椭圆问题中最值得关注的基本题型Word格式.docx

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例3　已知椭圆＋y2＝1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.

点评　当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用“点差法”来求解.

变式训练3　（2015·

扬州模拟）已知椭圆＋＝1（a>

0）的一个顶点为B（0,4），离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点.

（1）若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长.

（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.

高考题型精练

1.（2015·

课标全国Ⅰ改编）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：

y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则AB＝______.

2.（2014·

大纲全国改编）已知椭圆C：

0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4，则C的方程为____________.

3.（2014·

福建改编）设P，Q分别为圆x2＋（y－6）2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________.

4.若椭圆和双曲线具有相同的焦点F1，F2，离心率分别为e1，e2，P是两曲线的一个公共点，且满足PF1⊥PF2，则＋的值为________.

5.椭圆C：

0）的两个焦点为F1，F2，M为椭圆上一点，且·

的最大值的取值范围是[c2,2c2]，其中c是椭圆的半焦距，则椭圆的离心率取值范围是______________.

6.（2014·

辽宁）已知椭圆C：

＋＝1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则AN＋BN＝________.

7.（2014·

江西）过点M（1,1）作斜率为－的直线与椭圆C：

0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________.

8.（2014·

安徽）设F1，F2分别是椭圆E：

x2＋＝1（0<

b<

1）的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若AF1＝3F1B，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________________.

9.（2014·

江苏）

如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1（a>

0）的左，右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.

（1）若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；

（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.

10.（2015·

重庆）如图，

椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且PQ⊥PF1.

（1）若PF1＝2＋，PF2＝2－，求椭圆的标准方程；

（2）若PF1＝PQ，求椭圆的离心率e.

11.（2015·

陕西）已知椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c,0），（0，b）的直线的距离为c.

（1）求椭圆E的离心率；

（2）如图，AB是圆M：

（x＋2）2＋（y－1）2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程.

12.（2015·

泰州模拟）已知椭圆G：

0）的离心率为，右焦点为（2，0）.斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（－3,2）.

（1）求椭圆G的方程；

（2）求△PAB的面积.

答案精析

第29练　椭圆问题中最值得关注的基本题型

常考题型典例剖析

例1　解　设P点坐标为（x0，y0）.由题意知a＝2，

∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.

所求椭圆方程为＋＝1.

∴－2≤x0≤2，－≤y0≤.

又F（－1,0），A（2,0），＝（－1－x0，－y0），

＝（2－x0，－y0），

∴·

＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝（x0－2）2.

当x0＝2时，·

取得最小值0，

当x0＝－2时，·

取得最大值4.

变式训练1　解　

（1）设F（c,0），由条件知，＝，得c＝.

又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.

故E的方程为＋y2＝1.

（2）当l⊥x轴时不合题意，

故设l：

y＝kx－2，P（x1，y1），Q（x2，y2），

将y＝kx－2代入＋y2＝1得

（1＋4k2）x2－16kx＋12＝0.

当Δ＝16（4k2－3）>

0，即k2>

时，

x1,2＝.

从而PQ＝|x1－x2|＝.

又点O到直线PQ的距离d＝，

所以△OPQ的面积S△OPQ＝·

d·

PQ＝.

设＝t，则t>

0，S△OPQ＝＝.

因为t＋≥4，当且仅当t＝2，

即k＝±

时等号成立，

且满足Δ>

0，

所以，当△OPQ的面积最大时l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.

例2　解　

（1）由题意知2a＝4，则a＝2，

又＝，a2－c2＝b2，

可得b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

（2）由

（1）知椭圆E的方程为＋＝1.

（ⅰ）设P（x0，y0），＝λ，由题意知Q（－λx0，－λy0）.

因为＋y＝1，

又＋＝1，即＝1，

所以λ＝2，即＝2.

（ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）.

将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，

可得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－16＝0，

由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，①

则有x1＋x2＝－，x1x2＝.

所以|x1－x2|＝.

因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为（0，m），

所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|

＝＝

＝2.

