版高考理科数学人教A版一轮复习 教师用书第6讲 对数与对数函数.docx

版高考理科数学人教A版一轮复习 教师用书第6讲 对数与对数函数.docx

《版高考理科数学人教A版一轮复习 教师用书第6讲 对数与对数函数.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版高考理科数学人教A版一轮复习 教师用书第6讲 对数与对数函数.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

版高考理科数学人教A版一轮复习教师用书第6讲对数与对数函数

第6讲　对数与对数函数

　[学生用书P26]

一、知识梳理

1．对数

概念

如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式

性质

对数式与指数式的互化：

ax＝N⇔x＝logaN（a>0，且a≠1）

loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N（a>0，且a≠1）

运算法则

loga（M·N）＝logaM＋logaN

a>0，且a≠1，M>0，N>0

loga＝logaM－logaN

logaMn＝nlogaM（n∈R）

换底公式

logab＝（a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0）

2.对数函数的图象与性质

a>1

0

图象

续　表

a>1

0

性质

定义域：

（0，＋∞）

值域：

R

过定点（1，0）

当x>1时，y>0当0

当x>1时，y<0当00

在（0，＋∞）上是增函数

在（0，＋∞）上是减函数

3.反函数

指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

常用结论

1．换底公式的三个重要结论

①logab＝；

②logambn＝logab；

③logab·logbc·logcd＝logad.

2．对数函数的图象与底数大小的关系

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．

故0

由此我们可得到以下规律：

在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．

二、习题改编

1．（必修1P68T4改编）（log29）·（log34）＝________．

解析：

（log29）·（log34）＝×＝×＝4.

答案：

4

2．（必修1P73探究改编）若函数y＝f（x）是函数y＝2x的反函数，则f

（2）＝________．

解析：

由题意知f（x）＝log2x，

所以f

（2）＝log22＝1.

答案：

1

3．（必修1P71表格改编）函数y＝loga（4－x）＋1（a＞0，且a≠1）的图象恒过点________．

解析：

当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.

所以函数的图象恒过点（3，1）．

答案：

（3，1）

4．（必修1P82A组T6改编）已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则a，b，c的大小关系为________．

解析：

因为01.所以c>a>b.

答案：

c>a>b

一、思考辨析

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）loga（MN）＝logaM＋logaN.（　　）

（2）logax·logay＝loga（x＋y）．（　　）

（3）函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．（　　）

（4）对数函数y＝logax（a>0且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数．（　　）

（5）函数y＝ln与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同．（　　）

（6）对数函数y＝logax（a>0且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），，函数图象只经过第一、四象限．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×　（5）√　（6）√

二、易错纠偏

（1）对数函数图象的特征不熟致误；

（2）忽视对底数的讨论致误；

（3）忽视对数函数的定义域致误．

1．已知a>0，a≠1，函数y＝ax与y＝loga（－x）的图象可能是________．（填序号）

解析：

函数y＝loga（－x）的图象与y＝logax的图象关于y轴对称，符合条件的只有②.

答案：

②

2．函数y＝logax（a>0，a≠1）在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．

解析：

分两种情况讨论：

①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0

答案：

2或

3．函数y＝的定义域是________．

解析：

由log（2x－1）≥0，得0<2x－1≤1.

所以

所以函数y＝的定义域是.

答案：

[学生用书P27]

　　　　　　对数式的化简与求值（自主练透）

1．计算（lg2）2＋lg2·lg50＋lg25的结果为________．

解析：

原式＝lg2（lg2＋lg50）＋lg25＝2lg2＋lg25＝lg4＋lg25＝2.

答案：

2

2．若lgx＋lgy＝2lg（2x－3y），则log的值为________．

解析：

依题意，可得lg（xy）＝lg（2x－3y）2，

即xy＝4x2－12xy＋9y2，

整理得：

4－13＋9＝0，解得＝1或＝.

因为x>0，y>0，2x－3y>0，

所以＝，所以log＝2.

答案：

2

3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于________．

解析：

由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，

所以＋＝logm2＋logm5＝logm10.

因为＋＝2，所以logm10＝2.

所以m2＝10，所以m＝.

