函数的奇偶性及周期性教案docWord文档下载推荐.docx

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②若f（－2）＝f

（2），则函数f（x）是偶函数；

③若f（－2）≠f

（2），则函数f（x）不是偶函数；

④若f（－2）＝f

（2），则函数f（x）不是奇函数．

其中，正确的说法是________．（填序号）

①③

根据偶函数的定义，①正确，而③与①互为逆否命题，故③也正确，若举例奇函数f（x）＝

由于f（－2）＝f

（2），所以②④都错误．

5.（必修1P54练习测试10）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>

0时，f（x）＝x3＋x＋1，则当x<

0时，f（x）＝________．

x3＋x－1

若x<

0，则－x>

0，f（－x）＝－x3－x＋1，由于f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x），所以f（x）＝x3＋x－1.

1.奇函数、偶函数的概念

一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数．

一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数．

2.判断函数的奇偶性

判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：

（1）考查定义域是否关于原点对称．

（2）根据定义域考查表达式f（－x）是否等于f（x）或－f（x）．

若f（－x）＝－f（x），则f（x）为奇函数．

若f（－x）＝f（x），则f（x）为偶函数．

若f（－x）＝f（x）且f（－x）＝－f（x），则f（x）既是奇函数又是偶函数．

若存在x使f（－x）≠－f（x）且f（－x）≠f（x），则f（x）既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数．

3.函数的图象与性质

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．

4.函数奇偶性和单调性的相关关系

（1）注意函数y＝f（x）与y＝kf（x）的单调性与k（k≠0）有关．

（2）注意函数y＝f（x）与y＝

的单调性之间的关系．

（3）奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性．

（4）偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性．

5.函数的周期性

设函数y＝f（x），x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f（x＋T）＝f（x），则称函数f（x）为周期函数，T为函数f（x）的一个周期．（D为定义域）

题型1　判断函数的奇偶性

例1　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝x3－

；

（2）f（x）＝

（3）f（x）＝（x－1）

（4）f（x）＝

＋

解：

（1）定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，由f（－x）＝－f（x），所以f（x）是奇函数．

（2）去掉绝对值符号，根据定义判断．

由

得

故f（x）的定义域为[－1，0）∪（0，1]，关于原点对称，且有x＋2＞0.

从而有f（x）＝

＝

，

这时有f（－x）＝

＝－

＝－f（x），

故f（x）为奇函数．

（3）因为f（x）定义域为[－1，1），所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

（4）因为f（x）定义域为{－

}，所以f（x）＝0，则f（x）既是奇函数也是偶函数．

判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝x4＋x；

（3）f（x）＝lg（x＋

）．

（1）定义域为R，f（－1）＝0，f

（1）＝2，由于f（－1）≠f

（1），f（－1）≠－f

（1），所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数；

（2）因为函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），并且当x＜0时，－x＞0，所以f（－x）＝－（－x）2＋（－x）＝－（x2＋x）＝－f（x）（x＜0）．当x＞0时，－x＜0，所以f（－x）＝（－x）2＋（－x）＝－（－x2＋x）＝－f（x）（x＞0）．故函数f（x）为奇函数．

（3）由x＋

>

0，得x∈R，由f（－x）＋f（x）＝lg（－x＋

）＋lg（x＋

）＝lg1＝0，所以f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数．

题型2　函数奇偶性的应用

例2　

（1）设a∈R，f（x）＝

（x∈R），试确定a的值，使f（x）为奇函数；

（2）设函数f（x）是定义在（－1，1）上的偶函数，在（0，1）上是增函数，若f（a－2）－f（4－a2）<

0，求实数a的取值范围．

（1）要使f（x）为奇函数，

∵x∈R，∴需f（x）＋f（－x）＝0.

∵f（x）＝a－

∴f（－x）＝a－

＝a－

＝0，得2a－

＝0，

∴a＝1.

（2）由f（x）的定义域是

，知

解得

<

a<

由f（a－2）－f（4－a2）<

0，得f（a－2）<

f（4－a2）．

因为函数f（x）是偶函数，所以f（|a－2|）<

f（|4－a2|）．

由于f（x）在（0，1）上是增函数，所以|a－2|<

|4－a2|，解得a<

－3或a>

－1且a≠2.

综上，实数a的取值范围是

且a≠2.

（1）已知函数f（x）＝

是奇函数，求a＋b的值；

（2）已知奇函数f（x）的定义域为[－2，2]，且在区间[－2，0]内递减，若f（1－m）＋f（1－m2）<

0，求实数m的取值范围．

（1）当x>

0时，－x<

0，由题意得f（－x）＝－f（x），所以x2－x＝－ax2－bx.

从而a＝－1，b＝1，所以a＋b＝0.

（2）由f（x）的定义域是[－2，2]，

知

解得－1≤m≤

因为函数f（x）是奇函数，所以f（1－m）<

－f（1－m2），即f（1－m）<

f（m2－1）．

由奇函数f（x）在区间[－2，0]内递减，

所以在[－2，2]上是递减函数，

所以1－m>

m2－1，解得－2<

m<

1.

综上，实数m的取值范围是－1≤m<

题型3　函数奇偶性与周期性的综合应用

例3　设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2.

（1）求证：

f（x）是周期函数；

（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；

（3）计算f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2014）的值．

（1）证明：

因为f（x＋2）＝－f（x），

所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），

所以f（x）是周期为4的周期函数．

（2）解：

因为x∈[2，4]，

所以－x∈[－4，－2]，4－x∈[0，2]，

所以f（4－x）＝2（4－x）－（4－x）2＝－x2＋6x－8.

