，则曲线y=ex2sinx如图（b）．该曲线与x轴围成三块域面积分别为S1，S2，S3，由定积分几何意义知
则I2＜I1＜I3故应选D．
本题主要考查定积分的几何意义．
33.若
，则
a1cosx+b1sinx=______
∙A.2sinx
∙B.2cosx
∙C.2πsinx
∙D.2πcosx
解1令Z（a，b）=[*]
则a=0，b=[*]
解2[*]
由此可得，当a=0，b=2时积分值最小，故应选A．
解3傅里叶级数就是一种均方逼近．则使得[*]最小的a和b就是函数f（x）=x的相应的傅里叶系数，即
a=a1=0
b=b1=[*]
本题计算中用到几个常用结论.
（1）[*]
（2）[*]
由
（1）得[*]；
由
（2）得，[*].
三、{{B}}解答题{{/B}}（总题数：
4，分数：
20.00）
过坐标原点作曲线y=Inx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴同成平面图形D．（分数：
4.00）
（1）.求D的面积A；
__________________________________________________________________________________________
正确答案：
（如图（a），设切点横坐标为x0，则曲线lnx在点（x0，lnx0）处的切线方程为
南该切线过原点知lnx0-1=0，从而x0=e，所以该切线方程为[*]
所求图形D的面积为
（2）.求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V．（分数：
（解1切线[*]与x轴及直线x=e所围成三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体体积为[*]曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成图形绕直线x=e旋转所得旋转体体积为[*]从而所求旋转体体积为[*]解2利用微元法，如图（b）利用阴影部分窄带绕x=e旋转所得体积可得体积微元为[*][*]）
本题主要考查平面图形面积和旋转体体积的计算，解决此类问题的关键是熟练掌握定积分的微元法．
某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功．设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k，k＞0），汽锤第一次击打将桩打进地下am，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r（0＜r＜1）．问（分数：
6.00）
（1）.汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?
（设第n次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所作的功为Wn（n=1，2，3，…）．由题设，当桩被打进地下的深度为z时，土层对桩的阻力大小为kx，所以
[*]
由题设汽锤每次击打桩时所作的功与前次击打所作功之比为常数r知，
W2=rW1，W3=rW2=r2W1则前三次击打所作功总和为
W1+W2+W3=W1+rW1+r2W1=（1+r+r2）W1
=（1+r+r2）[*]
又W1+W2+W3=[*]
从而有[*]
则[*]
即汽锤击打3次后，可将桩打进地下[*]米．）
（2）.若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?
（注：
m表示长度单位米）（分数：
（由归纳法可知[*]于是[*]）
本题主要考查变力作功问题．
（3）.如图，曲线C的方程为y=f（x），点（3，2）是它的一个拐点，直线l1与l2分别是由线C在点（0，0）与（3，2）处的切线，其交点为（2．4）．设函数f（x）具有三阶连续导数，计算定积分
（解由（3，2）是曲线y=f（x）的拐点知，f"
（3）=0
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