高中数学北师大版选修12第一章《统计案例》第1课时 回归分析精品学案Word格式.docx
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2.设两个变量x与y之间具有线性相关关系,相关系数是r,回归方程为y=a+bx,那么必有（ ）.
A.b与r符号相同 B.a与r符号相同
C.b与r符号相反 D.a与r符号相反
【解析】因为b与r的分母均为正,且分子相同,所以b与r同号.
【答案】A
3.某医院用光电比色检验尿汞时,得到尿汞含量x（毫克/升）与消化系数y的一组数据如下表:
尿汞含量x
2
4
6
8
10
消化系数y
64
138
205
285
260
若x与y具有线性相关关系,则回归直线方程是 .
【解析】利用公式b==26.95,a=-b=28.7,从而回归直线方程为y=26.95x+28.7.
【答案】y=26.95x+28.7
4.某10名同学的数学、物理、语文成绩如下表:
数学
136
125
122
87
108
113
111
70
94
74
物理
107
91
92
76
93
85
82
78
73
语文
86
114
104
109
100
106
112
95
99
试分别研究他们的数学成绩与物理成绩的关系、数学成绩与语文成绩的关系,你能发现什么规律?
【解析】可求出物理成绩与数学成绩的相关系数r≈0.87,从而认为物理成绩与数学成绩之间具有很强的线性相关关系.而由语文成绩与数学成绩的相关系数|r|≈0.092很接近0,说明语文成绩与数学成绩不具有线性相关关系.因此,数学成绩好的同学,一般来说物理成绩也较好,它们之间的联系较紧密,而数学成绩好的同学,语文成绩可能好也可能差,它们之间的关系不大.
相关关系的判断与分析
有下列关系:
①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系;
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系;
③苹果的产量与气候之间的关系;
④森林中的同一种树木,其断面直径与高度之间的关系;
⑤学生与他（她）的学号之间的关系.
其中有相关关系的是 （填写你认为正确的序号）.
【方法指导】根据相关关系的概念进行判断.
【解析】
序号
关系
理由
①
相关关系
人的年龄和他（她）的财富有一定的关系,一般中年人财富多,年轻人少,少儿基本没有
②
函数关系
曲线上的点与其坐标一一对应,是确定的
③
气候能影响苹果的产量
④
同一种树木,其断面直径和高度之间有一定的关系,但不确定
⑤
对应关系
确定的一一对应关系
【答案】①③④
【小结】相关关系是一种非确定性关系,是指两个变量之间有关系,但是两者之间的关系还受其他因素的影响,只是影响大小的问题.
回归直线过样本中心点（,）的性质的应用
观察两个相关变量的如下数据:
x
-1
-2
-3
-4
-5
5
3
1
y
-0.9
-3.1
-3.9
-5.1
4.1
2.9
2.1
0.9
则两个变量间的回归直线方程为（ ）.
A.y=0.5x-1 B.y=x
C.y=2x+0.3 D.y=x+1
【方法指导】根据回归直线方程y=a+bx经过样本中心点（,）可计算出结果.
【解析】∵=0,=0,回归直线方程经过样本中心点（,）,代入所给选项中检验,可知,只有y=x符合条件.
【答案】B
先判定相关性,再求回归直线方程
某种图书每册的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关,经统计得到数据如下:
20
30
50
200
10.15
5.52
4.08
2.85
2.11
1.62
1.41
1.30
1.21
1.15
检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否有线性相关关系?
如果有,求出y对x的回归方程.
【方法指导】本题是非线性回归分析问题,不妨设变量u=,题意要求对u与y作相关性检验,如果它们具有线性相关关系,就可以进一步求出y对u的回归直线方程,这时,再回代u=,就得到了y对x的回归曲线方程.
【解析】将上表数据列表分析如下:
i
7
9
xi
421
yi
31.4
25
400
900
2500
10000
40000
53939
103.03
30.47
16.65
8.12
4.45
2.62
1.99
1.69
1.46
1.32
171.8
xiyi
11.04
12.24
14.25
21.1
32.4
42.3
65
121
230
559.48
∴=42.1,=1772.41,=3.14,n=10,10=1321.94,可以求得r=0.9998,由r=0.9998,因此变量y与之间具有较强的线性相关关系.
∵b====-0.02,∴a=-b=3.14-（-0.02）×
42.1=3.98.
∴y与x的回归方程为y=3.98-0.02x.
[问题]当x=1时,由回归方程得y=3.96,而实际上y=10.15,为什么有这么大的偏差?
上述回归方程是y与x的回归方程吗?
[结论]因为y与之间具有较强的线性相关关系,而y与x之间没有明显的线性相关关系,故应先通过变量变换（即换元）,令u=,并通过对u与y作相关性检验,求出y对u的回归直线方程,最后再回代u=,得到y对x的回归方程.于是正确解如下:
首先作变量变换,令u=,则题目所给数据变成如下表所示的数据:
ui
0.5
0.33
0.2
0.1
0.05
0.03
0.02
0.01
0.005
可以求得r≈0.9998,因此变量y与u之间具有较强的线性相关关系,并且b≈8.973,a=-b≈1.125,最后回代u=可得y=+1.125.