答案：

4．已知log23＝a，3b＝7，则log32的值为________．

解析：

由题意3b＝7，所以log37＝b.

所以log32＝log＝＝＝＝.

答案：

对数运算的一般思路

（1）拆：

首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．

（2）合：

将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．　

　　　　　　对数函数的图象及应用（典例迁移）

（1）（2019·高考浙江卷）在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga（a>0，且a≠1）的图象可能是（　　）

（2）已知函数f（x）＝，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围________．

【解析】　

（1）对于函数y＝loga，当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga的图象恒过定点，排除选项A、C；函数y＝与y＝loga在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.

（2）

由题意可得－log3a＝log3b＝c2－c＋8＝d2－d＋8，

可得log3（ab）＝0，故ab＝1.

结合函数f（x）的图象，在区间[3，＋∞）上，

令f（x）＝1可得c＝3、d＝7、cd＝21.

令f（x）＝0可得c＝4、d＝6、cd＝24.

故有21＜abcd＜24.

【答案】　

（1）D　

（2）（21，24）

对数函数图象的识别及应用方法

（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项．

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．　

1.已知函数y＝loga（x＋c）（a，c为常数，其中a>0，a≠1）的图象如图，则下列结论成立的是（　　）

A．a>1，c>1

B．a>1，0

C．01

D．0

解析：

选D.由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0

2．已知函数f（x）＝关于x的方程f（x）＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．

解析：

问题等价于函数y＝f（x）与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.

答案：

（1，＋∞）

　　　　　　对数函数的性质及应用（多维探究）

角度一　比较大小

已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a>b>c　　　　　　　B．b>a>c

C．c>b>aD．c>a>b

【解析】　因为c＝log＝log23>log2e＝a，所以c>a.

因为b＝ln2＝<1

所以a>b.

所以c>a>b.

【答案】　D

比较对数值大小的常见类型及解题方法

常见类型

解题方法

底数为同一常数

可由对数函数的单调性直接进行判断

底数为同一字母

需对底数进行分类讨论

底数不同，真数相同

可以先用换底公式化为同底后，再进行比较

底数与真数都不同

常借助1，0等中间量进行比较

角度二　解简单对数不等式

已知不等式logx（2x2＋1）

【解析】　原不等式⇔①

或②，

解不等式组①得

不等式组②无解，

所以实数x的取值范围是.

【答案】　

求解对数不等式的两种类型及方法

类型

方法

logax>logab

借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0

logax>b

需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解

[提醒]　注意对数式的真数大于零，且不等于1.　

角度三　与对数函数有关的综合问题

已知函数f（x）＝loga（3－ax）．

（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；

（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？

如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

【解】　

（1）因为a>0且a≠1，设t（x）＝3－ax，

则t（x）＝3－ax为减函数，

x∈[0，2]时，t（x）的最小值为3－2a，

当x∈[0，2]时，f（x）恒有意义，

即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立．

所以3－2a>0.所以a<.

又a>0且a≠1，所以a∈（0，1）∪.

（2）t（x）＝3－ax，因为a>0，

所以函数t（x）为减函数．

因为f（x）在区间[1，2]上为减函数，

所以y＝logat为增函数，

所以a>1，当x∈[1，2]时，t（x）最小值为3－2a，f（x）最大值为f

（1）＝loga（3－a），

所以即

故不存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.

解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

1．（2019·高考天津卷）已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a

C．b

解析：

选A.a＝log520.51＝，故alog0.50.25＝2，而c＝0.50.2<0.50＝1，故c

2．若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝log2a（x＋1）满足f（x）>0，则实数a的取值范围是（　　）

A.B．

C.D．（0，＋∞）

解析：

选A.因为－10，所以0<2a<1，所以0

3．已知a>0，若函数f（x）＝log3（ax2－x）在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．

解析：

要使f（x）＝log3（ax2－x）在[3，4]上单调递增，

则y＝ax2－x在[3，4]上单调递增，

且y＝ax2－x>0恒成立，

即解得a>.

答案：

[学生用书P29]

　数形结合法在对数函数问题中的应用

设方程10x＝|lg（－x）|的两个根分