电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方.doc

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一章习题解答

1.1给定三个矢量、和如下：

求：

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）；

（7）和；（8）和。

解

（1）

（2）

（3）－11

（4）由，得

（5）在上的分量

（6）

（7）由于

所以

（8）

1.2三角形的三个顶点为、和。

（1）判断是否为一直角三角形；

（2）求三角形的面积。

解

（1）三个顶点、和的位置矢量分别为

，，

则，，

由此可见

故为一直角三角形。

（2）三角形的面积

1.3求点到点的距离矢量及的方向。

解，，

则

且与、、轴的夹角分别为

1.4给定两矢量和，求它们之间的夹角和在上的分量。

解与之间的夹角为

在上的分量为

1.5给定两矢量和，求在上的分量。

解

所以在上的分量为

1.6证明：

如果和，则；

解由，则有，即

由于，于是得到

故

1.7如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。

设为一已知矢量，而，和已知，试求。

解由，有

故得

1.8在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在：

（1）直角坐标中的坐标；

（2）球坐标中的坐标。

解

（1）在直角坐标系中、、

故该点的直角坐标为。

（2）在球坐标系中、、

故该点的球坐标为

1.9用球坐标表示的场，

（1）求在直角坐标中点处的和；

（2）求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。

解

（1）在直角坐标中点处，，故

（2）在直角坐标中点处，，所以

故与构成的夹角为

1.10球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。

证明和间夹角的余弦为

解由

得到

1.11一球面的半径为，球心在原点上，计算：

的值。

解

1.12在由、和围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。

解在圆柱坐标系中

所以

又

故有

1.13求

（1）矢量的散度；

（2）求对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求对此立方体表面的积分，验证散度定理。

解

（1）

（2）对中心在原点的一个单位立方体的积分为

（3）对此立方体表面的积分

故有

1.14计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分，并求对球体积的积分。

解

又在球坐标系中，，所以

1.15求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与轴和轴相重合。

再求对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

解

又

所以

故有

1.16求矢量沿圆周的线积分，再计算对此圆面积的积分。

解

1.17证明：

（1）；

（2）；（3）。

其中，为一常矢量。

解

（1）

（2）

（3）设，则，故

1.18一径向矢量场表示，如果，那么函数会有什么特点呢？

解在圆柱坐标系中，由

可得到

为任意常数。

在球坐标系中，由

可得到

1.19给定矢量函数，试求从点到点的线积分：

（1）沿抛物线；

（2）沿连接该两点的直线。

这个是保守场吗？

解

（1）

（2）连接点到点直线方程为

即

故

由此可见积分与路径无关，故是保守场。

1.20求标量函数的梯度及在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量定出；求点的方向导数值。

解

题1.21图

故沿方向的方向导数为

点处沿的方向导数值为

1.21试采用与推导直角坐标中相似的方法推导圆柱坐标下的公式

。

解在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。

矢量场沿方向穿出该六面体的表面的通量为

同理

因此，矢量场穿出该六面体的表面的通量为

故得到圆柱坐标下的散度表达式

1.22方程给出一椭球族。

求椭球表面上任意点的单位法向矢量。

解由于

故椭球表面上任意点的单位法向矢量为

1.23现有三个矢量、、为

（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？

哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？

（2）求出这些矢量的源分布。

解

（1）在球坐标系中

故矢量既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；

在圆柱坐标系中

故矢量可以由一个标量函数的梯度表示；

直角在坐标系中

故矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。

（2）这些矢量的源分布为

，；

，；

，

1.24利用直角坐标，证明

解在直角坐标中

1.25证明

解根据算子的微分运算性质，有

式中表示只对矢量作微分运算，表示只对矢量作微分运算。

由，可得

同理

故有

1.26利用直角坐标，证明

解在直角坐标中

所以

1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及，试证明之。

解

（1）对于任意闭合曲线为边界的任意曲面，由斯托克斯定理有

由于曲面是任意的，故有

（2）对于任意闭合曲面为边界的体积，由散度定理有

其中和如题1.27图所示。

由斯托克斯定理，有

，

由题1.27图可知和是方向相反的同一回路，则有

所以得到

题1.27图

由于体积是任意的，故有

二章习题解答

2.1一个平行板真空二极管内的电荷体密度为，式中阴极板位于，阳极板位于，极间电压为。

如果、、横截面，求：

（1）和区域内的总电荷量；

（2）和区域内的总电荷量。

解

（1）

（2）

2.2一个体密度为的质子束，通过的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。

解质子的质量、电量。

由

得

故

2.3一个半径为的球体内均匀分布总电荷量为的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度。

解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为轴。

设球内任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为

球内的电荷体密度为

故

2.4一个半径为的导体球带总电荷量为，同样以匀角速度绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。

解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为轴。

设球面上任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为

球面的上电荷面密度为

故

2.5两点电荷位于轴上处，位于轴上处，求处的电场强度。

解电荷在处产生的电场为

电荷在处产生的电场为

故处的电场为

2.6一个半圆环上均匀分布线电荷，求垂直于圆平面的轴线上处的电场强度，设半圆环的半径也为，如题2.6图所示。

解半圆环上的电荷元在轴线上处的电场强度为

题2.6图

在半圆环上对上式积分，得到轴线上处的电场强度为

2.7三根长度均为，均匀带电荷密度分别为、和地线电荷构成等边三角形。

设，计算三角形中心处的电场强度。

解建立题2.7图所示的坐标系。

三角形中心到各边的距离为

题2.7图

则

故等边三角形中心处的电场强度为

2.8－点电荷位于处，另－点电荷位于处，空间有没有电场强度的点？

解电荷在处产生的电场为

电荷在处产生的电场为

处的电场则为。

令，则有

由上式两端对应分量相等，可得到

①

②

③

当或时，将式②或式③代入式①，得。

所以，当或时无解；

当且时，由式①，有

解得

但不合题意，故仅在处电场强度。

2．9一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。

证明：

垂直于平面的轴上处的电场强度中，有一半是有平面上半径为的圆内的电荷产生的。

解半径为、电荷线密度为的带电细圆环在轴上处的电场强度为

题2.10图

故整个导电带电面在轴上处的电场强度为

而半径为的圆内的电荷产生在轴上处的电场强度为

2.10一个半径为的导体球带电荷量为，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题2.10图所示。

求球心处的磁感应强度。

解球面上的电荷面密度为

当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量点处的电流面密度为

将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任一个宽度为细圆环的电流为

细圆环的半径为，圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为

故整个球面电流在球心处产生的磁场为

2.11两个半径为、同轴的相同线圈，各有匝，相互隔开距离为，如题2.11图所示。

电流以相同的方向流过这两个线圈。

（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度；

（2）证明：

在中点处等于零；

（3）求出与之间的关系，使中点处也等于零。

解

（1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度

得到两个线圈中心点处的磁感应强度为

（2）两线圈的电流在其轴线上处的磁感应强度为

题2.11图

所以

故在中点处，有

（3）

令，有

即

故解得

题2.12图

2.12一条扁平的直导体带，宽为，中心线与轴重合，通过的电流为。

证明在第一象限内的磁感应强度为