中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案讲课教案Word格式文档下载.docx

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3、集合A={b,c},B={a,b,c,d,e},则A⋃B=。

4、集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则A⋂B=。

5、若A是2元集合,则2A有个元素。

6、集合A={1,2,3},A上的二元运算定义为:

a*b=a和b两者的最大值,则2*3=。

7、设A={a,b,c,d},则∣A∣=。

8、对实数的普通加法和乘法,是加法的幂等元,是乘法的幂等元。

9、设a,b,c是阿贝尔群<

G,+>

的元素,则-(a+b+c)=。

10、一个图的哈密尔顿路是。

11、不能再分解的命题称为,至少包含一个联结词的命题称为。

12、命题是。

13、如果p表示王强是一名大学生,则┐p表示。

14、与一个个体相关联的谓词叫做。

15、量词分两种:

和。

16、设A、B为集合,如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的。

17、集合上的三种特殊元是、及。

18、设A={a,b},则ρ(A)的四个元素分别是:

,,,。

19、代数系统是指由及其上的或组成的系统。

20、设<

L,*1,*2>

是代数系统,其中是*1,*2二元运算符,如果*1,*2都满足、,并且*1和*2满足,则称<

是格。

21、集合A={a,b,c,d},B={b},则A\B=。

22、设A={1,2},则∣A∣=。

23、在有向图中,结点v的出度deg+(v)表示,入度deg-(v)表示以。

24、一个图的欧拉回路是。

25、不含回路的连通图是。

26、不与任何结点相邻接的结点称为。

27、推理理论中的四个推理规则是、、、。

二、判断题(每题2分,共20分)

1、空集是唯一的。

2、对任意的集合A,A包含A。

3、恒等关系不是对称的,也不是反对称的。

4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。

5、图G中,与顶点v关联的边数称为点v的度数,记作deg(v)。

6、在实数集上,普通加法和普通乘法不是可结合运算。

7、对于任何一命题公式,都存在与其等价的析取范式和合取范式。

8、设(A,*)是代数系统,a∈A,如果a*a=a,则称a为(A,*)的等幂元。

9、设f:

A→B,g:

B→C。

若f,g都是双射,则gf不是双射。

10、无向图的邻接矩阵是对称阵。

11、一个集合不可以是另一个集合的元素。

12、映射也可以称为函数,是一种特殊的二元关系。

13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。

14、<

{0,1,2,3,4},MAX,MIN>

15、树一定是连通图。

16、单位元不是可逆的。

17、一个命题可赋予一个值,称为真值。

18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。

19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。

20、设f:

若f,g都是满射,则g◦f不是满射。

21、集合{1,2,3,3}和{1,2,3}是同一集合。

22、零元是不可逆的。

23、一般的,把与n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。

24、“我正在说谎。

”不是命题。

25、用A表示“是个大学生”,c表示“张三”,则A(c):

张三是个大学生。

26、设F={<

3,3>

<

6,2>

},则F-1={<

6,3>

2,6>

}。

27、欧拉图是有欧拉回路的图。

28、设f:

若f,g都是单射,则g◦f也是单射。

三、计算题(每题10分,共40分)

1、设A={c,d},B={0,1,2},则计算A×

B,B×

A。

2、A={a,b,c},B={1,2},计算A×

B。

3、A={a,b,c},计算A×

4、符号化命题“如果2大于3,则2大于4。

”。

5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。

6、符号化命题“2是素数且是偶数”。

7、设A={a,b,c,d},R是A的二元关系,定义为:

R={<

a,a>

a,b>

b,a>

c,b>

<

c,a>

d,c>

d,b>

d,a>

},写出A上二元关系R的关系矩阵。

8、设A={1,2,3,4},R是A的二元关系,定义为:

1,1>

1,2>

2,1>

3,2>

3,1>

4,3>

4,2>

4,1>

9、设有向图G如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。

10、设有向图G如下所示,求各个结点的出度、入度和度数。

11、设无向图G如下所示,求它的邻接矩阵。

12、求命题公式┐(p∧┐q)的真值表。

13、设<

2x+y,5>

=<

10,x-3y>

,求x,y。

14、R1、R2是从{1,2,3,4,5}到{2,4,6}的关系,若R1={<

1,2>

3,4>

5,6>

},R2={<

1,4>

2,6>

},计算domR1,ranR1,fldR1,domR2,ranR2,fldR2。

15、例:

