小升初奥数22讲第21讲长方体Word文件下载.docx

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9×

7-96=660立方厘米.

典例212盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须是以全等的面对接，最后得到的包装形状是一个长方体.已知磁带盒的长为11厘米、宽为7厘米、高为2厘米，按“规则方式”打包得到的长方体的表面积最小值是多少平方厘米?

解要想使打包得到的长方体表面积最小，就应使对接的全等的面的面积尽可能地大，因此首先两盒之间应以11×

7的面对接，先组装成两个相同的长方体，其体积为11×

7×

（2×

6）=11×

12.由于12×

7>

11×

7，因此这个组成的长方体对接面是12×

7的两个面（如图），其表面积为

图21-1（12×

14+11×

12）×

2=908平有厘米.

典例3从一个棱长10厘米的立方体木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2

厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少?

解分四种情形.

（1）如图21-2，沿一条棱挖，表面积损失了两侧的两个小正方形（2×

2=8平方厘米，所以剩余部分的表面积为600-8=592平方厘米；

（2）如图21-3，沿某一侧上平行于边挖，表面积增加了（2×

10-2×

2=32平方厘米，总表面积为600+32=632平方厘米；

（3）如图21-4，在某一侧面上斜着挖，表面增加了4个面，其面积为（2×

2+2×

10）×

2=48平方厘米，总表面积为600+48=648平方厘米；

（4）如图21-5，挖通两个对面，表面积增加了4×

10）-2×

2）=72平方

厘米，总表面积为600+72=672平方厘米.

典例4有大、中、小三个正方体水池，它们的边长分别是6米、3米、2米.将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米.如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面会升高多少厘米?

解沉浸在中水池的碎石的体积是3×

3×

0.06=0.54立方米，

沉浸在小水池的碎石的体积是2×

0.04=0.16立方米，

这两堆碎石的体积共有0.54+0.16=0.70立方米.

大水池底面积是6×

6=36平方米，所以大水池的水面升高了

（厘米）.

典例5用一块长18分米、宽12分米的铁片，制作成一个深1分米的无盖铁箱.如在此铁片四个角上切掉4块面积为1平方分米的正方形铁片，再将剩余的四边折起焊上便可制成，但这样做浪费了4小块铁片，如果不浪费材料，将原铁片切割成几部分，焊接成深1分米的无盖铁箱，应如何切制?

请画线在给定的长方形图21-6上.能否不浪费材料，切割后分别焊成4分米深及6分米深的无盖铁箱?

如能，请将线分别画在图21-7及图21-8上，

解能.切制方法见下面的图21-6、图21-7、图21-8.

说明图中实线表示切刻线，虚线表示折线.

典例6有一个长方体，打算将其切成两个长方体，如果切面与前、后面平行，则切后两长方体表面积增加174平方厘米；

如果切面与左、右面平行，则表而积增加138平方厘米;

如果切面与上、下面平行，则表面积增加1334平方厘米.问：

这个长方体的体积是多少立方厘米?

解如图21-9，a×

b=174÷

2=87=3×

29，

a×

c=138÷

2=69=3×

23，

b×

c=1334÷

2=667=29×

所以长方体的体积为a×

c=3×

29×

23=2001立方厘米.

典例7请在图21-10的五个方框中画出5种不同的正方体的展开图，如图21-11所示（经过平移或旋转后能够重合的，算作一种）.

解正方体的展开图共有11种：

中间四连方，两边各有一个，有6种;

中间三连方，两边各有一、两个，有3种：

其他情况，有2种：

水平测试ABC

A卷

一、填空题

1.一个长方体的棱长之和是48厘米，长5厘米，宽4厘米，它的表面积是，体积是.

2.在棱长为10厘米的正方体玻璃缸里装满水，然后将这些水倒入长20厘米，宽1分米的长方体玻璃缸内，这时水深厘米.

3.一个正方体和一个长方体拼在一起成了一个新的长方体，新长方体比原来的长方体的表面积增加60平方厘米，这个正方体的表面积是.

4.一个长方体正好分割成3个体积相等的正方体，已知一个正方体的表面积是3平方厘米，

原来长方体的表面积是平方厘米.

5.从一根长方体木料上截下一段体积48立方分米的长方体木块，剩下的部分的是一个棱长4分米的正方体木块，原来这根木料的表面积是平方分米.

6.一个长方体的铁皮水箱管量是400升，底面是边长为8分米的正方形，水箱深分米.

7.一个长方体表面积是14平方厘米，正好可以分成三个正方体，这个长方体的体积是

立方厘米

.

8.用棱长1厘米的正方体小木块拼成一个楼长3厘米正方体，共需要块.

9.把正方体的棱长扩大到3倍后，体积增加倍.

10.长方体与正方体的底面积相等，长方体的高是正方体高的2倍，正方体的体积是长方体的.

