眼科病床的合理安排论文Word文档格式.docx
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（2-4）根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天病床安排方案9
（2-5）对分配模型的验证：
10
（3）第三问的解答11
（3-1）模型描述11
（3-1-1）确定正在住院病人的出院时间11
（3-1-2）.计算前来就诊病人的泊松流分布情况13
（3-1-3）.预测门诊病人的入院时间15
（3-2）模型计算15
（3-2-1）符号说明15
（3-2-2）假设16
（3-2-3）模型计算16
（4）第四问的解答17
（4-1）问题假设17
（4-2）模型分析17
（4-3）检验手术时间是否调整：
19
（5-1）符号说明20
（5-2）模型的建立及求解20
（5-3）模型的进一步分析和评价21
（5-4）解决方案21
六模型的总结和评价21
七参考文献22
八附录22
一问题重述
医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。
该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。
该医院眼科手术主要分四大类：
白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。
白内障手术较简单，而且没有急症。
目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。
做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。
如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。
其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。
这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。
由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。
该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。
我们要解决以下五个问题：
问题一：
分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
问题二：
试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。
并对模型利用问题一中的指标体系作出评价。
问题三：
根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
问题四：
若该住院部周六、周日不安排手术，重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?
问题五：
有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。
二问题分析
本题是一个眼科医院病床安排问题，涉及概率统计理论，排队论等领域，我们要提出方案评价体系，病床安排方案，以及对方案的最优化处理。
对于第一问，我们首先要分析眼科医院目前病床安排所采用的方案（FCFS方案）的不足之处。
然后我们从病人损失角度提出了平均逗留时间以及从医院角度提出了病床利用率的问题，然后我们综合分析各个指标的重要关系，得到一个主要的影响因素作为我们的评价体系的标准。
对于第二问，我们从第一问所分析的指标重要关系出发，建立一个以病人损失角度所代表的平均逗留时间的函数模型，得到的是一个可以表示病人入院优先级的函数模型，然后根据此函数对正在挂号的病人进行打分排序，确定入院的优先级，实现对病床的最优安排。
对于第三问，需要根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
我们根据各类病人的住院时间的离散分布规律预测当前住院病人出院时间的安排表，并且利用我们第二问所提出的病人床位安排模型将等待住院病人进行安排，在安排过程中，考虑了利用病人门诊的泊松流分布，预测出后续各类病人的人数分布，综合起来进行床位的安排，可以定出病人门诊时距离入院大致需要多少时间。
