华师大版八下205《等腰梯形的判定》同步习题精选2套Word下载.docx
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四、思考题
8.如图所示,四边形ABCD中,有AB=DC,∠B=∠C,且AD<
BC,四边形ABCD是等腰梯形吗?
为什么?
参考答案
一、1.D点拨:
梯形的底角分为上底上的角和下底上的角,因此在等腰梯形的性质和判别方法中必须强调同一底上的两个内角(指上底上的两个内角或下底上的两个内角),否则就会出现错误,因此A,B选项都不正确,而C选项中漏掉了限制条件另外一组对边不平行,若平行该四边形就形成了平行四边形了,因此应选D.
2.B点拨:
因为△ABC≌△DCB,△BAD≌△CDA,△AOB≌△DOC,
所以共有3对全等的三角形.
3.C点拨:
设该等腰梯形对角线长为Lcm,因为两条对角线互相垂直,
所以梯形面积为
L2=450,解得L=30,
所以所用竹条长度之和至少为2L=2×
30=60(cm).
二、4.4:
点拨:
如图所示,连结BD,过A,D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F.
易知△BAE≌△CDF,在四边形AEFD为矩形,所以BE=CF=3,AD=EF=4.
在Rt△CDF中,FC2+DF2=CD2,即32+DF2=52,
所以DF=4,在Rt△BFD中,BF2+DF2=BD2,即72+42=BD2,所以BD=
.
5.7;
31
如图所示,过点D作DE∥AB交BC于E.
因为AD∥BC,AB∥DE,所以四边形ABED是平行四边形.
所以BE=AD=5(cm),AB=DE.
又因为AB=CD,所以DE=DC,
又因为∠C=60°
,所以△DEC是等边三角形,
所以DE=DC=EC=7(cm),所以周长为5+12+7+7=31(cm).
6.AB=CD(或∠A=∠D,或∠B=∠C,或AC=BD,或∠A+∠C=180°
,或∠B+∠D=180°
)
三、7.证明:
因为AB∥ED,所以∠BAD=∠ADE.
又因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=∠CAD,所以∠CAD=∠ADE,
所以OA=OD.又因为AC=DE,所以AC-OA=DE-OD即OC=OE,所以∠OCE=∠OEC,
又因为∠AOD=∠COE,所以∠CAD=∠OCE.所以AD∥CE,
而AD≠CE,故四边形ADCE是梯形.
又因为∠CAD=∠ADE,AD=DA,AC=DE,所以△DAC≌△ADE,所以DC=AE,
所以四边形ADCE是等腰梯形.
证明一个四边形是等腰梯形时,应先证其是梯形而后再证两腰相等或同一底上的两个角相等.
四、8.解:
四边形ABCD是等腰梯形.
理由:
延长BA,CD,相交于点E,如图所示,由∠B=∠C,可得EB=EC.
又AB=DC,所以EB-AB=EC-DC,即AE=DE,所以∠EAD=∠EDA.
因为∠E+∠EAD+∠EDA=180°
,∠E+∠B+∠C=180°
,所以∠EAD=∠B.
故AD∥BC.又AD<
BC,所以四边形ABCD是梯形.
又AB=DC,所以四边形ABCD是等腰梯形.
点拨:
由题意可知,只要推出AD∥BC,再由AD<
BC就可知四边形ABCD为梯形,再由AB=DC,即可求得此四边形是等腰梯形,由∠B=∠C联想到延长BA,CD,即可得到等腰三角形,从而使AD∥BC.
20.5等腰梯形的判定B卷
一、七彩题
1.(一题多解题)如图所示,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=12cm,上底AD=15cm,∠BAD=120°
,求下底BC的长.
二、知识交叉题
2.(科内交叉题)如图所示,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OD的中点,且EF≠AD,试判断四边形EBCF的形状,并说明你的理由.
三、实际应用题
3.如图所示,小军将两根长度相等的木条AC,BD交叉摆放,并使木条AC,BD分别与水平线所成的夹角∠1,∠2相等,然后在交点O处钉一个钉子固定,OA<
OC,再用一根彩带沿AD,DC,CB,BA围起来,小军得到的四边形ABCD是等腰梯形吗?