设＝t，

将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，

可得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②

由①②可知0＜t≤1，

因此S＝2＝2，

故S≤2，

当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2.

由（ⅰ）知，△ABQ面积为3S，

所以△ABQ面积的最大值为6.

变式训练2　

（1）解　由已知可得

解得a2＝6，b2＝2，

所以椭圆C的标准方程是＋＝1.

（2）①证明　由

（1）可得F的坐标是（－2,0），

设T点的坐标为（－3，m），

则直线TF的斜率kTF＝＝－m.

当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，

直线PQ的方程是x＝my－2.

当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式.

设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得

消去x，得（m2＋3）y2－4my－2＝0，

其判别式Δ＝16m2＋8（m2＋3）>

所以y1＋y2＝，y1y2＝，

x1＋x2＝m（y1＋y2）－4＝.

所以PQ的中点M的坐标为（，）.

所以直线OM的斜率kOM＝－.

又直线OT的斜率kOT＝－，

所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.

②解　由①可得TF＝，

PQ＝

＝

＝.

所以＝

＝≥＝.

当且仅当m2＋1＝，即m＝±

1时，等号成立，此时取得最小值.

所以当最小时，T点的坐标是（－3,1）或（－3，－1）.

例3　解　设弦的两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），

MN的中点为R（x，y），

则x＋2y＝2，x＋2y＝2，

两式相减并整理可得，

＝－＝－，①

将＝2代入式①，

得所求的轨迹方程为x＋4y＝0（－<

x<

）.

变式训练3　解　

（1）由已知得b＝4，且＝，即＝，

∴＝，解得a2＝20，

∴椭圆的方程为＋＝1.

则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，

消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝，

∴所求弦长MN＝|x2－x1|＝.

（2）

如图，椭圆右焦点F的坐标为（2,0），

设线段MN的中点为Q（x0，y0），

由三角形重心的性质知

＝2，

又B（0,4），∴（2，－4）＝2（x0－2，y0），

故得x0＝3，y0＝－2，

即得Q的坐标为（3，－2）.

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，

且＋＝1，＋＝1，

以上两式相减得＋＝0，

∴kMN＝＝－·

＝－×

＝，

故直线MN的方程为y＋2＝（x－3），

即6x－5y－28＝0.

常考题型精练

1.6

解析　因为e＝＝，y2＝8x的焦点为（2,0），所以c＝2，a＝4，故椭圆方程为＋＝1，将x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±

3，所以AB＝6.

2.＋＝1

解析　由e＝得＝.①

又△AF1B的周长为4，

由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，

代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，

故C的方程为＋＝1.

3.6

解析　如图所示，设以（0,6）为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋（y－6）2＝r2（r>

0），与椭圆方程＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.

令Δ＝122－4×

9（r2－46）＝0，解得r2＝50，即r＝5.

由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋＝6.

4.2

解析　由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上.由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2m，①

由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，②

又PF1⊥PF2，

∴∠F1PF2＝90°

，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，③

①式的平方加上②式的平方得

|PF1|2＋|PF2|2＝2a2＋2m2，④

由③④得a2＋m2＝2c2，即＋＝2，

∴＋＝2.

5.

解析　设M（x0，y0），则＝（－c－x0，－y0），＝（c－x0，－y0），∴·

＝x－c2＋y＝x－c2＋b2＝x－c2＋b2＝x－c2＋b2.∵x0∈[－a，a]，∴当x0＝±

a时，·

有最大值b2，

∴c2≤b2≤2c2，∴c2≤a2－c2≤2c2，∴2c2≤a2≤3c2，

∴≤≤，∴e∈.

6.12

解析　椭圆＋＝1中，a＝3.

如图，设MN的中点为D，则DF1＋DF2＝2a＝6.

∵D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，

∴BN＝2DF2，

AN＝2DF1，

∴AN＋BN＝2（DF1＋DF2）＝12.

7.

解析　设A（x1，y1），B（x2，y2），则

∴＋＝0，

∴＝－·

.

∵＝－，

x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，

∴－＝－，

∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，

∴a2＝2（a2－c2），∴a2＝2c2，∴＝.