在第四问中，在周六周日不做手术的条件下，我们同样利用问题二中的分配模型，分配当前的病人。
这里手术时间是否要调整，我们的理解是是否要调整白内障手术的时间，即周一周三发生改变。
为了使组合情况尽量简单，我们需要做出假设：
手术时间还是两天，时间间隔为一天。
得到的组合为周二、周四和周三、周五，利用问题二的分配模型，分配当前病人。
得到3种情况下的分配方式，利用两种方法评价：
（1）问题一中的评级体系，比较排名前8的病例的平均等待时间，越短越好
（2）比较排名前8的病例的标准分的平均值，越大越好。
从而确定是否要调整手术时间。
对于第五问，依据题意，要使病人在系统内的平均逗留时间最短，关键是缩短病人的挂号等待时间，因为留院观察时间是一种随机分布，只要考察其期望就可以了。
现考虑最优情况，即病人挂号门诊后就能入院，只要有床位就行，如果这种情况能够满足，那就是最好的模型了。
三模型假设
1.假设急症只考虑外伤，其他疾病如视网膜疾病、青光眼假设都不当做急症处理。
2.假设该医院的手术条件充足，救治时不考虑手术条件的限制。
3.假设医院的病人来源平稳，没有群体性疾病瘟疫的发生，同时医院不考虑季节性疾病发生造成的个别病症集中发生。
四名词解释
1、术前准备时间：
从入院到进行第一次手术的时间
2、术后恢复时间：
手术（白内障（双眼）的是第二次手术）结束后到出院的时间
3、等待时间：
来诊到第一次手术之间的时间
4、标准分：
按照优先级判别模型给病人所打的分，用来对某一天所有等待入院病人的排名，标准分越大，排名越高，即越容易先安排入院。
五模型的建立和求解
（1）第一问的解答
这是一个门诊病人排队住院问题，具体住院流程参见下面的示意图：
图1-1
（1-1）符号说明
表1-1
平均等待时间
Tr
平均等待入院时间
Tr1
平均术前准备时间
Tr2
当前队伍长度
Ls
综合评价指数
E
对于这样一个排队论问题需要我们建立对病床安排方法的合理的评价体系。
我们考虑到如下的四种因素会影响到我们评判病床安排模型的优劣：
1.平均等待入院时间（从挂号到入院的时间）
2.平均术前准备时间（从入院到手术的时间）
3.平均等待时间：
Tr=Tr1+Tr2
4.等待的队伍长度
同时，从医院效率角度来说：
病床使用率，病床周转次数，病床平均工作日
我们分析题目附录所给的数据，对四种病例的平均等待时间，平均手术时间和等待队伍长度进行了对比，其中平均等待和准备时间是对349个已经治疗好的病人的统计，等待队伍长度是挂号未入院的人数。
结果如下：
表1-2
平均等待入院时间（天）
平均术前准备时间（天）
等待队伍长度（人）
12.67
2.33
21
12.512
3.617
29
1
视网膜疾病
12.545
2.376
36
青光眼
12.256
2.41
15
从表中数据可以看出，平均等待入院时间远远大于平均手术准备时间，因此前者是主要因素，后者是次要因素。
考虑各种病例的人数比例，将这几种病例的平均等待时间综合在一起我们得到一个综合评价指数E，由于外伤病人的等待入院时间恒定为一天，因此我们在平均等待时间的计算时，没有将外伤的等待时间计算在内。
即E=
=
=12.528
从下图中我们可以看出每日病人数的变化趋势中，白内障、青光眼、视网膜疾病的变化趋势和总人数的变化趋势一致。
因此实际的分析计算综合指数时，可以用某种病例如白内障来近似的判断综合指数的高低情况。
图1-2
从实际生活角度，进行结果合理性分析：
在本题中，实际眼科治疗中规定，外伤病人的等待时间固定为一天。
根据日常生活，我们知道，看病问题中，仅仅等待时间是顾客关心的，且病人的满意度也是由等待排队的时间决定的，即从挂号到入院的时间。
住院时间并不是病人首先考虑的因素。
病人最希望尽快就诊，解除病痛。
而住院时间（即服务时间）所带来的消费被列为了次要因素。
等待队伍越长，说明医院的服务率也越低。
经过分析，我们得到平均等待时间是影响评判病床安排模型优劣的主要因素。
图1-3
（2）第二问的解答
优先级判别模型
（2-1）模型假设
1、白内障病人的术前准备时间只需1天，青光眼和视网膜疾病的术前准备时间只需2天
2、外伤不参与排名，但是其优先级是最高的
3、病床一直是住满的，外伤患者来诊当天不能入院，第二天必须入院。
（2-2）模型描述
设已知第二天出院的病人数为M，目前一直已经挂号的病人数目为N。
