中考总复习多边形与平行四边形知识讲解提高Word格式.docx
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【要点诠释】
(1)多边形包括三角形、四边形、五边形……,等边三角形是边数最少的正多边形.
(2)多边形中最多有3个内角是锐角(如锐角三角形),也可以没有锐角(如矩形).
(3)解决n边形的有关问题时,往往连接其对角线转化成三角形的相关知识,研究n边形的外角问题时,也往往转化为n边形的内角问题.
考点二、平面图形的镶嵌
1.镶嵌的定义
用形状,大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,这就是平面图形的镶嵌.
2.平面图形的镶嵌
(1)一个多边形镶嵌的图形有:
三角形,四边形和正六边形;
(2)两个多边形镶嵌的图形有:
正三角形和正方形,正三角形和正方形,正方形和正八边形,正三角形和正十二边形;
(3)三个多边形镶嵌的图形一般有:
正三角形、正方形和正六边形,正方形、正六边形和正十二边形,正三角形、正方形和正十二边形.
【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点:
几个图形的内角拼接在一起时,其和等于360°
并使相等的边互相重合.
考点三、三角形中位线定理
1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.定理:
三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.
考点四、平行四边形的定义、性质与判定
1.定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.性质:
(1)平行四边形的对边平行且相等;
(2)平行四边形的对角相等,邻角互补;
(3)平行四边形的对角线互相平分;
(4)平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心.
3.判定:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
在平行四边形的学习中,学习它的性质定理和判定方法时,主要从三个不同角度加以分析:
边、角与对角线:
1.对于边,从位置(比如平行、垂直等)和大小(比如相等或倍半关系等)两方面探讨邻边或对边的关系特征;
2.对于角,以邻角和对角两方面为主,探讨其大小关系(比如相等、互补等)或具体度数;
3.对于对角线,则探讨两条对角线之间的位置和大小关系,以及它们与边、角之间的关系.
考点五:
平行线间的距离
1.两条平行线间的距离:
两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离.
1.距离是指垂线段的长度,是正值.
2.平行线间的距离处处相等.任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的,都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.
3.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.
2.平行四边形的面积:
平行四边形的面积=底×
高(等底等高的平行四边形面积相等).
【典型例题】
类型一、多边形与平面图形的镶嵌
1.如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D,E分别是边AB、AC上,将△ABC沿着DE重叠压平,A与A′重合,若∠A=70°
,则∠1+∠2=_________.
【思路点拨】首先根据四边形的内角和公式可以求出四边形ADA′E的内角和,由折叠可知∠AED=∠A′ED,∠ADE=∠A′DE,∠A=∠A′,又∠A=70°
,由此可以求出∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE,再利用邻补角的关系即可求出∠1+∠2.
【答案与解析】∵四边形ADA′E的内角和为(4-2)•180°
=360°
,
而由折叠可知∠AED=∠A′ED,∠ADE=∠A′DE,∠A=∠A′,
∴∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE=360°
-∠A-∠A′=360°
-2×
70°
=220°
∴∠1+∠2=180°
×
2-(∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE)=140°
.
【总结升华】本题考查根据多边形的内角和计算公式求和多边形相关的角的度数,解答时要会根据公
式进行正确运算、变形和数据处理.
举一反三:
【变式】一个多边形截取一个角后,形成另一个多边形的内角和是1620°
,则原来多边形的边数是( )
A.10B.11C.12D.以上都有可能
【答案】D.
2.如图所示,已知等边三角形ABC的边长为1,按图中所示的规律,用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( )
A.2008B.2009C.2010D.2011
【思路点拨】根据图象显示的规律找到,1个三角形,2个三角形,3个三角形组成的周长,得到规律为第n个三角形的周长为3+(n-1),所以可求得2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长.
【答案】C.
【解析】由图中可知:
1个三角形组成的图形的周长是3;
2个三角形组成的图形的周长是3+1=4;
3个三角形组成的图形的周长是3+2=5;
…
那么2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是3+2007=2010.
故选C.
【总结升华】注意要以第一图为基数来找规律.
类型二、平行四边形及其他知识的综合运用
3.(2012•阜新)如图,四边形ABCD是平行四边形,BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,BE、CF交于点G.若使EF=
AD,那么平行四边形ABCD应满足的条件是( )
A.∠ABC=60°
B.AB:
BC=1:
4C.AB:
BC=5:
2D.AB:
8
【思路点拨】根据四边形ABCD是平行四边形,利用平行四边形的性质得到对边平行且相等,然后根据两直线平行内错角相等,得到∠AEB=∠EBC,再由BE平分∠ABC得到∠ABE=∠EBC,等量代换后根据等角对等边得到AB=AE,同理可得DC=DF,再由AB=DC得到AE=DF,根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF=DE,当EF=
AD时,设EF=x,则AD=BC=4x,然后根据设出的量再表示出AF,进而根据AB=AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB与BC的比值.
【答案与解析】
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD,AD=BC,
∴∠AEB=∠EBC,
又BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE,
同理可得:
DC=DF,
∴AE=DF,
∴AE-EF=DE-EF,
即AF=DE,
当EF=
AD时,设EF=x,则AD=BC=4x,
∴AF=DE=
(AD-EF)=1.5x,
∴AE=AB=AF+EF=2.5x,
∴AB:
BC=2.5:
4=5:
8.
故选D.
【总结升华】此题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的性质,角平分性的定义以及等式的基本性质,利用了等量代换的数学思想,要求学生把所学的知识融汇贯穿,灵活运用.
