研究生数学建模竞赛优秀论文选《面向下一代通信的VCSEL激光器仿真模型》457Word格式.docx
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𝑃
𝜀
（）
见表7-2），
绘制VCSEL带宽模型的带宽响应曲线并分析，得出温度和偏置电流对带宽曲线的影响规律。
对拟合参数进行敏感性分析，提出改变参数以得到更宽带宽的方案。
针对问题4：
通过文献调研的方式，建立了基于激光器速率方程的小信号等效电路模型，提出了该模型的参数拟合思路；
结合光功率转换效率𝑘
的物理意义，计算出了一套增大带宽的参数设计方案。
关键词：
VCSELL-I模型带宽模型遗传算法误差分析
1.1问题背景
1问题重述
随着经济技术的发展，对互联网技术的要求越来越高，我国家庭固定网络速度已经快速发展到了今天的百兆，甚至千兆的光纤宽带入户阶段。
“光纤宽带入户”就是采用光纤来传输信号。
光纤中传输的信号有激光信号和电信号，其中激光信号具有远高于电信号传输速率的特点，更适合于未来高速率的传输网络。
在光纤通信传输系统设计前，往往会通过计算机仿真的方式研究系统设计的指标，以便快速找到最适合的解决方案。
因此在进行系统仿真时，需要准确掌握系统中各个器件的特性以保证仿真模型的精度，其中激光器作为光纤通信系统的核心器件是系统仿真中需要考虑的一个重要因素。
1.2问题的提出
尽管与我们生活息息相关的激光器种类繁多，但由于垂直腔面发射激光器
（VCSEL:
VerticalCavitySurfaceEmittingLaser）具有使用简单，功耗较低等特点，一般VCSEL的工作电流在6mA~8mA，所以本题目需要在满足如下要求时，完成本文的主要任务——得到能准确反映VCSEL激光器特性的数学模型。
（1）问题的要求
针对垂直腔面发射激光器（VCSEL）的特点——它的输出的光功率强度与器件的温度相关，当器件温度（受激光器自身发热和环境温度的共同影响）改变后，激光器输出的光功率强度也会相应发生变化，在进行建模时，需要满足如下要求：
1）准确反映VCSEL激光器特性；
2）考虑激光器输出的功率强度与温度的关系，即该激光器可以在多大的外界环境温度范围内使用；
3）如何设计激光器的参数使激光器具有更大的传输带宽，即S21曲线上纵坐标-10dB位置对应的横坐标频率值更大。
（2）待研究问题
问题1：
基于VCSEL的L-I模型的经验公式，根据实测数据，确定模型参数（𝜂
4），画出10℃，20℃，30℃，……，90℃等温度下的L-I曲线，并根据建立的L-I模型推测出在保证用户可以正常使用网络的条件下，电信机房里VCSEL激光器的最高的工作环境温度。
问题2：
根据问题1中模型精度和误差产生的原因对模型提出改进，并根据改进的模型画出10℃，20℃，30℃，……，90℃等温度下的L-I曲线与问题1中的L-I曲线进行比较，或者通过完全不同方法得到更好的L-I模型。
问题3：
根据VCSEL激光器小信号幅频响应曲线数据和相应的驱动电流、输出光功率数据，建立恰当的激光器小信号幅频响应参数模型，给出参数构成及其确定方法，画出不同环境温度和不同偏置电流下的带宽响应曲线，其中一条必
须是20℃下7.5mA偏置电流的仿真输出曲线；
利用该模型分析激光器的温度和激光器的偏置电流对器件带宽曲线的影响；
提出除了通过改变环境温度和偏置电流来获得更宽带宽激光器的方法；
确定通过改变哪些参数会有激光器在3dB范围内的部分频率处幅度高于0频位置的现象。
问题4：
探索更好的带宽模型建模方式，使得模型运算速度更快；
或者在相同的温度和偏置电流下，可以获得更宽的3dB（或10dB）带宽。
若有，给出建模方案，包括可能的数学公式，不同温度和偏置电流下的带宽响应曲线，并与问题3的模型进行比较。
2模型假设
（1）转换效率𝜂
（𝑇
）受温度影响较小，即𝜂
）近似于常数𝜂
；
（2）加载于激光器的电流为直流电，即𝐼
ℎ=0；
（3）二极管热电压（diode’sthermalvoltage）不随温度的变化而变化，即𝑉