第i个（
）病人从挂号到目前为止的等待时间为
，第i个（
）病人从入院观察到接受手术治疗的时间为
，我们要建立一个对任意一个病人判断其入院优先级的函数。
这个函数值越大，则优先级越高，优先入院治疗。
这样，第二天就可以根据这个优先级判断函数，得到目前挂号病人的优先级，然后从高到底安排M个病人入院治疗即可。
我们的优先级判断体系如下：
1根据题目要求，外伤急症病人必须立即安排住院，因此，外伤急症病人的优先级最高。
2我们的安排方法要求病人从挂号到等待的时间尽可能的短并且入院之后等待手术的时间也尽可能的短。
因此我们建立函数如下：
，其中
、
（
，
且
）表示每个病人从挂号到等待时间占总病人的比例和每个病人从入院到手术之前准备时间占总病人的比例这两者之间的比重关系。
其值可调，可以调整得到一个合理的结果。
（2-3）模型求解
在进行
和
的求解时，当前时间是星期几决定这两个值的计算。
在目标函数
，我们取
=0.5，
=0.5，我们利用该算法使用EXCEL对附录中已有的住院记录的病人进行安排，进行安排方案合理性的检验。
下面论证取
=0.5的合理性：
利用题目附录给出的目前正在挂号等待住院的病人分布情况，我们利用
进行排名，让
由0-1之间变化，看排名随
的变化情况，见下图：
图2-1
从图中四种不同病人的排名随
的变化情况，可以看出，取
=0.5-0.8之间比较合理。
这样四种病例的排名就比较的接近。
再观察另外一组图形见下图：
图2-2
从图中可以看出，我们改变所观察的样本对象，得到的规律仍然一样，
=0.5-0.8之间都是比较合理的。
因此，本题我们取
=0.5是合理的。
（2-4）根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天病床安排方案
现在列出病的类型在不同的入院时间对应的星期时和术前准备时间的关系。
表2-1
星期
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
2
5
4
3
6
其他
注：
“其他”包括青光眼和视网膜疾病
按照
=0.5排列之后得到的排名结果如下：
预测得到第二天（2008-9-12）的出院人数为9，因此在这里只列出排名前20的人，完整结果见附录1。
表2-2
排名
序号
类型
标准值
1.526793
8
1.454954
10
12
9
13
1.383115
16
17
14
23
24
由于2008-9-11日有一个外伤病例（97号），因此需要占用一张病床，所以剩余的8张空床分配的病例是：
2，3，4，5，8，10，11，12
我们利用这种分配方式，将2008-7-25至2008-7-31日这7天的病例（不含外伤）重新分配，得到的分配结果如下表所示：
具体见附录2。
表2-3
门诊时间
入院时间
第一次手术时间
第二次手术时间
出院时间
2008-7-13
2008-7-26
2008-7-28
/
2008-7-31
2008-7-14
2008-7-30
18
2008-7-15
2008-7-27
…
46
2008-7-18
2008-8-2
2008-8-9
52
2008-8-12
57
2008-8-13
58
2008-7-19
2008-8-14
由该数据可以求得不同类型病人等待时间的平均值如下表所示：
（注：
此处等待时间表示门诊时间至第一次手术时间的值）
表2-4
总体
平均值/天
11.69
12.9
15.86
15.63
14.02
而由原来这段时间的分配情况求得的平均值如下表所示：
表2-5
14.5
16.89
14.23
14.58
15.06
利用EXCEL作出原方案和新方案的各种病例的平均等待时间的对比图形：
图2-3
从图中易见，新方案的病人等待时间明显缩短了。
比较上述结果可以得到如下结论：
我们所建立模型的分配方法得到的白内障、白内障（双眼）等待时间的平均值比FCFS模式下的小，而青光眼、视网膜疾病的平均等待时间比FCFS的大，但是总体的等待时间比FCFS小。
从总体情况来看，说明我们的模型在问题一的评价体系下比FCFS模型好。
而对于青光眼和视网膜疾病的情况，是由于只重新分配了一周的情况，因此这种分配方式下的系统并没有完全流通起来。
我们得到的病床安排模型的不足之处在于：
排名的计算方法太过复杂，因此这里只重新分配了一周的情况。
（3）第三问的解答