因此y与x的回归方程为y=+1.125.
【小结】本题中y与x之间不具有线性相关关系,因而是非线性回归分析问题,对此类回归分析问题,应先求线性相关系数r,利用r来判断两个变量之间是否具有线性相关关系.当|r|越接近1时,认为线性相关关系越强,可以求回归直线方程,并可用求得的回归直线方程来预测变量的取值;
当|r|越接近0时,认为两个变量之间线性相关关系越不显著,这时求回归直线方程没有多大的实际价值,要采用变量变换（即换元法）转化为线性回归问题求解.
由施肥量x与水稻产量y试验数据的关系,画出散点图,并指明相关性.
施化肥量x
15
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
【解析】散点图为:
通过图像可知是正相关.
已知x、y的取值如表所示,若从散点图分析,y与x线性相关,且y=0.95x+a,求a的值.
2.2
4.3
4.8
6.7
【解析】由表中数据得=2,=4.56,由于线性回归方程一定经过样本中心点（,）,即（2,4.56）,在回归直线方程y=bx+a中,代入点（2,4.56）得a=-b=4.56-0.95×
2=2.66.
10名同学在高一和高二的数学成绩如下表:
71
72
68
67
75
79
77
62
其中x为高一数学成绩,y为高二数学成绩.
（1）y与x是否具有相关关系;
（2）如果y与x具有相关关系,求回归直线方程.
（1）由已知表格中的数据,利用计算器进行计算得=71,=72.3,xiyi=51467,=50520,=52541.
则r=
=≈0.78.
即认为x与y之间具有线性相关关系.
（2）y与x具有线性相关关系,设回归直线方程为y=a+bx,
则b==≈1.22,
a=-b=72.3-1.22×
71=-14.32,
所以y关于x的回归直线方程为y=1.22x-14.32.
1.对相关系数r,下列说法正确的是（ ）.
A.r越大,两变量的线性相关程度越大
B.r越小,两变量的线性相关程度越大
C.|r|越大,两变量的线性相关程度越大;
|r|越小,两变量的线性相关程度越小
D.|r|≤1,且|r|越接近1,两变量的线性相关程度越大;
|r|越接近0,两变量的线性相关程度越小
【解析】由两个变量的相关系数公式
r=可知,相关程度的强弱与|r|和1的接近程度有关,|r|越接近1,两变量的线性相关程度越大,|r|越接近0,两变量的线性相关程度越小.
2.工人月工资y（元）关于劳动生产率x（千元）的回归方程为y=650+80x,下列说法正确的个数是（ ）.
①劳动生产率为1000元,工资约为730元;
②劳动生产率提高1000元,则工资约提高80元;
③劳动生产率提高1000元,则工资约提高730元;
④当月工资为810元,劳动生产率约为2000元.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】①②④正确,注意单位的一致性,故选C.
【答案】C
3.若预报体重y（kg）和身高x（cm）之间的线性回归方程为y=0.849x-85.712,如果要找到体重为41.638kg的人, （填“一定”或“不一定”）在身高为150cm的人群中.
【解析】体重不仅受身高的影响,还受其他因素的影响.
【答案】不一定
4.某个体服装店经营某种服装,一周内获纯利润y（元）与该周每天销售这种服装的件数x之间的一组数据如下:
66
69
81
89
90
已知=280,=45309,xiyi=3487.
（1）求,;
（2）一周内获纯利润y与该周每天销售件数x之间是否线性相关?
如果线性相关,求出回归直线方程.
（1）=（3+4+5+6+7+8+9）=6,
=（66+69+73+81+89+90+91）≈79.86.
（2）根据已知=280,=45309,xiyi=3487,
得相关系数r=≈0.973.
所以纯利润y与每天销售件数x之间具有显著的线性相关关系.
利用已知数据可求得回归直线方程为y=4.746x+51.386.
（2013年·
湖南卷）四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:
①y与x负相关且y=2.347x-6.423;
②y与x负相关且y=-3.476x+5.648;
③y与x正相关且y=5.437x+8.493;
④y与x正相关且y=-4.326x-4.578.
其中一定不正确的结论的序号是（ ）.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【解析】由正相关、负相关的性质可知在①中,斜率为2.347>
0,不可能负相关;
在④中,斜率为-4.326<
0,不可能正相关,故①④一定不正确.选D.
1.下列两个变量之间的关系是相关关系的是（ ）.
A.圆的面积与半径
B.球的体积与半径
C.角度与它的正弦值
D.一个考生的数学成绩与物理成绩
【解析】由题意知A表示圆的面积与半径之间的关系S=πr2;
B表示球的体积与半径之间的关系V=πr2;
C表示角度与它的正弦值y=sinα,以上所说的都是确定的函数关系,相关关系不是确定性的关系,故选D.
