193 梯形2Word格式文档下载.docx
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是轴对称图形．
下面请同学们来做一做（老师播放课件，学生进行画图、讨论、总结）在下图中的每个三角形中画一条线段．
（1）怎样画才能得到一个梯形？
（2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形呢？
（1）因为梯形的上、下两底平行且不相等，所以只要在三角形的两边上各找一点，使这两点的连线平行于第三边即可得到梯形．
（2）第
（2）（3）个三角形中能够得到一个等腰梯形．在等腰三角形的两腰上分别找一点，使这两点的连线平行于等腰三角形的底边即可得到一个等腰梯形．
说得太好了，这节课，我们就来探讨等腰梯形的判定．
二、讲授新课
受刚才做图的启发：
只有等腰三角形才能得到等腰梯形．请同学们考虑下面的问题．
议一议：
“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”这个命题成立吗？
能否加以证明．
学生活动：
（通过想一想，试一试，议一议，做一做的小组活动，初步懂得添加辅助线的一般方法，学会将梯形问题转化为平行四边形、矩形、等腰三角形、直角三角形来处理）
证法一：
如下图延长BA、CD相交于点E．
∵∠B=∠C，（三角形中等角对等边）
∴BE=CE．
∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥BC．
∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C．
∴∠EAD=∠EDA．（三角形中等角对等边）
∴AE=DE．
∴BE-AE=CE-DE．
即AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
证法二：
如下图将CD平移到AE位置，此时四边形AECD是平行四边形．
则AE∥CD且AE=CD，
∴∠AEB=∠C．
又∵∠B=∠C，
∴∠B=∠AEB．
∴AB=AE．（三角形等角对等边）
∴AB=CD，
因此梯形ABCD是等腰梯形．
证法三：
如下图
作梯形ABCD的高AE、DF分别交BC于E、F．
∵梯形上、下底平行，即AD∥BC，
∴AE=DF．（夹在平行线间的垂线段相等）
又∵∠AEB=∠DFC=90°
，∠B=∠C，
∴△ABE≌△DCF．
∴AB=DC．
通过活动，同学们的说理能力已有了很大提高．由此我们也得到等腰梯形的两种判定方法．
（1）两腰相等的梯形是等腰梯形．
（2）同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
应用举例：
【例2】如下图，梯形ABCD中，BC∥AD，DE∥AB．DE=DC，∠A=100°
，求梯形其他三个内角的度数．
师生共析：
（1）梯形上、下底平行，可以由同旁内角互补求得∠B=80°
．
（2）可想办法证明梯形ABCD是等腰梯形，从而解决∠C和∠ADC的问题．
解：
∵BC∥AD，DE∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB=DE．
又DE=DC，
梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠C=∠B=180°
-∠A=80°
，
∠D=∠A=100°
补充题：
画一个等腰梯形，使它的上、下底分别为4cm和10cm，高为3cm．
分析：
假设等腰梯形ABCD已画出，如下图，作出高AE和DF，可证得Rt△ABE≌Rt△DCF，所以EF=AD=4cm，BE=CF=
（BC-EF）=3cm，AE=3cm．于是可先画出Rt△ABE，进而确定点C，过A作AD∥BC，使AD=4cm，可确定D，连结DC，即可确定等腰梯形ABCD．
画法：
（1）画Rt△ABE使∠AEB=90°
，AE=3cm，BE=3cm．
（2）延长BE到C使BC=10cm．
（3）过A作AM∥BC，且使BC、AM在AB的同旁，在AM上截取AD=10cm．
（4）连结DC，则梯形ABCD就是所要画的等腰梯形．（如下图）
（还可以启发学生思考、讨论，得多种画法）
如左下图，平行移动一腰AB到DE，可在Rt△CDF中算出腰CD的长，CD=
=5（cm），因此可先画出等腰△DCE，从而画出等腰梯形ABCD；
又如右下图利用等腰梯形轴对称图形，且对称轴是连结上、下两底中点的线段所在的直线．因此可以先画直角梯形ABEF，使EF=3cm，EF⊥BE，BE=6cm，AF=2cm，AF∥BE．然后利用轴对称性画出等腰梯形ABCD．
三、随堂练习
1．课本P119练习3、4．
（1）参看例1：
证法三．
（2）画法：
参看补充题．
腰长=
=5（cm）．
周长=2×
5+5+11=26（cm）．
面积=
（5+11）×
4=32（cm2）．
2．补充练习．
（1）等腰梯形与等腰三角形有哪些联系？
答：
延长一个等腰梯形的两腰，可以得到一个等腰三角形；
过一个等腰三角形腰上一点作底边的平行线，可以得到一个等腰梯形．
（2）有两个内角是70°
的梯形一定是等腰梯形吗？
为什么？