设A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},C={1,2,3},A到B的关系R={<

x,y>

|x+y=6},B到C的关系S={<

y,z>

|y-z=2},求R◦S。

16、集合A={a,b,c},B={1,2,3,4,5},R是A上的关系,S是A到B的关系。

a,a>

a,c>

b,b>

c,b>

c,c>

},S={<

a,1>

a,4>

b,2>

c,4>

c,5>

},求R◦S,S–1◦R–1

17、A={1,2,3,4,5,6},D是整除关系,画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。

18、设集合A={a,b,c},A上的关系R={<

b,c>

},求R的自反、对称、传递闭包。

19、求下图中顶点v0与v5之间的最短路径。

 

20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。

四、证明题(每题10分,共20分)

1、若R和S都是非空集A上的等价关系,证明R

S是A上的等价关系。

2、证明苏格拉底论证:

凡人要死。

苏格拉底是人,苏格拉底要死。

3、P→Q,┐Q

R,┐R,┐S

P⇒┐S

4、在群<

G,*>

中,除单位元e外,不可能有别的幂等元。

5、设R和S是二元关系,证明:

(R

S)-1=R-1

S-1

6、证明:

((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R))=(S∧(P→Q))→R.

7、设I是整数集合,k是正整数,I上的关系R={<

|x,y∈I,且x-y可被k整除},证明R是等价关系。

8、证明((p→q)→r)⇔((┐q∧p)∨r)

9、证明(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S)⇒S∨R

10、证明P→┐Q,Q∨┐R,R∧┐S⇒┐P

11、证(∀x)(P(x)∨Q(x))⇒┐(∀x)P(x)→(∃x)Q(x)

12、证明定理:

设<

G,◦>

是群,对于任意a,b∈G,则方程a◦x=b与y◦a=b,在群内有唯一解。

《离散数学》复习题参考答案

一、填空题(每空1分,共20分)

1、集合A上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性。

2、一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合。

3、集合A={b,c},B={a,b,c,d,e},则A⋃B={a,b,c,d,e}。

4、集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则A⋂B={1,3}。

5、若A是2元集合,则2A有4个元素。

a*b=a和b两者的最大值,则2*3=3。

7、设A={a,b,c,d},则∣A∣=4。

8、对实数的普通加法和乘法,0是加法的幂等元,1是乘法的幂等元。

的元素,则-(a+b+c)=(-a)+(-b)+(-c)。

10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路。

11、不能再分解的命题称为原子命题,至少包含一个联结词的命题称为复合命题。

12、命题是能够表达判断(分辩其真假)的陈述语句。

13、如果p表示王强是一名大学生,则┐p表示王强不是一名大学生。

14、与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。

全称量词和存在量词。

16、设A、B为集合,如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集。

17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。

18、设A={a,b},则ρ(A)的四个元素分别是:

空集,{a},{b},{a,b}。

19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统。

是代数系统,其中是*1,*2二元运算符,如果*1,*2都满足交换律、结合律,并且*1和*2满足吸收律,则称<

21、集合A={a,b,c,d},B={b},则A\B={a,c,d}。

22、设A={1,2},则∣A∣=2。

23、在有向图中,结点v的出度deg+(v)表示以v为起点的边的条数,入度deg-(v)表示以v为终点的边的条数。

24、一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路。

25、不含回路的连通图是树。

26、不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。

27、推理理论中的四个推理规则是全称指定规则(US规则)、全称推广规则(UG规则)、存在指定规则(ES规则)、存在推广规则(EG规则)。

1、√。

2、√。

3、×

4、√。

5、√。

6、×

7、√。

8、√。

9、×

10、√。

11、×

12、√。

13、×

14、√。

15、√。

16、×

17、√。

18、√。

19、×

20、×

21、√。

22、√。

23、×

24、√。

25、√。

26、×

27、√。

28、√。

1、设A={c,d},B={0,1,2},则A×

B={<

c,0>

c,1>

c,2>

d,0>

d,1>

d,2>

},B×

A={<

0,c>

0,d>

1,c>

1,d>

2,c>

2,d>

2、A={a,b,c},B={1,2},A×

B={a,b,c}×

{1,2}={<

a,1>

b,1>

a,2>

b,2>

3、A={a,b,c},A×

A={a,b,c}×

{a,b,c}={<

a,c>

b,b>

c,a,>

c,c>

设L(x,y):

x大于y,a:

