中考总复习多边形与平行四边形知识讲解提高Word格式.docx

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【要点诠释】

（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.

（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.

（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.

考点二、平面图形的镶嵌

1．镶嵌的定义

用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．

2．平面图形的镶嵌

（1）一个多边形镶嵌的图形有：

三角形，四边形和正六边形；

（2）两个多边形镶嵌的图形有：

正三角形和正方形，正三角形和正方形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；

（3）三个多边形镶嵌的图形一般有：

正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.

【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：

几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°

并使相等的边互相重合.

考点三、三角形中位线定理

　　1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

　　2．定理：

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.

考点四、平行四边形的定义、性质与判定

1．定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

2．性质：

（1）平行四边形的对边平行且相等；

（2）平行四边形的对角相等，邻角互补；

（3）平行四边形的对角线互相平分；

（4）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．

3．判定：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

在平行四边形的学习中，学习它的性质定理和判定方法时，主要从三个不同角度加以分析：

边、角与对角线:

1.对于边，从位置（比如平行、垂直等）和大小（比如相等或倍半关系等）两方面探讨邻边或对边的关系特征；

2.对于角，以邻角和对角两方面为主，探讨其大小关系（比如相等、互补等）或具体度数；

3.对于对角线，则探讨两条对角线之间的位置和大小关系，以及它们与边、角之间的关系.

考点五：

平行线间的距离

1．两条平行线间的距离：

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.

1.距离是指垂线段的长度，是正值.

2.平行线间的距离处处相等.任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.

3.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.

2．平行四边形的面积：

平行四边形的面积=底×

高（等底等高的平行四边形面积相等）.

【典型例题】

类型一、多边形与平面图形的镶嵌

1.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A′重合，若∠A=70°

，则∠1+∠2=_________.

【思路点拨】首先根据四边形的内角和公式可以求出四边形ADA′E的内角和，由折叠可知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，又∠A=70°

，由此可以求出∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE，再利用邻补角的关系即可求出∠1+∠2．

【答案与解析】∵四边形ADA′E的内角和为（4-2）•180°

=360°

，

而由折叠可知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，

∴∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE=360°

-∠A-∠A′=360°

-2×

70°

=220°

∴∠1+∠2=180°

×

2-（∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE）=140°

．

【总结升华】本题考查根据多边形的内角和计算公式求和多边形相关的角的度数，解答时要会根据公

式进行正确运算、变形和数据处理．

举一反三：

【变式】一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°

，则原来多边形的边数是（　　）

A.10B.11C.12D.以上都有可能

【答案】D.

2．如图所示，已知等边三角形ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（　　）

A.2008B.2009C.2010D.2011

【思路点拨】根据图象显示的规律找到，1个三角形，2个三角形，3个三角形组成的周长，得到规律为第n个三角形的周长为3+（n-1），所以可求得2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长．

【答案】C.

【解析】由图中可知：

1个三角形组成的图形的周长是3；

2个三角形组成的图形的周长是3+1=4；

3个三角形组成的图形的周长是3+2=5；

…

那么2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是3+2007=2010．

故选C．

【总结升华】注意要以第一图为基数来找规律．

类型二、平行四边形及其他知识的综合运用

3．（2012•阜新）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF=

AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（　　）

A．∠ABC=60°

B．AB：

BC=1：

4C．AB：

BC=5：

2D．AB：

8

【思路点拨】根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，然后根据两直线平行内错角相等，得到∠AEB=∠EBC，再由BE平分∠ABC得到∠ABE=∠EBC，等量代换后根据等角对等边得到AB=AE，同理可得DC=DF，再由AB=DC得到AE=DF，根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF=DE，当EF=

AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，然后根据设出的量再表示出AF，进而根据AB=AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB与BC的比值．

【答案与解析】

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，

∴∠AEB=∠EBC，

又BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC，

∴∠ABE=∠AEB，

∴AB=AE，

同理可得：

DC=DF，

∴AE=DF，

∴AE-EF=DE-EF，

即AF=DE，

当EF=

AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，

∴AF=DE=

（AD-EF）=1.5x，

∴AE=AB=AF+EF=2.5x，

∴AB：

BC=2.5：

4=5：

8．

故选D．

【总结升华】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分性的定义以及等式的基本性质，利用了等量代换的数学思想，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用．

【变式】已知：

如图，

，M为AB上一点，使AM=BC，N为BC上一点，CN=BM，连结AN、MC交于P.求：

的度数

【答案】过M点，作

4.（2012•德阳）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又

（点P、E在直线AB的同侧），如果BD=

AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（　　）

A.