𝑇
为一常数；
（4）阀值电流等于热偏置电流与一个常数的和，即𝐼
ℎ（𝑁
𝑇
）=𝐼
𝑜
𝑓
）+𝐼
ℎ0。
3符号说明
符号
意义
单位
P0
激光器输出光功率的测定值
mW
，𝑃
𝑆
L-I模型光功率的计算值
I
注入到激光器的外部驱动电流
mA
η，η（T），ηi
转换效率
无因次
Ith（N,T）
阈值电流
N
载流子数
Ioff（T）
与温度相关的经验热偏置电流
Ith0
常数
Rth
VCSEL热阻抗
℃/mW
τth|
热时间常数
T0
环境温度
K
V，V0
输入电压的计算值和测定值
V
𝑉
二极管热电压
𝑅
串联电阻
𝐼
二极管饱和电流
时间
s
N0
透明载流子数
Ndb
振幅
dB
4.1基本名词含义
4模型准备
（1）垂直腔面发射激光器（VCSEL）
垂直腔面发射激光器（Vertical-CavitySurface-EmittingLaser，简称VCSEL，又译垂直共振腔面射型雷射）是一种半导体激光器，能将电信号转化为激光信号。
与传统的激光器相比，VCSEL具有使用简单，功耗较低等特点。
根据题目要求，本文将以这种激光器作为研究对象。
（2）信号
在物理或工程上可以将信号理解成变化着的物理量，最常用的是电压、电流、磁通量、光通量等。
例如电信号可以通过电流的幅度、频率、相位变化来表示不同的消息。
本文中研究的是光信号，而研究的重点是光信号的幅度和频率。
（3）系统
一般输入的信号和最终得到的信号不完全相同，而造成这种变化的中间环节的统称为系统。
若系统的功能不随时间变化，那么可以将该系统建模为线性常系数微分方程。
通常该模型是通过机理分析法建立的，然后用输入和其对应的输出数据，通过数学方法求解参数，得出模型。
本文模型的确定主要就是使用这种方法。
（4）带宽
在模拟信号系统中，带宽其实就是信号占用的频谱的度量，能标识传输信号所占有的频率宽度。
其中频率宽度是指传输信号的最高频率和最低频率的差值。
4.2数据预处理
题中给出的数据可能与模型中的参数的单位不同，或者为了方便编程，需要对测试数据进行参数的转化。
转化后的各个参数的单位见符号说明。
需要说明的是振幅的单位dB与功率的单位mW之间的关系。
根据调研文献[1]，它们之间的有如下换算关系：
0dBm=10log
（1）mW=1mW
⎛x⎫x
xdBm=10logç
1010⎪mW=1010mW
⎝⎭
ydBm-zdBm=（y-z）dB
（4-1）
5问题1：
VCSEL的L-I模型的参数确定
激光器是将电能转换成光能的半导体器件，能量转换的过程，也是电子的电能转换为光子的光能的过程，在转换过程中，伴随着电子的运动，半导体器件会产生一定的热量。
从能量守恒的角度看，转化为热能的能量越多（发热导致能量浪费了），器件温度越高，那么转化为光能的能量越少（输出光功率越低），可以利用的能量就越少。
因此需要对激光器输出功率与工作电流的关系进行研究。
5.1问题描述及分析
本题的目的是找出一种方法，确定L-I模型的参数𝜂
、𝐼
ℎ0、𝑅
ℎ、𝑎
0、𝑎
1、
𝑎
2、𝑎
3和𝑎
4，再根据确定了参数的L-I模型绘制L-I曲线，并且计算在保证用户正常使用的情况下，VCSEL激光器的最高工作温度。
此题实际上为非线性多参数函数的拟合问题。
题中已经给出了1401组数据，每组数据包括测得的驱动电流、电压和对应的光功率，其中温度为固定值20℃。
本题的关键是如何拟合L-I模型的8个参数，所以考虑应用拟合参数的一般方法——最小二乘法进行拟合。
由于需要拟合的函数是非线性的，而且需要拟合的参数一共有8个，所以找到合适的算法将是参数能否成功拟合的关键。
题中要求绘制在不同环境温度下，光功率和电流强度的关系，而根据题中附录一，L-I模型最后是光功率𝑃
0和驱动电流𝐼
、电压𝑉
和环境温度𝑇
0的函数关系，关系式中多了一个变量𝑉
，所以找到一种方法消除这个变量是关键。
最后一个要求是求取在保证用户正常使用的情况下，VCSEL激光器的最高工作温度。
可以在L-I模型确定后，通过改变环境温度，看不同电流强度下的最大光功率是否大于2mW即可找出最高温度。