8.x2＋y2＝1

解析　设点B的坐标为（x0，y0）.

∵x2＋＝1，

∴F1（－，0），F2（，0）.

∵AF2⊥x轴，∴A（，b2）.

∵AF1＝3F1B，∴＝3，

∴（－2，－b2）＝3（x0＋，y0）.

∴x0＝－，y0＝－.

∴点B的坐标为.

将B代入x2＋＝1，

得b2＝.

∴椭圆E的方程为x2＋y2＝1.

9.解　设椭圆的焦距为2c，则F1（－c,0），F2（c,0）.

（1）因为B（0，b），所以BF2＝＝a.

又BF2＝，故a＝.因为点C在椭圆上，

所以＋＝1，解得b2＝1.

故所求椭圆的方程为＋y2＝1.

（2）因为B（0，b），F2（c,0）在直线AB上，

所以直线AB的方程为＋＝1.

解方程组得

所以点A的坐标为.

又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，

可得点C的坐标为.

因为直线F1C的斜率为＝，

直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，

所以·

＝－1.

又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.

故e2＝，因此e＝.

10.解　

（1）由椭圆的定义，得

2a＝PF1＋PF2＝（2＋）＋（2－）＝4，故a＝2.

设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，

因此2c＝F1F2＝

＝＝2，

即c＝，从而b＝＝1.

故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

（2）方法一　如图，设点P（x0，y0）在椭圆上，且PF1⊥PF2，则

＋＝1，x＋y＝c2，

求得x0＝±

，

y0＝±

由PF1＝PQ＞PF2得x0＞0，从而

PF＝2＋.

＝2（a2－b2）＋2a＝（a＋）2.

由椭圆的定义，PF1＋PF2＝2a，QF1＋QF2＝2a，从而由PF1＝PQ＝PF2＋QF2，有QF1＝4a－2PF1.

又由PF1⊥PQ，PF1＝PQ，知QF1＝PF1，

因此，（2＋）PF1＝4a，

即（2＋）（a＋）＝4a，

于是（2＋）（1＋）＝4，解得

e＝＝－.

方法二　如图，由椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a，

QF1＋QF2＝2a.

从而由PF1＝PQ＝PF2＋QF2，

有QF1＝4a－2PF1.

因此，4a－2PF1＝PF1，得PF1＝2（2－）a，

从而PF2＝2a－PF1＝2a－2（2－）a＝2（－1）a.

由PF1⊥PF2，知PF＋PF＝F1F＝（2c）2，因此

e＝＝

＝

＝＝－.

11.解　

（1）过点（c,0），（0，b）的直线方程为bx＋cy－bc＝0，

则原点O到该直线的距离d＝＝，

由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.

（2）方法一　由

（1）知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2.①

依题意，圆心M（－2,1）是线段AB的中点，且AB＝.

易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k（x＋2）＋1，代入①得（1＋4k2）x2＋8k（2k＋1）x＋4（2k＋1）2－4b2＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，

x1x2＝，

由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝，

从而x1x2＝8－2b2.

于是AB＝|x1－x2|

＝＝，

由AB＝，得＝，解得b2＝3，

故椭圆E的方程为＋＝1.

方法二　由

（1）知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2，②

依题意，点A，B关于圆心M（－2,1）对称，且AB＝，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2，两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，

得－4（x1－x2）＋8（y1－y2）＝0，

易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，

所以AB的斜率kAB＝＝，

因此直线AB的方程为y＝（x＋2）＋1，

代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0，

所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2，

＝＝.

12.解　

（1）由已知得c＝2，＝，解得a＝2.

又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为＋＝1.

（2）设直线l的方程为y＝x＋m，

由消去y得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①

设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1<

x2），AB中点为E（x0，y0），

则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.

因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，

所以PE的斜率k＝＝－1，解得m＝2.

此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0，

所以y1＝－1，y2＝2.所以AB＝3，

又点P（－3,2）到直线AB：

x－y＋2＝0的距离

d＝＝.

所以△PAB的面积S＝·

AB·

d＝.