请说明你的理由.
四、经典中考题
4.(连云港,)如图所示,在直角梯形纸片ABCD中,AB∥DC,∠A=90°
,CD>
AD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点A落在边CD上的点E,折痕为DF,连结EF并展开纸片.
(1)求证:
四边形ADEF是正方形;
(2)取线段AF的中点G,连结EG,结果BG=CD,试说明四边形GBCE是等腰梯形.
五、探究学习篇
1.(翻折变换题)如图20-5-8所示,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠DBC=45°
,翻折梯形ABCD,使点B重合于点D,折痕分别交边AB,BC于点F,E,若AD=2,BC=8,求BE的长.
2.如图所示,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M,N分别为AD,BC的中点,E,F分别是BM,CM的中点.
(1)试说明△ABM≌△DCM;
(2)四边形MENF是什么图形?
请说明理由.
(3)若四边形MENF是正方形,则梯形的高与底边BC的长有何数量关系?
3.阅读:
下面是某同学解一道有关等腰梯形的问题的过程.已知:
在四边形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC.试说明四边形ABCD是等腰梯形.
解:
过点D作DE∥AB,交BC于点E,如图20-5-10所示.则∠ABE=∠1①.因为AB=DC,AC=DB,BC=CB②,所以△ABC≌△DCB,所以∠ABC=∠DCB③,所以∠1=∠DCB④,所以AB=DC=DE⑤,所以四边形ABCD是平行四边形⑥,所以AD∥BC⑦.又因为AD≠BC,所以四边形ABCD是梯形⑧.因为AB=CD,所以四边形ABCD是等腰梯形⑨.阅读填空:
(1)说明过程是否有错误?
错在第几步?
答:
_______.
(2)有人认为第⑧步是多余的,你认为呢?
答:
___________.
(3)若题目中没有AD≠BC,那么四边形ABCD一定是等腰梯形吗?
为什么?
一、1.解法一:
如图1所示,过A,D分别作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,
在梯形ABCD中,因为AD∥BC,所以∠B+∠BAD=180°
,
因为∠BAD=120°
,所以∠B=60°
在Rt△ABE中,∠BAE=90°
-∠B=30°
,所以BE=
AB=6cm.
因为梯形ABCD是等腰梯形,所以∠C=∠B=60°
,所以CF=
CD=6cm.
因为四边形AEFD是矩形,所以EF=AD=15cm,所以BC=BE+EF+CF=27cm.
图1图2图3
解法二:
如图2所示,过A作AE∥CD交BC于E点,
因为AD∥BC,所以四边形AECD是平行四边形.所以EC=AD=15cm,AE=CE.
又因为AD∥BC,所以∠B+∠BAD=180°
,因为∠BAD=120°
,所以∠B=60°
因为AB=CD,所以AB=AE,所以△ABE是等边三角形,
所以BE=AB=12cm,所以BC=BE+EC=15+12=27(cm).
解法三:
如图3所示,延长BA和CD交于点P,
在梯形ABCD中,AB=CD,所以∠B=∠C,
因为AD∥BC,所以∠PAD=∠B,∠PDA=∠C,∠BAD+∠B=180°
因为∠BAD=120°
所以∠B=∠PAD=∠C=∠PDA=60°
,所以△PAD和△PBC都是等边三角形.
所以PA=AD=15cm,PB=PA+AB=12+15=27(cm),所以BC=PB=27cm.
以上三种辅助线的方法在梯形中运用相当广泛,通过它们把梯形的问题转化为平行四边形,三角形等的问题来解决,体现了“转化”的数学思想.
二、2.解:
四边形EBCF是等腰梯形.理由如下:
因为四边形ABCD是矩形,所以AC=BD,AD=BC.
又因为AO=OC,OB=OD,所以OA=OD=OC=OB.
又因为E,F分别是OA,OD的中点,所以OE=OF,所以∠OEF=∠OFE.
因为OB=OC,所以∠OBC=∠OCB.
又因为∠EOF=∠BOC,所以∠OEF+∠OFE=∠OBC+∠OCB,即2∠OFE=2∠OBC,
所以∠OFE=∠OBC,所以EF∥BC.
因为EF≠AD,所以EF≠BC.所以四边形EBCF是梯形.