2,b:

3,c:

4,则命题符号化为L(a,b)→L(a,c)。

设F(x):

x是兔子。

G(x):

x是乌龟。

H(x,y):

x比y跑得快。

该命题符号化为:

¬

∀x∀y(F(x)∧G(y)→H(x,y))。

设F(x):

x是素数。

G(x):

x是偶数。

a:

2,则命题符号化为F(a)∧G(a)。

解:

R的关系矩阵为:

deg(v1)=3,deg+(v1)=1,deg-(v1)=2;

deg(v2)=deg+(v4)=deg-(v2)=0;

deg(v3)=3,deg+(v3)=2,deg-(v3)=1;

deg(v4)=2,deg+(v4)=1,deg-(v4)=1;

答:

deg(v1)=3,deg+(v1)=2,deg-(v1)=1;

deg(v2)=3,deg+(v2)=2,deg-(v2)=1;

deg(v3)=5,deg+(v3)=2,deg-(v3)=3;

deg(v4)=deg+(v4)=deg-(v4)=0;

deg(v5)=1,deg+(v5)=0,deg-(v5)=1;

12、求命题公式┐(p∧┐q)的真值表。

p

q

┐q

p∧┐q

┐(p∧┐q)

1

由定理列出如下方程组:

求解得x=5,y=0。

domR1={1,3,5},ranR1={2,4,6},fldR1=domR1∪ranR1={1,2,3,4,5,6};

domR2={1,2},ranR2={4,6},fldR2=domR2∪ranR2={1,2,4,6}。

1,5>

2,4>

3,3>

},S={<

3,1>

4,2>

5,3>

},从而R◦S={<

1,3>

2,2>

}

或者因<

∈R,<

∈S,所以<

∈R◦S;

因<

∈R◦S;

从而R◦S={<

R◦S={<

a,5>

c,2>

(R◦S)-1={<

1,a>

4,a>

5,a>

2,b>

2,c>

4,c>

5,c>

R–1={<

c,a>

b,c>

},

S–1={<

S–1◦R–1={<

1是A的最小元,没有最大元,1是极小元,4、5、6都是A的极大元。

r(R)={<

s(R)={<

t(R)={<

如下图所示v0与v5之间的最短路径为:

v0,v1,v2,v4,v3,v5

最短路径值为1+2+1+3+2=9

先根遍历:

ABDEHCFIJGK中根遍历:

DBHEAIFJCGK后根遍历:

DHEBIJFKGCA

证明:

a∈A,因为R和S都是A上的等价关系,所以xRx且xSx。

故xR

Sx。

从而R

S是自反的。

a,b∈A,aR

Sb,即aRb且aSb。

因为R和S都是A上的等价关系,所以bRa且bSa。

故bR

Sa。

S是对称的。

a,b,c∈A,aR

Sb且bR

Sc,即aRb,aSb,bRc且bSc。

因为R和S都是A上的等价关系,所以aRc且aSc。

故aR

Sc。

S是传递的。

故R

设:

H(x):

x是人。

M(x):

x是要死的。

s:

苏格拉底。

本题要证明:

(∀x)(H(x)→M(x))∧H(s)⇒M(s)

⑴(∀x)(H(x)→M(x))P

⑵H(s)→M(s)US⑴

⑶H(s)P

⑷M(s)⑵、⑶

(1)┐R前提

(2)┐Q

R前提

(3)┐Q

(1),

(2)

(4)P→Q前提

(5)┐P(3),(4)

(6)┐S

P前提

(7)┐S(5),(6)

因为e∗e=e,所以e是幂等元。

设a∈G且a∗a=a,则有a=e∗a=(a–1∗a)∗a=a–1∗(a∗a)=a–1∗a=e,即a=e。

.

所以

左边:

((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R))

=(┐(Q∧S)∨R)∧(┐S∨(P∨R))

=(┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R)

右边:

(S∧(P→Q))→R

=┐(S∧(┐P∨Q))∨R

=(┐S∨(P∧┐Q))∨R

=(┐Q∨┐S∨R)∧(┐S∨P∨R)

所以((Q∧S)→R)∧(S→(P∨R))=(S∧(P→Q))→R.

(1)对任意的x∈A,有x-x=0可被k整除。

所以<

x,x>

∈R,即R具有自反性。

(2)对任意的x,y∈A,<

∈R,即x-y可被k整除,设x-y=km,则y-x=-km

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