【变式】已知:
如图,
,M为AB上一点,使AM=BC,N为BC上一点,CN=BM,连结AN、MC交于P.求:
的度数
【答案】过M点,作
4.(2012•德阳)如图,点D是△ABC的边AB的延长线上一点,点F是边BC上的一个动点(不与点B重合).以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF,又
(点P、E在直线AB的同侧),如果BD=
AB,那么△PBC的面积与△ABC面积之比为( )
A.
B.
C.
D.
【思路点拨】
首先过点P作PH∥BC交AB于H,连接CH,PF,易得四边形APEB,BFPH是平行四边形,又由四边形BDEF是平行四边形,设BD=a,则AB=4a,可求得BH=PF=3a,又由S△HBC=S△PBC,S△HBC:
S△ABC=BH:
AB,即可求得△PBC的面积与△ABC面积之比.
过点P作PH∥BC交AB于H,连接CH,PF,
∵APBE,
∴四边形APEB是平行四边形,
∴PE∥AB,PE=AB,
∵四边形BDEF是平行四边形,
∴EF∥BD,EF=BD,
即EF∥AB,
∴P,E,F共线,
设BD=a,
∵BD=AB,
∴PE=AB=4a,
则PF=PE﹣EF=3a,
∵PH∥BC,
∴
=
∵PF∥AB,
∴四边形BFPH是平行四边形,
∴BH=PF=3a,
∵
:
=BH:
AB=3a:
4a=3:
4,
=3:
4.故选D.
【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法.此题难度较大,注意准确作出辅助线,注意等高三角形面积的比等于其对应底的比.
5.如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F.
(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证:
EF=CD;
(2)在
(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比;
(3)若点D是BC边上的任意一点(除B、C外如图②),那么
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;
若不成立,请说明理由.
【思路点拨】
(1)根据△ABC和△AED是等边三角形,D是BC的中点,ED∥CF,求证△ABD≌△CAF,进而求证四边形EDCF是平行四边形即可;
(2)在
(1)的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比;
(3)根据ED∥FC,结合∠ACB=60°
,得出∠ACF=∠BAD,求证△ABD≌△CAF,得出ED=CF,进而求证四边形EDCF是平行四边形,即可证明EF=DC.
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,且∠BAD=
∠BAC=30°
∵△AED是等边三角形,
∴AD=AE,∠ADE=60°
∴∠EDB=90°
-∠ADE=90°
-60°
=30°
∵ED∥CF,
∴∠FCB=∠EDB=30°
∵∠ACB=60°
∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°
∴∠ACF=∠BAD=30°
在△ABD和△CAF中,
∠BAD=∠ACF
AB=CA
∠FAC=∠B,
∴△ABD≌△CAF(ASA),
∴AD=CF,
∵AD=ED,
∴ED=CF,
又∵ED∥CF,
∴四边形EDCF是平行四边形,
∴EF=CD.
(2)解:
△AEF和△ABC的面积比为:
1:
4;
(3)成立.
理由如下:
∵ED∥FC,
∴∠EDB=∠FCB,
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°
+∠BCF,∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°
+∠EDB
∴∠AFC=∠BDA,
∠BDA=∠AFC
∠B=∠FAC
∴△ABD≌△CAF(AAS),
∴AD=FC,
∴EF=DC.
【总结升华】此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握.此题涉及到的知识点较多,综合性较强,难度较大.
6.(2011北京)在口ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°
,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC=120°
,FG∥CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求∠BDG的度数.
(1)根据AF平分∠BAD,可得∠BAF=∠DAF,利用四边形ABCD是平行四边形,求证∠CEF=∠F即可.
(2)根据∠ABC=90°
,G是EF的中点可直接求得.
(3)分别连接GB、GC,求证四边形CEGF是平行四边形,再求证△ECG是等边三角形.由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB,求证△BEG≌△DCG,然后即可求得答案.
如图1,
∵AF平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF,
∴AD∥BC,AB∥CD,
∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F,
∴∠CEF=∠F.
∴CE=CF.
连接GC、BG,
∵四边形ABCD为平行四边形,∠ABC=90°
∴四边形ABCD为矩形,
∴∠DAF=∠BAF=45°
∵∠DCB=90°
,DF∥AB,
∴∠DFA=45°
,∠ECF=90°
∴△ECF为等腰直角三角形,
∵G为EF中点,
∴EG=CG=FG,CG⊥EF,
∵△ABE为等腰直角三角形,AB=DC,
∴BE=DC,
∵∠CEF=∠GCF=45°
∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG与△DCG中,
∵EG=CG
∠BEG=∠DCG
BE=DC,
∴△BEG≌△DCG,
∴BG=DG,
∵CG⊥EF,
∴∠DGC+∠DGA=90°
又∵∠DGC=∠BGA,
∴∠BGE+∠DGE=90°
∴△DGB为等腰直角三角形,
∴∠BDG=45°
(3)解:
延长AB、FG交于H,连接HD.
∵AD∥GF,AB∥DF,
∴四边形AHFD为平行四边形
∵∠ABC=120°
,AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°
,∠ADC=120°
,∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形
∴AD=DF
∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH,△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF,∠BHD=∠GFD=60°
∵FG=CE,CE=CF,CF=BH
∴BH=GF
在△BHD与△GFD中,
∵DH=DF
∠BHD=∠GFD
BH=GF,
∴△BHD≌△GFD,
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°
【总结升华】此题主要考查平行四边形的判定方法,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,菱形的判定与性质等知识点,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.
【变式】如图,有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ,连接EF、GH得到四边形EFGH,设S四边形ABCD=S1,S四边形EFGH=S2,S四边形MNPQ=S3,若S1+S2+S3=
,则S2=__________.
【答案】