二、解答题

11.图21-15是由棱长2厘米的小正方体叠成的，它的表面积与体积各是多少?

12.有10个表面涂色的长方体，每一个的长、宽、高分

别是2、3、4个单位，把它们全部截成棱长为1个单位的正方体，其中：

（1）两面有色的共有多少个?

（2）至少一面有色的共有多少个?

B卷

1.一个底面是正方形的长方体，它的侧面展开后正好是一个边长为4分米的正方形，这个长方体的体积是立方分米.

2.有一个正方体，如果它的高增加3厘米成为长方体，这个长方体的表面积就比原来的正方体增加96平方厘米.原来这个正方体的体积是立方厘米.

3.一个长方体水箱长1分米，宽4.5厘米，水中浸没一个钢球，水深为8.2厘米.如果把钢球从水中取出，水面就下降0.2厘米，这个钢球重克（1立方厘米钢重7.8克）.

4.两个完全相同的长方体，长10厘米，宽5厘米，高2厘米，拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积比原来两个长方体的表面积减少平方厘米.

5.长方体表面可以有个面是正方形

6.把三个棱长都是2分米的立方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是平方分米.

7.一个正方体，表面全部涂上红色，切成27个棱长是1厘米的小正方体、一面带红色的小正方体有个，两面带红色的小正方体有个，三面带红色的小正方体有个.

8.一个正方体的棱长扩大为原来的3倍后，体积是162立方厘米，原正方体的体积是

立方厘米.

9.某养鱼池长8米，宽5米，深1米，平时池中水面比地面低1分米，池内有两个边长是1分米的正方形出水口.如果平均每秒钟的排水速度是2米，排完这池水需要分钟

10.一个长方体纸盒的平面展开图如图21-16，这个纸盒子的体积是立方厘米.

11.如图21-17所示，正方体六个表面都涂有颜色，按图示切成一个个小正方体，问：

（1）三面涂色的小正方体有几个?

（2）两面涂色的小正方体有几个?

（3）一面涂色的小正方体有几个?

（4）不涂色的小正方体有几个?

12.把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体?

13.图21-18是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面.请在右边的展开图21-19中画出截面APQC的四条边.

C卷

1.棱长4分米的立方体，在它的各面正中位置挖边长1分米的正方形洞，全部挖通后得到的几何体，它的表面积是平方分米，体积是立方分米.

2.一个长方体，长8厘米，宽5厘米，高4厘米.将它切成两个长方体后，表面积之和最大是

平方厘米.

3.在长60厘米、宽40厘米、高30厘米的长方体水箱中注入15厘米深的水，把一个棱长10厘米的立方体铁块沉入水中，水箱内的水面将升高到厘米.

4.用一根长96厘米的铁丝做成一个正方体框架（不考虑损耗），如果在框架上糊上纸，至少要用平方厘米纸才能糊好这个正方体.

5.一个长方体的高缩短3.8厘米后就成为一个正方体，但表面积比原来减少45.6平方厘米，

原来这个长方体的表面积是平方厘米.

6.将一根长为3.6米的长方体木料锯成三段，这样三段长方体的表面积总和比原来长方体的表面积增加了36平方分米.这根木料原来的体积是立方分米.

7.在长为15厘米、宽为16厘米的长方体水箱中有10厘米深的水.现在往水箱里放入一石块，这时水平面离箱底14厘米，石块的体积至少是立方厘米

8.一个长方体的长是12厘米，宽10厘米，高也是整厘米数.在它的表面涂满颜色

后，截成棱长是1厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有448个.原来长

方体的体积与表面积为

9.图21-20是由棱长为3厘米的小正方体搭起来的积木，算一算这个积木的体积是立方厘米，表面积是平方厘米.

10.有10个表面涂了红漆的正方体，它们的棱长分别是1、3、5、7、…、19.若把它们全部锯成棱长为1的小正方体，所有这些小正方体中，共有个至少是一面有红漆的正方体。

11.图21-21是一个长27厘米、宽8厘米、高8厘米的长方体，现将它分为四部分，然后将这四部分重新组拼，能重组为一个棱长为12厘米的正方体，请问：

应怎么分?

12.用一个平面去截一个正方体，截面可以是几边形?

13.有27块大小相同的正方体，其中三个面是绿色，并且这三个面相交于一个顶点的有8块；

只有两个相邻而是绿色的有12块；

只有一个面是绿色的有6块；

所有面都不是绿色的有1块.问：

这27块小正方体能否拼成一个表面都是绿色的大正方体?

14.长方体的12条棱中，不相交的两条棱称为一对，则所有不相交的棱有多少对?

15.如图21-22，用若干块单位正方体积木堆成一个立体图形，小明正确地画出了这个立体图形的正视图、俯视图和侧视图.问：

所堆的立体图形的体积至少是

多少?