湘教版九年级数学上册知识点总结Word下载.docx

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命题

一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．（句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．）

　　知识点三：

命题的结构

命题可看做由题设（或条件）和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．

　　知识点四：

公理

人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。

这样公认为正确的命题叫做公理。

例如：

“两点之间线段最短”　，“一条直线截两条平行所得的同位角相等”

　　知识点五：

：

定理

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

定理也可以作为判断其他命题真假的依据。

　知识点六：

真命题与假命题

如果题设成立，那么结论一定成立，像这样的命题叫做真命题。

相反，如果题设成立时，不能保证结论总是正确的，就认为结论不成立，像这样的命题叫做假命题，凡是假命题都是错误的命题。

　　知识点七：

证明

由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。

证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。

（证明命题的格式一般为：

1）按题意画出图形；

2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；

3）在“证明”中写出推理过程）

　　知识点八：

假命题的判定

只需举出反例，它符合命题的题设，但不满足结论，即可判定该命题是假命题。

知识点九：

反证法

从假设所需证的命题的结论不成立出发，结合条件推出与已知条件或正确命题相矛盾的结论，说明假设错误，原命题成立的证明方法

　　三、规律方法指导

　　1.数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．

　　2.证明的意义：

在几何中，除了公理以外，不管所论及的命题的结论是多么明显，都必须通过推理来证明．

　　3.反证法的适用范围

（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；

（2）命题的结论以否定形式出现时；

　　（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时　（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；

　　（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；

　　　　　　（6）关于存在性命题；

　　（7）某些定理的逆定理。

　　四、经典例题透析

类型一：

　　例、判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？

哪些没有对事情作出判断？

（1）对顶角相等；

（2）画一个角等于已知角；

　　　　　　　　（3）两直线平行，同位角相等；

　　（４）

，

两条直线平行吗?

（5）鸟是动物；

（6）若

，求

的值；

（7）若

，则

．

　　思路点拨:

通过本题熟悉命题的定义

　　解析：

句子

（1）（3）（5）（7）对事情作了判断，句子

（2）（4）（6）没有对事情作出判断．其中

（1）（3）（5）判断是正确的，（7）判断是错误的．

　　总结升华：

数学课的主要研究对象是数学知识，所以今后的相关学习是研究数学命题。

　举一反三：

　　【变式1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?

（1）若a＜b，则

；

（2）三角形的三条高交于一点；

　　（3）在ΔABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B吗?

　　（4）两点之间线段最短；

　　（5）解方程

　　（6）1＋2≠3．

　　【答案】

（1）

（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．

　　类型二：

　　例、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：

（1）三条边对应相等的两个三角形全等；

（2）在同一个三角形中，等角对等边；

　　（3）对顶角相等；

　　（4）同角的余角相等；

　　（5）三角形的内角和等于180°

　　（6）角平分线上的点到角的两边距离相等．

找出命题的条件和结论是本题的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去．

（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．

（2）“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。

可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：

“在一个三角形中”，在改写时不能遗漏．

　　（3）这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．

　　（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．

　　（5）条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180°

”．这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°

”；

　（6）“如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。

”

　∠AOC平分线是OE，∠DOB平分线是OF，判断OE和OF是在同一条直线上

　C的平分线OF互为反向延长线，即OE、OF在同一条直线上，但∠1≠∠3，∴∠AOD≠∠BOD，A、O、B不在同一条直线上，∴不是对顶角，填×

。

　　类型三：

　　例、证明：

“如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直．”

