141充分条件和必要条件新教材人教A版高中数学必修第一册导学案Word文件下载.docx

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思考:

下列“若p,则q”形式的命题中,哪些是真命题?

哪些是假命题?

(1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形;

(2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等;

(3)若x2-4x+3=0,则x=1;

(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a∥b

【新课讲解】

1.基本概念

命题真假

“若p,则q”为真命题

“若p,则q”为假命题

推出关系

p⇒q

p

q

条件关系

p是q的充分条件

q是p的必要条件

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

探究1.“对角线相等的平行四边形是矩形”

(1)这个命题是真命题吗?

(2)将命题改写为“若p,则q”的形式.

(3)“平行四边形的对角线相等”是“四边形为矩形”的什么条件.

练习1下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件,哪些命题中的p是q的必要条件

(1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形;

(2)若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似;

(3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直;

(4)若x2=1,则x=1;

(5)若a=b,则ac=bc;

(6)若x,y为无理数,则xy为无理数.

练习2将下面的定理写成“若p,则q”的形式,并用充分条件、必要条件的语言表述:

(1)两个全等三角形的对应高相等;

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形

注:

对充分、必要条件的理解

(1)对充分条件的理解:

所谓充分,就是说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.

ii)充分条件不是唯一的,如x>

2,x>

3都是x>

0的充分条件.

(2)对必要条件的理解:

所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少的,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立”.

ii)必要条件不是唯一的,如x>

0,x>

5等都是x>

9的必要条件.

(3)用充分、必要条件的语言表述定理的一般步骤

第一步:

分析定理的条件和结论;

第二步:

将定理写成“若p,则q”的形式;

第三步:

利用充分、必要条件的概念来表述定理.

探究2判断下列各题中p是q的充分条件吗?

p是q的必要条件吗?

(1)p:

x>

1,q:

x2>

1;

(2)p:

(a-2)(a-3)=0,q:

a=3;

(3)已知:

y=ax2+bx+c(a≠0),p:

Δ=b2-4ac>

0,q:

函数图象与x轴有交点

练习3.判断下列说法中,p是q的充分条件的是________.

“x=1”,q:

“x2-2x+1=0”;

(2)设a,b是实数,p:

“a+b>

0”,q:

“ab>

0”;

练习4.在下列各题中,q是p的必要条件的是________.

x-2=0;

q:

(x-2)(x-3)=0;

两个三角形相似;

两个三角形全等;

(3)p:

m<

-2;

方程x2-x-m=0无实根.

2充分,必要条件与集合的关系

从集合角度看充分、必要条件:

设命题p、q分别对应集合A、B,若A⊆B,则p是q的充分条件;

若B⊆A,则p是q的必要条件.

探究3 

(1)已知p:

关于x的不等式

<

x<

,q:

0<

3,若p是q的充分条件,求实数m的取值范围.

 

(2)已知集合A={y|y=x2-3x+1,x∈R},B={x|x+2m≥0};

命题p:

x∈A,命题q:

x∈B,并且q是p的必要条件,求实数m的取值范围.

练习5已知条件p:

x2+x-6=0,条件q:

mx+1=0(m≠0),且q是p的充分条件,求m的值.

【当堂检测】

1.对于任意的实数a,b,c,在下列命题中,真命题是(  )

A.“ac>

bc”是“a>

b”的充分条件B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件

C.“

”是“a<

b”的必要条件D.“a2<

b2”是“a<

b”的充分条件

2.设p:

实数x,y满足x>

1且y>

实数x,y满足x+y>

2,则p是q的()

A.充分条件B.必要条件

C.既是充分条件也是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件

3.条件p:

1-x<

0,条件q:

a,若q是p的必要条件,则a的取值范围是________.

4.设x,y∈R,那么“x>

y>

0”是“

>

1”的_______条件(填“充分”或“必要”).

5.记A={x|-3<

2},B={x|x>

a}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数a的取值范围为________.

6.已知p:

3x+m<

-1或x>

3,若p是q的一个充分条件,则m的取值范围是________.

7.已知p:

(x-3)(x+1)<

0,若-a<

x-1<

a(a>

0)是p的一个必要条件,求使a>

b恒成立的实数b的取值范围.

答案解析

【课前预习】

(4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a∥b真

2.探究1

(1)是

(2)若平行四边形的对角线相等,则四边形为矩形。

(3)充分条件

练习1

(1)p是q的充分条件

(2)p是q的必要条件

(3)p是q的充分条件

(4)p是q的必要条件

(5)p是q的充分条件

(6)既不充分也不必要条件

练习2

(1)若两个三角形全等,则他们的对应高相等

(2)若两个三角形等底等高,则这两个三角形全等

p是q的必要条件

探究2

(1)p是q的充分条件,p是q的不必要条件

(2)p是q的不充分条件,p是q的必要条件

(3)p是q的充分条件,p是q的不必要条件

练习3,p是q的充分条件的是_

(1)_.

练习4q是p的必要条件的是

(1)________.

探究3 

(1)m<

3

(2)m≥

练习5m=

或m=

1. B2.A3.a≥14.充分5.a≤-3

6.m≥-37.b≤2

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