2.在对两个变量x,y进行线性回归分析时有下列步骤:
①对所求出的回归方程作出解释;
②收集数据（xi,yi）,其中i=1,2,…,n;
③求线性回归方程;
④求相关系数;
⑤根据所搜集的数据绘制散点图.如果根据可靠性要求能够作出变量x,y具有线性相关结论,那么在下列操作顺序中正确的是（ ）.
A.①②⑤③④ B.③②④⑤①
C.②④③①⑤D.②⑤④③①
【解析】根据线性回归分析思想可知,两个变量x,y进行线性回归分析时,应先收集数据（xi,yi）,然后绘制散点图,再求相关系数和线性回归方程,最后对所求的回归方程作出解释,因此选D.
3.如图所示有5组数据,去掉 后,剩下的4组数据的线性相关性更强.
【解析】根据散点图判定两变量的线性相关性,样本数据点越集中在某一直线附近,这两变量的线性相关性越强,显然去掉D（3,10）后,其余各点更能集中在某一直线附近,即线性相关性更强.
【答案】D（3,10）
4.一个工厂在某年里每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间由如下一组数据:
1.08
1.12
1.19
1.28
1.36
1.48
1.59
1.68
1.80
1.87
1.98
2.07
2.25
2.37
2.40
2.55
2.64
2.75
2.92
3.03
3.14
3.26
3.36
3.50
（1）画出散点图;
（2）检验相关系数r的显著性水平;
（3）求月总成本y与月产量x之间的回归直线方程.
11
12
2.43
2.654
2.856
3.264
3.590
4.07
4.643
5.090
5.652
6.096
6.653
7.245
=,=,=29.808,=99.2081,
xiyi=54.243
（1）画出散点图,如图所示.
（2）r=
=
≈0.99,
这说明每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间存在显著的线性相关关系.
（3）设回归直线方程y=bx+a,
利用
计算a,b,得b≈1.215,a=-b≈0.974,
即回归直线方程为y=1.215x+0.974.
5.设一个回归方程为y=3-5x,当变量x增加一个单位时（ ）.
A.y平均增加3个单位B.y平均减小5个单位
C.y平均增加5个单位D.y平均减小3个单位
【解析】-5是斜率的估计值,说明x每增加一个单位,y平均减少5个单位.
6.对于一组具有线性相关关系的数据（x1,y1）,（x2,y2）,…,（xn,yn）,其回归方程的截距为（ ）.
A.a=y+bxB.a=+b
C.a=y-bxD.a=-b
【解析】回归直线方程中的截距即为a,由公式=b+a得a=-b,故选D.
7.许多因素都会影响贫穷,教育也许是其中之一,在研究这两个因素的关系时收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比（x）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比（y）的数据,建立的回归直线方程为y=0.8x+4.6,则成年人受过9年或更少教育的百分比（x）和收入低于官方的贫困线的人数占本州人数的百分比（y）之间的相关系数 .（填“大于0”或“小于0”）
【解析】一个地区受过9年或更少教育的百分比每增加1%,收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右.
【答案】大于0
8.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料:
使用年限x
维修费用y
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知y对x呈线性相关关系.试求:
（1）线性回归方程y=bx+a的回归系数a,b;
（2）估计使用年限为10年时的维修费用.
（1）制表如下:
合计
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
112.3
16
36
=4,=5,=90,xiyi=112.3
于是b===1.23,a=-b=5-1.23×
4=0.08.
（2）由
（1）知回归直线方程为y=1.23x+0.08,当x=10时,y=1.23×
10+0.08=12.3+0.08=12.38,即估计使用10年时的维修费用是12.38万元.
9.若y与x之间的一组数据如下:
则拟合这5对数据的回归直线一定经过的点是 .
【解析】根据回归直线y=bx+a一定过样本中心点（,）,且==2,==4,知点（2,4）一定在回归直线上.
【答案】
（2,4）
10.某工业部门进行一项研究,分析该部门的产量与生产费用之间的关系,从这个工业部门内随机抽选了10个企业作样本,有如下资料:
产量x（千件）
费用y（千元）
150
42
140
48
160
55
170
162
88
185
165
120
190
完成下列要求:
（1）计算x与y的相关系数;
（2）这两个变量之间是否线性相关?
若线性相关,求回归直线方程y=bx+a.
【解析】
1600
22500
6000
1764
19600
5880
2304
25600
7680
3025
28900
9350
4225
9750
6241
26244
12798
7744
34225
16280
27225
16500
14400
36100
22800
25900
777
1657
70903
277119
132938
==77.7,==165.7,=70903,=277119,xiyi=132938
r=≈0.808.
即x与y的相关系数r≈0.808.
（2）因为r较接近1,所以x与y之间具有很强的线性相关关系.
则b=≈0.398,a=165.7-×
77.7b≈134.8,所以回归直线方程为y=0.398x+134.8.
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