完整版全国卷理科数学真题及答案.docx
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完整版全国卷理科数学真题及答案
•选择题（共12小题）
1.设z=+2i，则|z|=（）
1+1
则|z|=1.
故选：
C.
2.已知集合A={x|x2-x-2>0}，则？
rA=（）
A.{x|-1vxv2}B.{x|-1wxw2}C.{xX<-1}U{x|x>2}D.{xX<-1}U
{x|x>2}
【解答】解：
集合A={x|x2-x-2>0},
可得A={x|x<-1或x>2},
则：
？
ra={x|—1wxW2}.
故选：
B.
3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解
该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比
例，得到如下饼图:
則也收入
建设前经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是（）
A.新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【解答】解：
设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a.
A项，种植收入37%x2a-60%a=14%a>0,
第1页（共16页）
故建设后，种植收入增加，故A项错误.
B项，建设后，其他收入为5%x2a=10%a,
建设前，其他收入为4%a,
故10%a-4%a=2.5>2,
故B项正确.
C项，建设后，养殖收入为30%x2a=60%a,
建设前，养殖收入为30%a,
故60%a-30%a=2,
故C项正确.
D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为
（30%+28%）x2a=58%x2a,
经济收入为2a,
故（58%x2a）-2a=58%>50%,
故D项正确.
因为是选择不正确的一项，
故选：
A.
4.记Sn为等差数列｛an｝的前n项和.若3S3=S2+S4,ai=2,贝Ua5=（）
A.-12B.-10C.10D.12
【解答】解：
•••Sn为等差数列｛an｝的前n项和，3S3=S2+S4,a1=2,
.3X2、4X3
•••沁S]r-d）=a1+a1+d+4a1+^^d,
把a1=2,代入得d=-3
•••a5=2+4X（-3）=-10.
故选：
B.
32
5.设函数f（x）=x+（a-1）x+ax.若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0,0）
处的切线方程为（）
A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x
【解答】解：
函数f（x）=x3+（a-1）x2+ax，若f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x）,
-x3+（a-1）x2-ax=-（x3+（a-1）x+ax）=-x3_（a-1）x2-ax.
所以：
（a-1）/=—（a-1）x2
可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f'（x）=3x2+1,曲线y=f（x）在点（0,0）处的切线的斜率为：
1,则曲线y=f（x）在点（0,0）处的切线方程为：
y=x.故选：
D.
【解答】解：
在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点,
故选：
A.
7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应
点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为
B，则在此圆柱侧面上，从M到N的
路径中，最短路径的长度为（
C.
直观图以及侧面展开图如图:
圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中,
最短路径的长度:
&设抛物线C:
y2=4x的焦点为F，过点（-2,0）且斜率为2的直线与C交于M,N两
3
点，则丨F'?
N=（）
A.5B.6C.7D.8
【解答】解：
抛物线C:
y2=4x的焦点为F（1,0），过点（-2,0）且斜率为2的直线
|3
为：
3y=2x+4,
联立直线与抛物线C:
y2=4x,消去x可得：
y2-6y+8=0,
解得yi=2,y2=4，不妨M（1,2）,N（4,4）,丽二2），丽=（百4）•
则山？
；；」=（0,2）?
（3,4）=8.
故选：
D.
9.已知函数f（x）=|°,g（x）=f（x）+x+a.若g（x）存在2个零点，贝Ua
x>0
的取值范围是（）
A.[-1,0）B.[0,+s）C.[-1,+s）D.[1,+s）
【解答】解：
由g（x）=0得f（x）=-x-a,
作出函数f（x）和y=-x-a的图象如图：
当直线y=-x-a的截距-a<1，即a>-1时，两个函数的图象都有2个交点，
即函数g（x）存在2个零点，
故实数a的取值范围是[-1,+s）,
故选：
C.
此图由三个半圆构成，三个半圆
10•如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.
的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区
域记为I，黑色部分记为n,其余部分记为川.
在整个图形中随机取一点，此点取自I,
n,川的概率分别记为pi,p2,p3,则（
AC=2r3,
.Si=Sn,
.Pi=P2,
故选：
A.
