人教版九级数学河南上册习题第二十四章圆Word文件下载.docx

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∵BD＝OD，

∴∠DOB＝∠B＝x.

∴∠ADO＝∠DOB＋∠B＝2x.

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ADO＝2x.

∵∠AOC＝∠A＋∠B，

∴2x＋x＝114°

，解得x＝38°

.

∴∠AOD＝180°

－∠A－∠ADO＝180°

－4x＝180°

－4×

38°

＝28°

02　　中档题

11．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°

，∠BOD＝100°

，则∠C的度数为（C）

A．50°

C．70°

D．80°

12．下列四边形：

①平行四边形；

②菱形；

③矩形；

④正方形．其中四个顶点在同一个圆上的有（B）

13．下面3个命题：

①半径相等的两个圆是等圆；

②长度相等的弧是等弧；

③一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题的个数为（B）

A．0个B．1个

C．2个D．3个

14．如图，A，B是⊙O上的两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与B之间的距离为（B）

A.rB.rC．rD．2r

15．（三门峡义马期中）如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆周上（不与A、C重合），点D在AC的延长线上，连接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则（D）

A．DE＝EB

B.DE＝EB

C.DE＝DO

D．DE＝OB

16．已知A，B是半径为6cm的圆上的两个不同的点，则弦长AB的取值范围是0<

AB≤12cm.

17．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．

OE＝OF.

连接OA，OB.

∵OA，OB是⊙O的半径，

∴OA＝OB.

∴∠OAB＝∠OBA.

又∵AE＝BF，

∴△OAE≌△OBF（SAS）．

18．如图，在△ABC中，BD，CE是两条高，点O为BC的中点，连接OD，OE，求证：

B，C，D，E四个点在以点O为圆心的同一个圆上．

∵BD，CE是两条高，

∴∠BDC＝∠BEC＝90°

∵点O为BC的中点，

∴OE＝OB＝OC＝BC.

同理：

OD＝OB＝OC＝BC.

∴OB＝OC＝OD＝OE.

∴B，C，D，E在以O为圆心的同一个圆上．

03　　综合题

19．如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，∠A＝63°

，求∠B的度数．

连接EC，ED.

∵AE＝CE，

∴∠ACE＝∠A＝63°

∴∠AEC＝180°

－63°

×

2＝54°

∵DE＝DB，

∴∠DEB＝∠B.

∴∠CDE＝∠DEB＋∠B＝2∠B.

∵CE＝DE，

∴∠ECD＝∠CDE＝2∠B.

∴∠AEC＝∠ECD＋∠B＝3∠B.

∴3∠B＝54°

∴∠B＝18°

24.1.2　垂直于弦的直径

知识点1　圆的对称性

1．下列说法正确的是（B）

A．直径是圆的对称轴

B．经过圆心的直线是圆的对称轴

C．与圆相交的直线是圆的对称轴

D．与半径垂直的直线是圆的对称轴

知识点2　垂径定理

2．（三门峡义马期中）如图，在⊙O中，弦AB＝6，圆心O到AB的距离OC＝2，则⊙O的半径长为（D）

A．3B．5

C．6D.

3．（黄石中考）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝（A）

A．5B．7

C．9D．11

4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（D）

A．CM＝DMB.＝

C．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MB

5．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD＝22.5°

，若CD＝6cm，则AB的长为（B）

A．4cmB．3cm

C．2cmD．2cm

6．如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直于弦AB于点C，∠AOB＝120°

，则弦AB的长为4．

知识点3　垂径定理的推论

7．下列说法正确的是（D）

A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧

B．平分弦的直径垂直于弦

C．垂直于直径的弦平分这条直径

D．弦的垂直平分线经过圆心

8．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（D）

A．8

B．2

C．10

D．5

知识点4　垂径定理的应用

9．（茂名中考）如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差（即CD）为0.5米．

10．如图是某风景区的一个圆拱形门，净高5米，路面AB宽为2米，求圆拱形门所在圆的半径．

连接OA.

∵CD⊥AB，且CD过圆心O，

∴AD＝AB＝1米，∠CDA＝90°

设⊙O的半径为R，则

OA＝OC＝R，OD＝5－R.

在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即

R2＝（5－R）2＋12，解得R＝2.6.

故圆拱形门所在圆的半径为2.6米．

11．已知⊙O的半径OA＝10cm，弦AB＝16cm，P为弦AB上的一个动点，则OP的最短距离为（B）

A．5cmB．6cmC．8cmD．10cm

12．（河南济源市济水一中）如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为（D）

A．5B．6C．7D．8

13．如图，在⊙O中，AB，AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA长为5_cm.

14．（宿迁中考）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°

，∠BAC＝20°

，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为2．

15．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为2cm.

16．（孝感中考改编）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧.若的中点C到弦AB的距离为20m，AB＝80m，求所在圆的半径．

∵C为的中点，

∴OC⊥AB.

∴AD＝BD＝AB＝40.

