弧长公式高中数学知识点讲解含答案.docx
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弧长公式高中数学知识点讲解含答案
弧长公式（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共8小题）
1．（2017秋•通州区期末）已知半径为2的圆上，有一条弧的长是2，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．（2016秋•东城区期末）若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（ ）
23
A．B．C．6D．7
32
3．（2014春•昌平区校级月考）设圆O的半径为2，点P为圆周上给定一点，如图所示，放置边长为2的正方形ABCD
（实线所示，正方形的顶点A与点P重合，点B在圆周上）．现将正方形ABCD沿圆周按顺时针方向连续滚动，
当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为
APA（）
2
A．4B．（3）C．（122）D．（22）
2
4．（2013秋•昌平区期末）在平面直角坐标系中，已知单位圆的圆心与坐标原点重合，且与x轴正半轴交于点A，圆
P31）
¶AP（）上一点（，，则劣弧的弧长为
22
25
A．B．C．D．
6336
5．（2012•顺义区一模）已知映射:
（,）（,）（0,0）．设点，，点是线段上一动
fPmnPmnm…n…A（1,3）B（3,1）MAB
点，:
，当点在线段上从点开始运动到点时，点的对应点所经过的路线长度为
fMMMABABMM（）
A．B．C．D．
643
2
6．（2012•北京模拟）已知圆O的半径为100cm，A，B是圆周上的两点，且弧AB的长为112cm，那么AOB的度
数约是（ ）（精确到1）
A．64B．68C．86D．110
7．（2005•北京）从原点向圆x2y212y270作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为（ ）
A．B．2C．4D．6
8．（2018秋•东城区期末）在单位圆中，200的圆心角所对的弧长为（ ）
第1页（共9页）
9
10
A．B．C．9D．10
109
二．填空题（共7小题）
9．（2019•浦东新区三模）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方
形的顶点A与点P重合）沿圆周逆时针滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为 ．
10．（2015秋•通州区校级期末）已知扇形所在圆的半径为8，弧长为12，则扇形的圆心角为弧度 ．
11．（2015春•朝阳区期末）已知半径为3的扇形的弧长为4，则这个扇形的圆心角的弧度数为 ．
12．（2014秋•昌平区期末）某蒸汽机上的飞轮直径为20cm，每分钟按顺时针方向旋转180转，则飞轮每秒钟转过
的弧度数是 ；轮周上的一点每秒钟经过的弧长为 ．
13．（2014秋•大兴区期中）已知扇形的中心角的角度是120，半径为2，则扇形的弧长是 ．
14．（2013秋•宣武区校级月考）半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角是 ．
1
15．（2008•怀柔区模拟）某饭店顶层旋转餐厅的半径为20米，该餐厅每分钟旋转弧度，则餐厅边缘一点1小时
12
所转过的弧长是 米．
第2页（共9页）
弧长公式（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2017秋•通州区期末）已知半径为2的圆上，有一条弧的长是2，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据弧度数与弧长和半径的关系，计算即可．
l2
【解答】解：
半径为2的圆中，弧的长是2，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为1．
r2
故选：
D．
【点评】本题考查了弧度数与弧长、半径之间的关系应用问题，是基础题．
2．（2016秋•东城区期末）若一个扇形的弧长是3，半径是2，则该扇形的圆心角为（ ）
23
A．B．C．6D．7
32
【分析】由已知利用弧长公式即可计算得解．
【解答】解：
设扇形的弧长为，圆心角大小为，半径为，
l（rad）r
由已知可得：
3，，
lr2
则由，可得：
．
lrl3
r2
故选：
．
B
【点评】本题主要考查了弧长公式的应用，属于基础题．
3．（2014春•昌平区校级月考）设圆O的半径为2，点P为圆周上给定一点，如图所示，放置边长为2的正方形ABCD