又f（4－x）＝f（－x）＝－f（x），所以－f（x）＝－x2＋6x－8，即f（x）＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．

（3）解：

因为f（0）＝0，f

（1）＝1，f

（2）＝0，f（3）＝－1，

又f（x）是周期为4的周期函数，

所以f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋f（3）＝f（4）＋f（5）＋f（6）＋f（7）＝…＝0，

所以f（0）＋f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2014）＝f（0）＋f

（1）＋f

（2）＝1.

已知定义在R上的函数f（x）对任意实数x、y恒有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f

（1）＝－

f（x）为奇函数；

（2）求证：

f（x）在R上是减函数；

（3）求f（x）在[－3，6]上的最大值与最小值．

令x＝y＝0，可得f（0）＋f（0）＝f（0＋0），从而f（0）＝0.令y＝－x，可得f（x）＋f（－x）＝f（x－x）＝0，即f（－x）＝－f（x），故f（x）为奇函数．

（2）证明：

设x1、x2∈R，且x1＞x2，则x1－x2＞0，于是f（x1－x2）＜0.从而f（x1）－f（x2）＝f[（x1－x2）＋x2]－f（x2）＝f（x1－x2）＋f（x2）－f（x2）＝f（x1－x2）＜0.所以f（x）为减函数．

由

（2）知，所求函数的最大值为f（－3），最小值为f（6）．f（－3）＝－f（3）＝－[f

（2）＋f

（1）]＝－2f

（1）－f

（1）＝－3f

（1）＝2，f（6）＝－f（－6）＝－[f（－3）＋f（－3）]＝－4.于是f（x）在[－3，6]上的最大值为2，最小值为－4.

1.（2013·

苏州期初）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x＋4）＝f（x）．当x∈（0，2）时，f（x）＝－x＋4，则f（7）＝________．

－3

f（7）＝f（3＋4）＝f（3）＝f（3－4）＝f（－1）＝－f

（1）＝－3.

2.（2013·

江苏）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x>

0时，f（x）＝x2－4x，则不等式f（x）>

x的解集用区间表示为________．

（－5，0）∪（5，＋∞）

作出f（x）＝x2－4x（x>

0）的图象，如图所示．由于f（x）是定义在R上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称，作出x<

0的图象．不等式f（x）>

x表示函数y＝f（x）的图象在y＝x的上方，观察图象易得，原不等式的解集为（－5，0）∪（5，＋∞）．

3.（2013·

天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞）内单调递增．若实数a满足f（log2a）＋f（log

a）≤2f

（1），则a的取值范围是________．

因为f（log

a）＝f（－log2a）＝f（log2a），所以原不等式可化为f（log2a）≤f

（1）．

又f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，

所以|log2a|≤1，解得

≤a≤2.

4.（2013·

盐城二模）设函数y＝f（x）满足对任意的x∈R，f（x）≥0且f2（x＋1）＋f2（x）＝9.已知当x∈[0，1）时，有f（x）＝2－|4x－2|，则f

＝________．

由题知f

＝2，因为f（x）≥0且f2（x＋1）＋f2（x）＝9，故f

，f

＝2，f

，如此循环得f

＝f

，即f

1.定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝

则f（2014）＝________．

由已知得f（－1）＝log22＝1，f（0）＝0，f

（1）＝f（0）－f（－1）＝－1，f

（2）＝f

（1）－f（0）＝－1，f（3）＝f

（2）－f

（1）＝－1－（－1）＝0，f（4）＝f（3）－f

（2）＝0－（－1）＝1，f（5）＝f（4）－f（3）＝1，f（6）＝f（5）－f（4）＝0，所以函数f（x）的值以6为周期重复性出现，所以f（2014）＝f（4）＝1.

2.已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．

7

由条件，当0≤x＜2时，f（x）＝x（x＋1）（x－1），即当0≤x＜2时，f（x）＝0有两个根0，1，又由周期性，当2≤x<

4时，f（x）＝0有两个根2，3，当4≤x<

6时，f（x）＝0有两个根4，5，而6也是f（x）＝0的根，故y＝f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为7.

3.设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2，若对任意的x∈[t，t＋2]，不等式f（x＋t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是________．

[

，＋∞）

∵当x≥0时，f（x）＝x2且f（x）是定义在R上的奇函数，又f（x＋t）≥2f（x）＝f（

），易知f（x）在R上是增函数，∴x＋t≥

x，∴t≥（

－1）x.

∵x∈[t，t＋2]，∴t≥（

－1）（t＋2），∴t≥

4.已知f（x）是偶函数，且f（x）在[0，＋∞）上是增函数，若x∈

时，不等式f（1＋xlog2a）≤f（x－2）恒成立，求实数a的取值范围．

∵f（x）是偶函数，当x∈

时，不等式f（1＋xlog2a）≤f（x－2）等价于f（|1＋xlog2a|）≤f（2－x）．

又f（x）在[0，＋∞）上是增函数，∴|1＋xlog2a|≤2－x，

∴x－2≤1＋xlog2a≤2－x，∴1－

≤log2a≤

－1，

上述不等式在x∈

上恒成立，

∴

∴－2≤log2a≤0，解得

≤a≤1.

1.函数奇偶性的判断，本质是判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，前提是定义域关于原点对称，运算中，也可以转化为判断奇偶性的等价关系式（f（x）＋f（－x）＝0或f（x）－f（－x）＝0）是否成立．

2.若f（x）是偶函数，则f（－x）＝f（x）＝f（|x|）．

3.奇偶函数的不等式求解时，要注意到：

奇函数在对称的区间上有相同的单调性，偶函数在对称的区间上有相反的单调性．

[备课札记]