综上所述本题的关键是：
（1）找到合适的算法拟合参数；
（2）如何消除电压这一变量。
5.2L-I模型的建立
L-I模型，即激光器的工作电流与输出光功率强度关系模型，国际上很多研究机构都对此模型做了大量研究，目前已经有一个经验公式获得了大多数人的认可
P=η（T）（I-Ith（N,T））
（5-1）
假设转换效率𝜂
同时令𝐼
）=
ℎ0+𝐼
），那么式（5-1）可以简化为
将𝐼
）表示为
P=η（I-Ith0-Ioff（T））
（5-2）
（T）=∑aT
∞
n
offn
n=0
（5-3）
式（5-3）中的温度𝑇
受外界环境温度𝑇
0和自身的温度影响，自身的温度与器件产生的瞬时功率𝐼
相关
T=T+（IV-P）R-τdT
（5-4）
0ththdt
所以VCSEL的经验模型为
⎧
⎪P=η（I-Ith0-Ioff（T））
⎪
（T）=∑aT
⎪n
⎨offn
⎪n=0
⎪dT
（5-5）
⎩
⎪T=T0+（IV-P）Rth-τth
dt
5.3基于L-I模型的参数拟合模型的建立
根据已经建立的L-I模型，将式（5-3）和式（5-4）代入式（5-2）可得
P=η⎧I-I
-
∑a
[T+
IV-P
R]n⎫
⎨th0
0（）th⎬
⎭
（5-6）
因为在直流电中，式（5-4）中的𝑑
⁄𝑑
=0，所以省略。
一般情况下，级数取前四项即可满足精度要求，所以式（5-6）可写为
⎧4n⎫
P=η⎨I-Ith0-∑an[T0+（IV-P）Rth]⎬
（5-7）
⎩n=0⎭
分析式（5-7）可知，上述经验公式是一个𝑃
关于𝐼
，𝑇
0，𝑉
的隐函数𝑃
=
（𝐼
𝑉
0,𝑃
）。
在实际中我们知道，电流和功率不可能小于0，所以有非负约束
⎧P≥0
≥0
⎨
⎩th0
（5-8）
以光功率的拟合值与实测值的离差平方和最小为目标函数，参数𝜂
ℎ、
1、𝑎
4为决策变量，式（5-5）和式（5-8）为约束条件建立光功率
0和电流𝐼
、环境温度𝑇
0的函数关系参数的拟合模型
Min
∑（P-P）2
⎧I（T）=∑aTn
⎪offn
（5-9）
s.t.
⎨T=T0+（IV-P）Rth-τthdt
⎪⎩P≥0Ith0≥0
5.4L-I模型的参数拟合模型的求解
（1）求解思路
在建立的光功率𝑃
0的函数关系参数的拟合模型中，𝜂
、
4均为待定常系数。
根据给定的测试数据，通过经验模型参数的一般确定方法，即参数拟合，运用遗传算法确定各个参数的值。
（2）算法设计与模型参数确定
对光功率和电流、环境温度的函数关系参数的拟合模型，以离差平方和最小为优化目标，获得拟合参数。
具体计算步骤如下：
Step1：
读取𝐼
、𝑈
、𝑃
0、𝑇
数据文件；
Step2：
设置遗传算法参数集gaoptionset；
Step3：
调用MATLAB软件的ga函数和Eval评价函数；
Step4：
令𝑉
𝑠
𝑢
𝑚
=0，𝑖
=0；
Step5：
=𝑖
+1，𝑇
=𝑇
0+（𝐼
−𝑃
0）𝑅
ℎ；
𝑗
=1
Step6：
计算𝐼
=∑4𝑎
j𝑇
Step7：
计算𝑃
=η（𝐼
−𝐼
ℎ−𝐼
），如果P<
0，则令P=0，并进入Step8；
否则直接进入Step8；
Step8：
计算𝑉
=𝑉
+（𝑃
0）2，如果𝑖
=1401，则进入Step9；
否则返回Step5；
Step9：
输出结果。
程序计算流程如图5-1所示。
通过Matlab编程（代码见附录B）获得参数的值如表5-1所示。
表5-1光功率和电流、环境温度的函数关系参数拟合值
参数
拟合值
𝜂
0.363
ℎ0
4.32×
10-4
ℎ
3.25×
103
4.36×
10-3
1
-7.27×
10-5
2
3.14×
10-7
3
-6.34×
10-10
4
7.86×
10-13
模型残差分析表明（图5-2），模型计算稳定。
图5-2需要说明的是：
为了更好地使各个参数的大小显示在图中，每个参数都乘上了10的整数次方，使得处理后的值的范围在-10到10之间。
Ioff=0，j=0
j>
4?