因为OE=OF,OB=OC,∠EOB=∠FOC,所以△OEB≌△OFC,所以BE=CF,
所以四边形EBCF是等腰梯形.
本题是等腰梯形的判定与矩形的性质的知识交叉题.要说明一个四边形为等腰梯形,需先说明这个四边形为梯形(这一条很容易被忽略),再说明这个梯形为等腰梯形.
三、3.解:
小军得到的四边形ABCD是等腰梯形,理由如下:
如图所示,延长DA,CB交于点E,因为AC=BD,∠1=∠2,CD=DC.
所以△ADC≌△BCD(S.A.S.),所以AD=BC,∠ADC=∠BCD.所以ED=EC,
所以ED-AD=EC-BC,即EA=EB.所以∠3=∠4,
因为∠3+∠4+∠E=180°
,∠ADC+∠BCD+∠E=180°
所以∠3=
,∠ADC=
,所以∠3=∠ADC.所以AB∥CD,
又因为OA<
OC,故四边形ABCD必不为平行四边形,
所以四边形ABCD是等腰梯形.
要想使四边形ABCD是等腰梯形,关键是求得AB∥DC和AD=BC,可通过同位角相等和三角形全等分别求出.
四、4.证明:
如图所示,
(1)因为∠A=90°
,AB∥DC,所以∠ADE=90°
由沿DF折叠后△DAF与△DEF重合,知AD=DE,∠DEF=90°
所以四边形ADEF是矩形,且邻边AD,DE相等.
所以四边形ADEF是正方形.
(2)因为CE∥BG,且CE≠BG,所以四边形GBCE是梯形,因为四边形ADEF是正方形,
所以AD=FE,∠A=∠GFE=90°
,又点G为AF的中点,所以AG=FG,连结DG.
在△AGD与△FGE中,因为AD=FE,∠A=∠GFE,AG=FG,所以△AGD≌△FGE,
所以∠DGA=∠EGB.因为BG=CD,BG∥CD,所以四边形BCDG是平行四边形.
所以DG∥CD.所以∠DGA=∠B.所以∠EGB=∠B.所以四边形GBCE是等腰梯形.
五、探究学习
1.解:
因为△BFE与△DFE关于EF对称,所以△BFE≌△DFE.所以BE=DE.
又因为∠DBC=45°
,所以∠EBD=∠EDB=45°
,所以∠BED=90°
过A作AH⊥BC于H,如图所示.因为AD∥BC,所以∠BED=∠ADE=90°
又因为∠AHE=90°
,所以四边形ADEH是矩形.所以AD=HE,AH=DE.
在Rt△ABH和Rt△DCE中,因为AB=DC,AH=DE,所以Rt△ABH≌Rt△DCE,所以BH=EC.
所以EC=
×
(BC-AD)=
(8-2)=3,所以BE=BC-EC=8-3=5.
要求BE的长,因为BC已知,只需求EC的长,由已知条件可得∠DEC=90°
,故联系梯形常作辅助线,易求EC的长.
2.解:
(1)因为四边形ABCD为等腰梯形,所以AB=CD,∠A=∠D.
因为M是AD的中点,所以AM=DM,所以△ABM≌△DCM.
(2)四边形MENF是菱形.理由:
由△ABM≌△DCM,得MB=MC.
连结MN,因为N是BC的中点,所以MN⊥BC,
而E,F分别是MB,MC的中点,
所以ME=
MB,MF=
MC,NE=
MB,NF=
MC(直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半),所以ME=MF=NF=NE,所以四边形MENF是菱形.(3)梯形的高等于底边BC的长的一半;
因为四边形MENF是正方形,所以∠BMC=90°
由
(2)知MN是梯形的高,因为N是中点,所以MN=
BC.
在
(2)的解答过程中,易只判断出是平行四边形的情况,出现说理不彻底不全面的错误,这也是解此类题的难点.
3.解:
(1)没有错误;
(2)第⑧步不是多余的,因为如果没有第⑧步就不符合梯形的定义;
(3)不一定,因为当AD=BC时,四边形ABCD是矩形.
做这种阅读材料的题时,一定要耐心,仔细地一步步读题.