设⊙O的半径为r，

则OA＝r，OD＝OC－CD＝r－20.

在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，

∴r2＝（r－20）2＋402，解得r＝50.

即所在圆的半径是50m.

17．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.

（1）求证：

点E是OB的中点；

（2）若AB＝8，求CD的长．

（1）证明：

连接AC.

∵OB⊥CD，

∴CE＝ED，即OB是CD的垂直平分线．

∴AC＝AD.

同理可得AC＝CD.

∴△ACD是正三角形．

∴∠ACD＝60°

，∠DCF＝30°

在Rt△COE中，OE＝OC＝OB.

∴点E是OB的中点．

（2）∵AB＝8，

∴OC＝AB＝4.

又∵BE＝OE，

∴OE＝2.

∴CE＝＝＝2.

∴CD＝2CE＝4.

18．（湖州中考）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图所示）．

AC＝BD；

（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．

过点O作OE⊥AB于点E.

则CE＝DE，AE＝BE.

∴AE－CE＝BE－DE，

即AC＝BD.

（2）连接OA，OC.

由

（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，

∴CE＝＝＝2，

AE＝＝＝8.

∴AC＝AE－CE＝8－2.

24．1.3　弧、弦、圆心角

知识点1　圆心角的概念及其计算

1．下面图形中的角是圆心角的是（D）

AB

CD

2．已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为5cm，则弦AB所对的圆心角∠AOB＝60°

知识点2弧、弦、圆心角之间的关系

3．下列说法正确的是（B）

A．相等的圆心角所对的弧相等

B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等

C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等

D．圆心到弦的距离相等，则弦相等

4．（兰州中考）如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°

，则∠BOC＝（A）

A．40°

B．45°

C．50°

D．60°

5．（贵港中考）如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°

，则∠AEO的度数是（A）

A．51°

B．56°

C．68°

D．78°

6．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有（D）

①＝；

②＝；

③AC＝BD；

④∠BOD＝∠AOC.

7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD＝BC，则AB与CD的大小关系为（B）

A．AB>

CDB．AB＝CD

C．AB<

CDD．不能确定

8．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD的度数为（C）

A．100°

B．110°

C．120°

D．135°

9．如图，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且＝.BE与CE的大小有什么关系？

为什么？

BE＝CE.理由如下：

∵AB、DE是⊙O的直径，

∴∠AOD＝∠BOE.

∴＝.

∵＝，

∴＝.∴BE＝CE.

10．如图，M为⊙O上一点，OD⊥AM于D，OE⊥BM于E，若OD＝OE，求证：

＝.

连接OM.

∵OD⊥AM，OE⊥BM，

∴AD＝MD，ME＝BE，∠ODM＝∠OEM＝90°

在Rt△DMO和Rt△EMO中，

∴Rt△DMO≌Rt△EMO（HL）．

∴DM＝EM.

∴AM＝BM.

11．如图，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的个数为（D）

①∠DOE＝∠AOB；

③OF＝OC；

④AC＝EF.

A．1个B．2个C．3个D．4个

12．已知⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（C）

A．AB＞2AM

B．AB＝2AM

C．AB＜2AM

D．AB与2AM的大小不能确定

13．如图，AB是半圆O的直径，E是OA的中点，F是OB的中点，ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F.在下列结论中：

①＝＝；

②ME＝NF；

③AE＝BF；

④ME＝2AE.

正确的有①②③．

14．如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°

（1）△AOC是等边三角形吗？

请说明理由；

（2）求证：

OC∥BD.

（1）△AOC是等边三角形．理由：

∴∠AOC＝∠COD＝60°

又∵OA＝OC，

∴△AOC是等边三角形．

（2）证明：

∵∠AOC＝∠COD＝60°

，

∴∠BOD＝180°

－（∠AOC＋∠COD）＝60°

∵OD＝OB，∴△ODB为等边三角形．

∴∠ODB＝60°

∴∠ODB＝∠COD＝60°

∴OC∥BD.

15．如图，A，B，C为圆O上的三等分点．

（1）求∠BOC的度数；

（2）若AB＝3，求圆O的半径长及S△ABC.

（1）∵A，B，C为圆O上的三等分点，

∴＝＝.

∴∠BOC＝×

360°

＝120°

（2）过点O作OD⊥AB于点D，

∵A，B，C为圆O上的三等分点，

∴AB＝AC＝BC＝3，

即△ABC是等边三角形，且∠BAO＝∠OBA＝30°

则AD＝，故DO＝，OA＝，即圆O半径长为.

S△ABC＝3×

DO·

AB＝.

16．如图，∠AOB＝90°

，C，D是的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F，求证：

AE＝BF＝CD.

连接AC，BD.

∵＝＝，∠AOB＝90°

∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝∠AOB＝×

90°

＝30°

，AC＝CD＝DB.

∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°

∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°

在△AOC中，OA＝OC，

∴∠ACO＝＝＝75°

∴∠AEC＝∠ACO.∴AE＝AC.

同理BF＝BD.

∴AE＝BF＝CD.