F为C的右焦点，过F的直线与C的两条
渐近线的交点分别为M,N.若厶OMN为直角三角形，则|MN|=（）
C.2.■:
I
y=■,,渐近线的夹角为:
【解答】解：
双曲线C:
虽_-y2=1的渐近线方程为:
3
60°,不妨设过F（2,0）的直线为：
y=.上-_,
12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面
a所成的角都相等，则a截此正方体所
得截面面积的最大值为（）
成的角都相等，如图：
所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时,
a截此正方体所
得截面面积的最大，
此时正六边形的边长_',
a截此正方体所得截面最大值为:
6孚爭普.
\-2y-2<0
13•若x,y满足约束条件
x-y+l>0，则z=3x+2y的最大值为y【解答】解：
作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=3x+2y得y=—-—x+__z,
22
平移直线y=-.-x+--z,
22
由图象知当直线y=-3x+丄z经过点A（2,0）时，直线的截距最大，此时z最大,
\2\\2\
最大值为z=3X2=6,
故答案为：
6
14.记Sn为数列｛an｝的前n项和.若Sn=2an+1，则Ss=-63【解答】解：
Si为数列｛an｝的前n项和，Sn=2an+1,①
当n=1时，ai=2ai+1，解得ai=-1,
当n>2时，Sn-1=2an-1+1,②，
由①-②可得an=2an-2an-1,
--an=2an-1,
二｛an｝是以-1为首项，以2为公比的等比数列,
=-63,
故答案为：
-63
15•从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有16种.（用数字填写答案）
【解答】解：
方法一：
直接法，1女2男，有C21C42=12,2女1男，有C22C』=4根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，
方法二，间接法：
C63-C43=20-4=16种,
故答案为：
16
16.已知函数
f（x）=2sinx+sin2x,则f（x）的最小值是
【解答】解：
由题意可得T=2n是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期,
故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在［0,2n）上的值域,
先来求该函数在［0,2n）上的极值点,
求导数可得
f'（x）=2cosx+2cos2x
=2cosx+2
2
（2cosx-1）=2（2cosx-1）（cosx+1）,
令f'（x）
=0可解得cosx=丄或cosx=-1,
2
可得此时x=-l
三•解答题（共5小题）
17.在平面四边形ABCD中，/ADC=90°,/A=45°,AB=2,BD=5.
（1）求cos/ADB;
（2）若DC=2.役求BC.
【解答】解：
（1）v/ADC=90°,/A=45°,AB=2,BD=5.
•••由正弦定理得：
——些——=一，即1——=——》^,
sielZADBsinZ：
AsinZ^AEBsin45
•sin/ADB=二亠」=」
55
•/AB折起，使点C到达点P的位置，且PF丄BF.
（1）证明：
平面PEF丄平面ABFD;
【解答】
（1）证明：
由题意，点E、F分别是AD、BC的中点,
111
则扯tAD，B卩号BC，
由于四边形ABCD为正方形，所以EF丄BC.
由于PF丄BF,EFAPF=F,贝UBF丄平面PEF.
又因为BF?
平面ABFD，所以：
平面PEF丄平面ABFD.
（2）在平面PEF中，过P作PH丄EF于点H，连接DH,
由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH丄EF,
贝UPH丄面ABFD，故PH丄DH.
在三棱锥P-DEF中，可以利用等体积法求PH,因为DE//BF且PF丄BF,
所以PF丄DE,
又因为△PDFCDF,
所以/FPD=ZFCD=90
所以PF丄PD,
由于DEAPD=D，贝UPF丄平面PDE,
因为BFIIDA且BF丄面PEF,
所以DA丄面PEF,
所以DE丄EP.
设正方形边长为2a,贝UPD=2a,DE=a
PD
（2）设0为坐标原点，证明：
/OMA=ZOMB.
【解答】解：
（1）c='=1,
二F（1,0）,
•/I与x轴垂直,
x=1,
2
证明：
（2）当I与x轴重合时，/OMA=ZOMB=0°,
当I与x轴垂直时，0M为AB的垂直平分线，•/OMA=ZOMB,
当I与x轴不重合也不垂直时，设I的方程为y=k（x-1）,kz0,
A（X1,y1）,B（X2,y2）,则X1V近,X2V.|,
从而kMA+kMB=0,
故MA,MB的倾斜角互补,
•••/OMA=ZOMB,
综上/OMA=ZOMB.
20.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，
如检验出不合格品，则更换为合格品•检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根
据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验•设每件产品为不合格品的概率都为p（0
vpv1）,且各件产品是否为不合格品相互独立.
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p）,求f（
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