1第十一章三角形能力培优Word文件下载.docx

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1．三角形的三边关系

三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．

2．三角形三条重要线段

（1）高：

从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．

（2）中线：

连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线．

（3）角平分线：

三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

3．三角形的稳定性

三角形具有稳定性．

【温馨提示】

1．以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：

三边都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分为三类：

三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形，等边三角形是等腰三角形的一种．

2．三角形的高、中线、角平分线都是线段，而不是直线或射线．

【方法技巧】

1．根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时，要看两条较短边之和是否大于最长边．

2．三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形，这两个三角形面积相等．

参考答案:

1．D解析：

线段AB上有5个点，线段AB与点C组成5×

（5－1）÷

2=10个三角形；

同样，线段DE上也有5个点，线段DE与点C组成5×

2=10个三角形，图中三角形的个数为20个．故选D．

2．21解析：

根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：

后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3，则第n个图形中，三角形的个数是4n－3．所以当n=6时，原式=21．

3．解：

填表如下：

7

2015

解析：

当△ABC内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=1×

2＋1；

当△ABC内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=2×

参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：

三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3个点时，三角形的个数是3×

2＋1=7；

当有1007个点时，三角形的个数是1007×

2＋1=2015．

4．B解析：

根据题意，得8－3＜1－2a＜8＋3，即5＜1－2a＜11，解得－5＜a＜－2．故选B．

5．10解析：

∵在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4，

∴a=1，2，3，4．a=1时，c=4；

a=2时，c=4或5；

a=3时，c=4，5，6；

a=4时，c=4，5，6，7．∴这样的三角形共有1+2+3+4=10个．

6．解：

原不等式可化为3（x+2）＞－2（1－2x），解得x＜8．

∵x是它的正整数解，

∴x可取1，2，3，5，6，7．

再根据三角形三边关系，得6＜x＜10，

∴x=7．

11.2与三角形有关的角

专题一利用三角形的内角和求角度

1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°

，则∠D=（　　）

A．15°

B．20°

C．25°

D．30°

2．如图，已知：

在直角△ABC中，∠C=90°

，BD平分∠ABC且交AC于D.若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．

3．已知：

如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：

__________；

（2）在图2中，若∠D=40°

，∠B=30°

，试求∠P的度数；

（写出解答过程）

（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）

专题二利用三角形外角的性质解决问题

4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°

，∠D=10°

，则∠P的度数为（　　）

A．15°

B．20°

C．25°

D．30°

5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°

，∠B=72°

．

（1）求∠DCE的度数；

（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）

6．如图：

（1）求证：

∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．

1．三角形内角和定理

三角形三个内角的和等于180°

2．直角三角形的性质及判定

性质：

直角三角形的两个锐角互余．

判定：

有两个角互余的三角形是直角三角形．

3．三角形的外角及性质

外角：

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．

性质：

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．

2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．

1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．

2．由三角形的外角的性质可得出：

三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．

1．C解析：

∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=

∠ACE，∠2=

∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=

∠A=25°

．故选C．

2．解：

（法1）因为∠C=90°

，所以∠BAC＋∠ABC=90°

，

所以

（∠BAC＋∠ABC）=45°

.

因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，

∠BAP=

∠BAC，∠ABP=

∠ABC，

即∠BAP＋∠ABP=45°

所以∠APB=180°

－45°

=135°

（法2）因为∠C=90°

因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，

∠DBC=

∠ABC，∠PAC=

∠BAC，

所以∠DBC＋∠PAD=45°

所以∠APB=∠PDA＋∠PAD=∠DBC＋∠C＋∠PAD

=∠DBC＋∠PAD＋∠C=45°

＋90°

（1）∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）由

（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，

∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，

又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠P－∠D=∠B－∠P，

即2∠P=∠B+∠D，

∴∠P=（40°

+30°

）÷

2=35°

（3）2∠P=∠B+∠D．

延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°

+∠AEC=50°

+∠ABD+10°

，整理得∠ACD－∠ABD=60°

．设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+

∠ACD=∠A+

∠ABD，即∠P=50°

－

（∠ACD－∠ABD）=20°

．故选B．

5．解：

（1）∵∠A=40°

，

∴∠ACB=68°

∵CD平分∠ACB，

∴∠DCB=

∠ACB=34°

∵CE是AB边上的高，

∴∠ECB=90°

－∠B=90°

－72°

=18°

∴∠DCE=34°

－18°

=16°

（2）∠DCE=

（∠B－∠A）．

6．

（1）证明：

延长BD交AC于点E，

∵∠BEC是△ABE的外角，

∴∠BEC=∠A+∠B．

∵∠BDC是△CED的外角，

∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．

（2）猜想：

∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°

证明：

∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD

=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1

=（∠3+∠2+∠1）+（∠6+∠5+∠4）

=180°

+180°

=360°

11.3多边形及其内角和

专题一根据正多边形的内角或外角求值

1．若一个正多边形的每个内角为150°

，则这个正多边形的边数是（　　）

A．12B．11C．10D．9

2．一个多边形的每一个外角都等于36°

，则该多边形的内角和等于________°

3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数．

专题二求多个角的和

4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（　　）

A．360°

B．540°

C．630°

D．720°

5．如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°

6．如图，求：

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

1．多边形及相关概念

多边形：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．

多边形的对角线：

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．

2．多边形的内角和与外角和

内角和：

n边形的内角和等于（n－2）·

180°

外角和：

多边形的外角和等于360°

1．从n边形的一个顶点出发，可以做（n－3）条对角线，它们将n边形分为（n－2）个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错．

2．多边形的外角和等于360°

，而不是180°

1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决．

2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于360°

，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等．

1．A解析：

∵每个内角为150°

，∴每个外角等于30°

．∵多边形的外角和是360°

，360°

÷

30°

=12，∴这个正多边形的边数为12．故选A．

2．1440解析：

∵多边形的边数为360°

36°

=10，多边形的内角为180°

－36°

=144°

，∴多边形的内角和等于144°

×

10=1440°

设多边形的边数为n，根据题意，得（n－2）·

=9×

360°

，解得n=20．所以这个多边形的边数为20．

∵∠1=∠C+∠D，∠2=∠E+∠F，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=∠A+∠B+∠1+∠2+∠G=540°

5．360°

解析：

在四边形BEFG中，

∵∠EBG=∠C+∠D，

∠BGF=∠A+∠ABC，

∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=∠EBG+∠BGF+∠E+∠F=360°

∵∠POA是△OEF的外角，∴∠POA=∠E+∠F．

同理：

∠BPO=∠D+∠C．

∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°