24．1.4　圆周角

第1课时　圆周角定理及其推论

知识点1　圆周角的概念

1．下列图形中的角是圆周角的是（B）

知识点2　圆周角定理

2．（河南洛阳地矿双语学校）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOC＝80°

，则∠B的度数为（B）

A．20°

B．40°

C．60°

D．80°

3．（河南济源市济水一中）如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝40°

，则∠OBC＝（C）

A．30°

C．50°

4．（郑州校级模拟）如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠AOC＝40°

，则∠CDB的度数为（C）

B．30°

C．20°

D．10°

5．（朝阳中考）如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB＝30°

，则这个人工湖的直径为200m.

知识点3　圆周角定理的推论

6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°

，则∠B的度数是（C）

A．35°

C．55°

D．65°

7．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若∠A＝30°

，∠APD＝70°

，则∠B等于（C）

B．35°

C．40°

D．50°

8．（黔西南中考）如图，在⊙O中，＝，∠BAC＝50°

，则∠AEC的度数为（A）

A．65°

B．75°

D．55°

9．（娄底中考）如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°

，则∠CAB的度数为（C）

B．40°

D．70°

10．（常州中考）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，则该圆玻璃镜的半径是（B）

A.cmB．5cm

C．6cmD．10cm

11．如图所示，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于E，∠C＝60°

.求证：

△ABD为等边三角形．

∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，

∴AE＝DE.

∴BD＝BA.

∵∠D＝∠C＝60°

∴△ABD为等边三角形．

12．（河南周口西华县期末）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝50°

，AO∥DC，则∠B的度数为（D）

B．55°

D．65°

13．（新乡模拟）如图，AB是半圆的直径，D是弧AC的中点，∠ABC＝50°

，则∠DAB等于（C）

A．55°

C．65°

14．如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知∠OBA＝30°

，点A的坐标为（2，0），则点D的坐标为（0，2）．

15．（东营中考）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，＝＝，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值为8_cm．

16．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.

（1）求BC的长；

（2）求BD的长．

（1）∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°

∴在Rt△ABC中，

BC＝＝＝5.

（2）∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD＝45°

∴∠BAD＝∠ABD＝45°

∴AD＝BD.

设BD＝AD＝x，

由勾股定理得AD2＋BD2＝AB2.

∴x2＋x2＝102.解得x＝5.

∴BD＝5.

17．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为边BC的中点．

△ABC为等边三角形；

（2）求DE的长．

连接AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°

∵点D是BC的中点，

∴AD是BC的垂直平分线．∴AB＝AC.

又∵AB＝BC，∴AB＝AC＝BC.

∴△ABC为等边三角形．

（2）连接BE.

∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°

.∴BE⊥AC.

∵△ABC是等边三角形，

∴AE＝EC，即E为AC的中点．

又∵D是BC的中点，

∴DE是△ABC的中位线．

∴DE＝AB＝×

2＝1.

18．（河南洛阳地矿双语学校）如图，已知AB是半圆的直径，且AB＝10，弦AC＝6，将半圆沿过点A的直线AD折叠，使点C落在直径AB上的点C′，则折痕AD的长为4．

第2课时　圆内接四边形

知识点　圆内接四边形的性质

1．（湘潭中考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB＝60°

，则∠BCD的度数是（D）

A．60°

B．90°

C．100°

D．120°

2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°

，则∠DCE的大小是（B）

A．115°

B．105°

D．95°

3．（娄底中考）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是AB∥CD．

4．（南阳卧龙区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝130°

，则∠AOC的大小为100°

．

5．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°

，D是弧AC的中点，则∠DAC的度数是30°

6．如图所示，已知圆心角∠AOB＝100°

，求∠ACD的度数．

在优弧AMB上任取一点N，连接AN，BN，

由圆周角定理得∠N＝∠AOB＝×

100°

＝50°

所以∠ACB＝180°

－∠N＝180°

－50°

＝130°

所以∠ACD＝180°

－∠ACB＝180°

－130°

7．已知圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．

根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.

设这四个内角的度数分别为2x°

、x°

、7x°

、8x°

，则

2x＋x＋7x＋8x＝360.解得x＝20.

则2x＝40，7x＝140，8x＝160.

答：

这个四边形各内角的度数分别为40°

、20°

、140°

、160°

8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°

，∠ACD＝25°

，∠BAD＝65°

（1）AD＝CD；

（2）AB是⊙O的直径．

（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠D＝180°

－∠B＝130°

∵∠ACD＝25°

∴∠DAC＝180°

－∠D－∠ACD＝180°

－25°

＝25°

∴∠DAC＝∠ACD.

∴AD＝CD.

（2）∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°

＝40°

，∠B＝50°

∴∠ACB＝180°

－∠B－∠BAC＝180°

－40°

＝90°

∴AB是⊙O的直径．

9．（三门峡义马期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（C）

B．50°

D．75°

10．（聊城中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°

，∠BAC＝25°

，则∠E的度数为（B）