B.

C.

D.

【思路点拨】 

首先过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，易得四边形APEB，BFPH是平行四边形，又由四边形BDEF是平行四边形，设BD=a，则AB=4a，可求得BH=PF=3a，又由S△HBC=S△PBC，S△HBC：

S△ABC=BH：

AB，即可求得△PBC的面积与△ABC面积之比．

过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，

∵APBE，

∴四边形APEB是平行四边形，

∴PE∥AB，PE=AB，

∵四边形BDEF是平行四边形，

∴EF∥BD，EF=BD，

即EF∥AB，

∴P，E，F共线，

设BD=a，

∵BD=AB，

∴PE=AB=4a，

则PF=PE﹣EF=3a，

∵PH∥BC，

∴

=

∵PF∥AB，

∴四边形BFPH是平行四边形，

∴BH=PF=3a，

∵

：

=BH：

AB=3a：

4a=3：

4，

=3：

4．故选D．

【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．

5．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．

（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：

EF=CD；

（2）在

（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；

（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；

若不成立，请说明理由．

【思路点拨】

（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；

（2）在

（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；

（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°

，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC．

（1）证明：

∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，且∠BAD=

∠BAC=30°

∵△AED是等边三角形，

∴AD=AE，∠ADE=60°

∴∠EDB=90°

-∠ADE=90°

-60°

=30°

∵ED∥CF，

∴∠FCB=∠EDB=30°

∵∠ACB=60°

∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°

∴∠ACF=∠BAD=30°

在△ABD和△CAF中，

∠BAD=∠ACF

AB=CA

∠FAC=∠B，

∴△ABD≌△CAF（ASA），

∴AD=CF，

∵AD=ED，

∴ED=CF，

又∵ED∥CF，

∴四边形EDCF是平行四边形，

∴EF=CD．

（2）解：

△AEF和△ABC的面积比为：

1：

4；

（3）成立．

理由如下：

∵ED∥FC，

∴∠EDB=∠FCB，

∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°

+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°

+∠EDB

∴∠AFC=∠BDA，

∠BDA=∠AFC

∠B=∠FAC

∴△ABD≌△CAF（AAS），

∴AD=FC，

∴EF=DC．

【总结升华】此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大．

6.（2011北京）在口ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

（1）在图1中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°

，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若∠ABC=120°

，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可．

（2）根据∠ABC=90°

，G是EF的中点可直接求得．

（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案.

如图1，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，

∴∠CEF=∠F．

∴CE=CF．

连接GC、BG，

∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°

∴四边形ABCD为矩形，

∴∠DAF=∠BAF=45°

∵∠DCB=90°

，DF∥AB，

∴∠DFA=45°

，∠ECF=90°

∴△ECF为等腰直角三角形，

∵G为EF中点，

∴EG=CG=FG，CG⊥EF，

∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，

∴BE=DC，

∵∠CEF=∠GCF=45°

∴∠BEG=∠DCG=135°

在△BEG与△DCG中，

∵EG=CG

∠BEG=∠DCG

BE=DC，

∴△BEG≌△DCG，

∴BG=DG，

∵CG⊥EF，

∴∠DGC+∠DGA=90°

又∵∠DGC=∠BGA，

∴∠BGE+∠DGE=90°

∴△DGB为等腰直角三角形，

∴∠BDG=45°

（3）解：

延长AB、FG交于H，连接HD．

∵AD∥GF，AB∥DF，

∴四边形AHFD为平行四边形

∵∠ABC=120°

，AF平分∠BAD

∴∠DAF=30°

，∠ADC=120°

，∠DFA=30°

∴△DAF为等腰三角形

∴AD=DF

∴平行四边形AHFD为菱形

∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形

∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°

∵FG=CE，CE=CF，CF=BH 

∴BH=GF 

在△BHD与△GFD中，

∵DH=DF

∠BHD=∠GFD

BH=GF，

∴△BHD≌△GFD，

∴∠BDH=∠GDF

∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°

【总结升华】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

【变式】如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ，连接EF、GH得到四边形EFGH，设S四边形ABCD=S1，S四边形EFGH=S2，S四边形MNPQ=S3，若S1+S2+S3=

，则S2=__________．

【答案】