总结步骤：

　　1．审题：

分清命题的“题设”和“结论”．

　　2．译题：

结合图形中的字母及符号，写出已知，求证．

　　3．想题：

用“执因索果”（综合法）；

用“执果索因”（分析法）寻找论证推理的逻辑思路．一般是把二者结合起来思考，效果较好，这也叫综合分析法．

　　4．证题：

从已知出发，每一步过程要有根据（定义，公理或定理）最后得到结论，全面推理过程要因果分明．

已知：

a∥b，a⊥c，

　　求证：

b⊥c

　　证法

（一）：

∵a⊥c，（已知）

　　∴∠1=90°

．（垂直的定义）

　　∵a∥b，（已知）

　　∴∠1=∠2，（两直线平行，同位角相等）

　　∴∠2=90°

，（等量代换）

　　∴b⊥c．（垂直定义）

　　证法

（二）：

∵a∥b，（已知）

　　∴∠1=∠2．（两直线平行，同位角相等）

　　∵a⊥c，（已知）

，（垂直定义）

　　∴b⊥c．（垂直定义）

【变式1】求证：

同角的余角相等．

　　已知：

∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角．

∠2=∠3．

　【答案】证明：

因为∠2与∠1互为余角，∠3与∠1互为余角，（已知）

　　所以∠2+∠1=90°

，∠3+∠1=90°

．（余角定义）

　　所以∠2+∠1=∠3+∠1．（等量代换）

　　则∠2=∠3．（等量减等量差相等）

类型四：

　　例、已知：

如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，13与11相交于点P.

13与l2相交．

　　（使用反证法）

仔细阅读反证法的定义，掌握这种方法的规律。

证明：

假设，　13与l2不相交　　　　　，

　　即　l3　　∥　l2　　　，

　　又∵　l1　　∥　l2　　　（已知），

　　∴　过直线12外一点P有两条直线11,13与直线12平行，

　　这与“　　经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行　”相矛盾，

　　∴假设不成立，即求证的命题成立，

　　∴13与12相交．

　　【变式1】用反证法证明

不是有理数

　　【答案】证明：

假设

是有理数，则

可表示为

（

为自然数，且互质）

　　两边平方，得

　　2n2=m2①

　　由①知m2必是2的倍数，进而m必是2的倍数．

　　令m=2p代入①式，得n2=2p2②

　　由②知，

必是2的倍数，m和n都是2的倍数，则m、n不互质，与假定m、n互质相矛盾，

不是有理数．

　　【变式2】我们年级有367名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日．

　　【答案】设“假设任何两个学生都不在同一天过生日”

　　所以这367人就会有不同的367天过生日

　　这就出现了与一年只有365天（闰年366天）的矛盾．

　　因此反设不成立。

　　所以“至少有两个学生在同一天过生日”

第三章图形的相似

直观上，把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形是相似的．

1、线段的比

一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段ＰＱ，Ｐ′Ｑ′的长度分别为

ｍ，ｎ，那么把长度的比ｎｍ叫作这两条线段Ｐ′Ｑ′与ＰＱ的比，记作Ｐ′Ｑ′/ＰＱ＝ｎ/ｍ，或Ｐ′Ｑ′∶ＰＱ＝ｎ∶ｍ，其中Ｐ′Ｑ′，ＰＱ分别叫作比的前项、后项，如果ｎ/ｍ的比值为ｋ，那么也可写成Ｐ′Ｑ′/ＰＱ＝ｋ，或Ｐ′Ｑ′＝ｋ·

ＰＱ．

一般地，在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，

那么这四条线段叫作成比例线段

2、比例的基本性质

比例的基本性质：

如果ａ/ｂ＝ｃ/ｄ，那么ａｄ＝ｂｃ．

3、相似三角形的性质和判定

角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三

角形．如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ相似，且Ａ′，Ｂ′，Ｃ′分别与Ａ，Ｂ，Ｃ对应，那么记作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，读作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的对应边的比ｋ叫作相似比

判定定理１如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．

判定定理１可以简单说成：

三边对应成比例的两个三角形相似．

判定定理２如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个

角对应相等，那么这两个三角形相似.

判定定理２可以简单说成：

两角对应相等的两个三角形相似.