是等腰梯形，理由是：
这两个70°
的内角的位置仅有三种可能：
①相邻：
顶点是同一条腰的两个端点．
②相邻：
顶点是同一底边的两个端点．
③相对．
当顶点是一条腰的两个端点时，两个角应该是互补的；
两角相对时，可以推得此时的四边形是平行四边形．因此，这两个70°
的内角只能是同一底上的两个内角，因此这个梯形是等腰梯形．
四、课时小结
（与学生共同梳理，总结梯形的判定方法及添加辅助线解决有关梯形问题常用方法．同时演示课件，让学生加深理解并记忆）．
等腰梯形的判定方法：
（1）两腰相等（定义）
（2）同底上的两个角相等（判定定理）
梯形的画法：
画出符合条件的梯形，通常先要“分析”，借助辅助线找出可以画出的部分图形（等腰三角形，直角三角形等）
梯形中常用的四种辅助线的添法（如下图）：
五、课后作业
习题19．33、4、5、7、8、10．
板书设计
19．3梯形
（二）
1．等腰梯形的判定方法
2．应用举例
例2
画法一、画法二、画法三．
3．随堂练习
4．小结
5．作业习题19．33、4、5、7、8、10．
活动与探究
如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°
，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A点开始沿AD边以1cm/s的速度向D运动，动点Q从C点开始沿CB边以3cm/s的速度向B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为ts，t分别为何值时，四边形PQCD是平行四边形，等腰梯形？
过程：
这是一个探索性的题，题中涉及了平行四边形的判定，等腰梯形的性质及判定，让学生在充分理解题的情况下，进行探讨．
结果：
解：
∵AD∥BC，
∴只要PD=CQ，四边形PQCD是平行四边形．
这时，根据题意有
24-t=3t，解得t=6（s）．
同理可知：
只要PQ=CD，PD≠CQ四边形PQCD是等腰梯形．
过P、D分别作BC的垂线，交BC于点E、F，则四边形PEFD是矩形，△PQE≌△DCF．
∴PD=EF，CF=QE=2．
∴24-t=3t-2×
2，解得t=7（s）．
因此，t为6时，四边形PQCD是平行四边形，t为7时，四边形PQCD是等腰梯形．
习题详解
习题19．3
1．解：
FC=
（BC-AD）=
（4-2）=1，
DC=
四边形ADEB是平行四边形
AD=DE=6，AD=BE=5．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD=6．
EC=BC-BE=8-5=3．
∴△CDE的周长为6+6+3=15．
3．证明：
∵四边形ABCD是梯形．
∴AD∥BC，
∴∠A与∠B互补，
∵∠A与∠C互补，
∴∠B=∠C．
4．解：
S横截面=
×
20×
1.5+
（2.65+1.5）×
（40-20）+2.65（60-40）+（2.65+1.9）（80-60）+
（100-80）×
1.9=174（m）．
∠C+∠AEC=180°
四边形AECD是平行四边形
AD=EC，AE=CD．
△ABE的周长=梯形ABCD的周长-2AD=29-2×
5=19．
6．证明：
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD∥BC，∠B=∠DCB．
∴∠CDE=∠DCB．
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE．
∴∠B=∠E．
7．证明：
AD∥BC
△ABM≌△DCM
AB=CD
梯形ABCD是等腰梯形．
8．6个等腰梯形．
9．解：
EF=
（AD+BC），
平移CD到AM，交EF于点N，
则四边形ADCM是平行四边形，且N是MA的中点．
∴EN是△ABM的中位线．
∴EN=
BM，
EF=
BM+FN=
BM+
（AD+NC）
=
（AD+BC）．
Rt△ODA≌Rt△OEC
∠DAO=∠ECO，DO=EO
∠ADE=∠CED，
同理可证∠DAC=∠ECA．
又∵四边形内角和为360°
∠DAC+∠ADE=180°
∴DE∥AC．
又∵AD
EC．
∴四边形ADEC是梯形．
又AD=EC，
∴四边形ACED是等腰梯形．
梯形的高h=
备课资料
一、求梯形的面积
1．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，BC=9，∠B=60°
，求AB的长和梯形ABCD的面积．
2．已知在梯形ABCD中AD∥BC，BC=BD，AD=AB=4cm，∠A=120°
，求梯形ABCD的面积．
1．答案：
AB=4S梯形ABCD=14
BD=4
∴BC=BD=4
（cm）．
∵四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，
∴∠B=180°
-∠A=60°
又AB=4．
∴梯形的高h=2
∴S梯形ABCD=
（AD+BC）·
h=
（4+4
）·
2
=12+4
（cm）2．
二、梯形中常见的辅助线做法
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