Y
P>
=0?
i=1401
Vsum=Vsum+（P-P0）^2，i=i+1
P=0
P=η*（I-Ith0-Ioff）
Ioff=Ioff+aj*Tj，j=j+1
i=i+1，T=T0+（IV-P0）*Rth
Vsum=0，i=0
调用Eval评价函数
调用Matlab的ga函数
设置遗传算法参数集gaoptionset
读取I、U、P0、Ta数据文件
输出结果
图5-1程序计算流程图
图5-2遗传算法收敛图
从实测光功率与拟合光功率的对比图（图5-3）可以看出，实测曲线和拟合曲线基本重合，拟合效果较好。
图5-3实测光功率与拟合光功率对比图
5.5电压和电流函数关系的确定
从5.3节中可以得出VCSEL的经验模型是一个𝑃
，𝑉
0的隐函数𝑃
），该等式中的变量有四个，分别是光功率𝑃
、电流𝐼
0。
为了求得在不同环境温度𝑇
0下，光功率𝑃
和电流𝐼
的关系，必须消除其中的一个变量。
根据调研，电压𝑉
存在函数关系[2]。
（1）电压和电流函数关系的参数拟合模型建立据研究，𝑉
为（𝐼
）的函数[2]，即𝑉
=𝑓
）
V=IR
⎛I⎫
+Vln1+
（5-10）
STç
⎝
IS⎭
根据假设（3）𝑉
为常数和实际情况，电阻、电流和电压不能小于0，所以有非负约束
⎧RS≥0
⎨VT≥0
（5-11）
⎩S
以电压的拟合值与实测值的离差平方和最小为目标函数，𝑅
、𝑉
和𝐼
为决策变量，式（5-10）和式（5-11）为约束条件建立电压𝑉
的函数关系参数的拟合模型
∑（V-V0）
⎧⎛I⎫
⎪V=IRS+VTlnç
1+I⎪
R
⎨S
⎪V≥0
⎝S⎭
（5-12）
⎪T
（2）求解思路
⎪⎩IS≥0
在建立电压𝑉
的函数关系参数的拟合模型中，𝑅
均为待定常系数。
根据给定的测试数据，通过经验模型参数的一般确定方法，即参数拟合，运用MATLAB软件工具箱curvefitting拟合确定各个参数的值。
（3）模型参数确定
运用MATLAB软件工具箱curvefitting进行面板操作即可拟合得到参数𝑅
的值分别为0.05788、0.1501和9.7×
10-6，其中判定系数R2=0.9946。
参数拟合对比如图5-4所示，拟合参数如表5-2所示，从对比图和拟合优度的值可以看出拟合值与实测值误差较小，拟合效果较好。
表5-2拟合值及拟合优度
值
0.05788
0.1501
9.7×
10-6
SSE
1.044
R-square
0.9946
AdjustedR-square
RMSE
0.02732
图5-4实测电压与拟合电压对比图
5.6基于电压和电流函数关系的L-I曲线绘制
（1）改进的L-I模型及求解思路
从5.3节可得到𝑃
0与𝐼
0的函数关系，从5.5节中可以得到电压𝑉
和电流
的函数关系，即电压可以用电流来表示。
通过化简可以得到𝑃
）的隐函数关系；
然后给定不同的环境温度的值，即可得到仅仅是光功率和电流的函数关系；
最后通过MATLAB软件fsolve函数进行数值求解，得到不同电流下光功率的值。
（2）算法设计与模型参数确定L-I曲线绘制
已经可以得出函数关系𝑃
），其中变量有𝑃
，𝐼
给定一个环境温度，再给出一组电流的值，即可根据fsolve函数计算出一组光功率的值；
再给定另一个环境温度的值，即可算出这个环境温度下，一组电流与光功率的值，如此循环，最后得到不同环境温度下，不同电流下的光功率，根据这些数据绘制不同温度下的L-I曲线。
具体的计算步骤如下：
给定一组环境温度𝑇
，和电流初值𝐼
Step2：
令𝐼
=𝐼
+0.01；
给定光功率初值𝑃
=1，调用fsolve函数求𝑃
𝑃
）的值，如果𝐼
<
28，则进入Step2；
否则进入Step4；
程序计算流程如图5-5所示。
输入环境温度T和电
流初值I=0
令I=I+0.01
给定光功率初值P=1，
调用fsolve函数求P
I28
图5-5程序计算流程图
通过Matlab编程（代码见附录B）得出不同温度下的L-I曲线。
从不同温度下的L-I曲线图（图5-6）中可以看出：
在同一温度下，随着电流的不断增大，光功率的数值是先变大，后变小的；
当电流增大到22mA后，所有温度下的光功率都等于0；
在同一电流强度下，随着温度的升高，光功率不断减小；
随着温度的降低，每个温度下最大光功率对应的电流逐渐增大。
图5-6不同温度下和实测数据L-I曲线图
5.7保证用户正常使用最高环境温度的确定
（1）模型建立
根据得到的L-I模型和电压与电流的函数关系，可以得到𝑃
0的函数关系为𝑃
），换一种表达方式即为𝑇
0=𝑓
1（𝐼
结合题中所给条件，当电信机房里VCSEL激光器在直流输入时输出的平均光功率低于2mW时，用户的光猫无法检测到信号。
所以激光器在所求的最高工作温度下，其光功率不能小于2mW，所以有约束
P0≥2
在实际中电流大小不可能小于0，
升级会员 