相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．

判定定理３如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条

边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

判定定理３可以简单说成：

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

4、相似多边形

把对应角相等，并且对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形．

相似多边形的对应边的比ｋ叫作相似比．

相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．

取定一点Ｏ，把图形上任意一点Ｐ对应到射线ＯＰ（或它的反向延长线）上

一点Ｐ′，使得线段ＯＰ′与ＯＰ的比等于常数ｋ（ｋ＞０），点Ｏ对应到它自身，这种变换叫作位似变换，点Ｏ叫作位似中心，常数ｋ叫作位似比，一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形．从位似变换和位似的图形的定义立即得出：

两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

5、相似多边形的性质

性质１相似多边形的对应边成比例

性质２相似多边形的对应角相等．

性质３相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似

比的平方．

6、相似多边形的判定

对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似．

第四章、解直角三角形

直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余

几何表示：

∵∠C=90°

∴∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°

角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°

∴BC=

AB

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

∵∠ACB=90°

D为AB的中点∴CD=

AB=BD=AD

4、勾股定理：

5、射影定理：

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项

CD⊥AB

∴

6、常用关系式

由三角形面积公式可得：

CD=AC

BC

锐角三角函数的概念

如图，在△ABC中，∠C=90°

锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数

锐角三角函数的取值范围：

0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.

锐角三角函数之间的关系

（1）平方关系

（2）倒数关系

tanA

tan（90°

—A）=1

（3）弦切关系

tanA=

cotA=

（4）互余关系

sinA=cos（90°

—A），cosA=sin（90°

—A）

tanA=cot（90°

—A），cotA=tan（90°

特殊角的三角函数值

α

sinα

cosα

tanα

cotα

30°

45°

1

60°

说明：

锐角三角函数的增减性，当角度在0°

~90°

之间变化时.

（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

解直角三角形的理论依据：

以上.

对实际问题的处理

（1）俯、仰角.

（2）方位角、象限角.

（3）坡角、坡度.

补充：

在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。

有关公式

（1）

=

（2）Rt△面积公式：

（3）结论：

直角三角形斜边上的高

（4）测底部不可到达物体的高度．，

解直角三角形的知识的应用，可以解决：

（1）测量物体高度．

（2）有关航行问题．

（3）计算坝体或边路的坡度等问题

第五章、统计与概率

一、统计的基础知识

1、统计调查的两种基本形式：

普查：

对调查对象的全体进行调查；

抽样调查：

对调查对象的部分进行调查；

总体：

所要考察对象的全体；

个体：

总体中每一个考察的对象；

样本：

从总体中所抽取的一部分个体；

样本容量：

样本中个体的数目（不带单位）；

平均数：

对于n个数

，我们把

叫做这n个数的平均数；

中位数：

几个数据按大小顺序排列时，处于最中间的一个数据（或是最中间两个数据的平均数）叫做中位数；

众数：

一组数据中出现次数最多的那个数据；

方差：

，其中n为样本容量，

为样本平均数；

标准差：

S，即方差的算术平方根；

极差：

一组数据中最大数据与最小数据的差称为这组数据的极差；

频数：

将数据分组后落在各小组内的数据个数叫做该小组的频数；

频率：

每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率；

★频数和频率的基本关系式：

频率=——————

各小组频数的总和等于样本容量，各小组频率的总和等于1；

扇形统计图：

圆表示总体，扇形表示部分，统计图反映部分占总体的百分比，每个扇形的圆心角度数=360°

×

该部分占总体的百分比；

会填写频数分布表，会补全频数分布直方图、频数折线图；

二、概率的基础知识

必然事件：

一定条件下必然会发生的事件；

不可能事件：

一定条件下必然不会发生的事件；

2、不确定事件（随机事件）：

在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件；

3、概率：

某件事情A发生的可能性称为这件事情的概率，记为P（A）；

P（必然事件）=1，P（不可能事件）=0，0＜P（不确定事件）＜1；

★概率计算方法：

P（A）=————————————————

运用列举法（常用树状图）计算简单事件发生的概率

例如

注：

对于两种情况时，需注意第二种情况可能发生的结果总数

例：

①袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后再取出一个球，求两个球都是白球的概率；

P=

②袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后放回，再取出一个球，求两个球都是白球的概率；

P=