（3-1）模型描述
（3-1-1）确定正在住院病人的出院时间
为了根据当前住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
我们需要知道各类住院病人的分布情况和住院时间的统计规律以及各类病人来医院的随时间的分布情况。
我们用EXCEL画出各类病人住院时间的频率分布直方图:
图3-1
图3-2
由白内障（包括双眼情况）的频率分布直方图可以看出，病人住院时间呈现离散分布。
主要集中在三天左右，因此我们可以直接使用它的数学期望来表示其分布规律。
即白内障是术后观察时间是三天，白内障（双眼）的术后观察时间是三天。
图3-3
外伤的分布情况是相对比较随机的，因为外伤的情况很大程度上是无法预知的，其发生随机性非常大，因此我们把它按离散分布情况来处理。
图3-4
图3-5
对于视网膜和青光眼的分布情况，我们经过SPSS检验，其和泊松分布、负指数分布、正态分布的显著度都低于0.5。
并且为了统计进行离散分布的处理，我们把所有的病症全部按照离散分布的情形进行处理。
这样我们就可以得到各种病症住院观察时间的规律情况。
这样我们就可以对目前已知的正在住院的病人情况，进行预测其何时出院的概率。
在具体处理过程中，我们考虑到，病人已经住院超过一定天数，当日之前出院的概率为零。
因此我们采取的方法是将没有发生的事件，即后面可能的出院时间按比例求概率。
目前已知具体如下：
表3-1
日期
9-12
9-13
9-14
9-15
9-16
9-17
9-18
出院人数
（3-1-2）.计算前来就诊病人的泊松流分布情况
首先我们验证[1][2]来看病的患者的分布情况是符合泊松分布。
利用SPSS软件，进行验证得到的结果如下：
表3-2
One-SampleKolmogorov-SmirnovTest
白内障双眼
视网膜
合计
N
61
PoissonParametera,,b
Mean
1.64
2.18
1.03
2.79
1.05
8.69
MostExtremeDifferences
Absolute
.047
.050
.037
.062
.046
.044
Positive
.029
.024
Negative
-.047
-.015
-.028
-.046
-.029
Kolmogorov-SmirnovZ
.364
.394
.291
.482
.356
.342
Asymp.Sig.（2-tailed）
.999
.998
1.000
.974
a.TestdistributionisPoisson.
b.Calculatedfromdata.
从表中我们可以看出，泊松分布的显著性接近1，而显著性大于0.05就可以判定符合该种分布规律。
因此我们证明了各类病症病人前来就诊的人数分布规律符合泊松分布。
同时，我们还进行了泊松分布图形的拟合[3]，（以白内障病人为例）过程如下：
61天内白内障（双眼）病人到来统计表
表3-3
序号i
总和
每天到来病人数Ki
发生频数Ni
发生频率fi
0.098
0.311
0．213
0.197
0.049
0.016
1.00
1、求得每天病人的到达率
2、假定白内障（双眼）病人的到达符合均值为
的泊松分布，计算得到下表
表3-4（
=2.18）
每天到来病人数Ki
fi
0.113
0.246
0.269
0.195
0.106
0.046
0.017
0.007
3、画出fi，Pi的坐标图如下所示
图3-6
从图像可以看出，f和P分布拟合较好，可以认为白内障（双眼）病人的分布符合泊松分布类型。
其它病症的病人分布同样符合泊松分布，这里就不一一举例了。
当然也可以直接从SPSS软件的处理结果中得出相同的结论。
（3-1-3）.预测门诊病人的入院时间
已知现在正在住院的病人情况，包括各类病人的入住和手术时间、以及病人的数量，和正在挂号的病人情况，各类的病人数目和挂号时间。
预测过程为：
根据已知的所有住院病人情况进行出院时间的预测，结合泊松分布进行未来前来就诊的病人的分布情况，和目前挂号的病人分布情况，带入第二问已经有的病床安排模型，即可进行目前所有挂号病人的病床安排，进而得到门诊病人的住院时间。
（3-2）模型计算
（3-2-1）符号说明
说明
（1）
表3-5
i
所代表类别
白内障（双）
说明
（2）
表3-6
当前住院病人的逗留时间
Ti
当前住院病人的数目
Xi
正在挂号等待住院的
升级会员 