（实线所示，正方形的顶点A与点P重合，点B在圆周上）．现将正方形ABCD沿圆周按顺时针方向连续滚动，
当点首次回到点的位置时，点所走过的路径的长度为
APA（）
2
A．4B．（3）C．（122）D．（22）
2
【分析】根据题意可画出正方形旋转的过程中顶点落在圆上的次序，由图易得当点首次回到点的位置时，正方
AP
形滚动了3圈共12次，计算每次的路程，求和即可．
【解答】解：
圆的半径，正方形的边长，
QOr2ABCDa2
第3页（共9页）
以正方形的边为弦时所对的圆心角为，
3
正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，
当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，
设第i次滚动，点A的路程为A，
i
则A1|AB|，
63
22
A|AC|
2
66
，
A3|DA|
63
，
A40
，
A3（AAAA）（22）
点所走过的路径的长度为．
1234
故选：
D．
【点评】本题考查了圆的性质的灵活应用，和弧长公式的应用．以及分析问题数据和处理数据的能力，属于中档
题．
4．（2013秋•昌平区期末）在平面直角坐标系中，已知单位圆的圆心与坐标原点重合，且与x轴正半轴交于点A，圆
3¶AP（）上一点（，，则劣弧的弧长为
P1）
22
25
A．B．C．D．
6336
3
【分析】设直线OP的倾斜角为．可得ktan．即可解得．再利用弧长公式即可得出．
OP
3
【解答】解：
设直线OP的倾斜角为．
第4页（共9页）
1
3
2tan
k
OP
33
2
．
5
6
．
¶AP5
劣弧的弧长r．
6
故选：
D．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率直角的关系、弧长公式，属于基础题．
5．（2012•顺义区一模）已知映射:
（,）（,）（0,0）．设点，，点是线段上一动
fPmnPmnm…n…A（1,3）B（3,1）MAB
点，f:
MM，当点M在线段AB上从点A开始运动到点B时，点M的对应点M所经过的路线长度为（ ）
A．B．C．D．
643
2
【分析】根据所给的两个点的坐标写出直线的方程，设出两个点的坐标，根据所给的映射的对应法则得到两个点坐
标之间的关系，代入直线的方程求出一个圆的方程，得到轨迹是一个圆弧，求出弧长．
【解答】解：
由题意知的方程为：
，
ABxy4
设M（x,y），则M（x2，y2），从而有x2y24，
按照映射:
（,）（,）（0,0），可得，，，，，，
fPmnPmnm…n…A（13）A（13）B（31）B（31）
tanAOX3
，，
AOX
3
tanBOX
3
3
，BOX，
6
AOBAOXBOX
6
，
点的对应点所经过的路线长度为弧长．
MM2
63
故选：
C．
【点评】本题以定义的一种新的变换为入手点，主要考查直线与圆的有关知识，解答本题的关键是弄懂定义的本
第5页（共9页）
质．
6．（2012•北京模拟）已知圆O的半径为100cm，A，B是圆周上的两点，且弧AB的长为112cm，那么AOB的度
数约是 （精确到
（）1）
A．64B．68C．86D．110
【分析】直接利用已知条件通过弧长公式求出圆心角的弧度数，然后求出角度即可．
【解答】解：
因为圆O的半径为100cm，A，B是圆周上的两点，且弧AB的长为112cm，
所以AOB的弧度为：
，
112
100
所以AOB的度数约：
．
112（180）64
100
故选：
．
A
【点评】本题考查弧度与角度的互化，扇形的弧长公式的应用，考查计算能力．
7．（2005•北京）从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线问的劣弧长为
x2y212y270（）
A．B．2C．4D．6
【分析】先求出圆心和半径，结合图形求出两切线的夹角为，进而求出劣弧对的圆心角，从而求出劣弧长．
2
【解答】解：
圆即，
x2y212y270x2（y6）29
设两切线的夹角为2，
31
则有sin，30，260，
62
劣弧对的圆心角是120，
120
劣弧长为，
232
360
故选：
B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直角三角形中的边角关系，求弧长的方法．
第6页（共9页）
8．（2018秋•东城区期末）在单位圆中，200的圆心角所对的弧长为（ ）
9
10
A．B．C．9D．10
109
nR
【分析】根据弧长公式，l，代入计算即可．
180
nR20010
【解答】解：
l，
1801809
故选：
B．
【点评】本题主要考查了弧长公式，属于基础题．
二．填空题（共7小题）
9．（
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