上海高中复习数学初高中连接的知识盲点.docx
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上海高中复习数学初高中连接的知识盲点
数学概念总结
初、高中连接的知识盲点（九年级拓展）：
一元二次方程与二次函数：
一、一元二次根与系数：
1、一元二次方程根与系数关系式（韦达定理）：
如果一元二次方程的两个
复数根分别是：
，
注：
韦达定理适用于实数，也适用于虚数
2、图像与x轴两交点距离：
二、二次函数：
1、判定二次函数的开口方向：
a的情况
a<0
a>0
图像
抛物线的开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
顶点坐标
（）
单调性
当时，单调递增；
当时，单调递减
当时，单调递减；
当时，单调递增
最值
当时，；
无最小值
当时，；
无最大值
2、判定二次函数与x轴的交点：
零点
两个不相同的零点
两个相同的零点
无零点
图像
三、基本例题：
例1已知关于x的方程的两个实数根的平方和为6，求k的值
例2当m满足什么条件时，抛物线与x轴的公共点情况：
（1）有两个公共点；
（2）有且只有一个公共点（3）无公共点
圆的初步：
一、圆的切线：
1、圆的切线性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径
推论：
经过圆心且垂直于切线的直线必过切点
经过切点且垂直于切线的直线必过圆心
2、切线长定理：
圆外一点作圆的两条切线，切线长相等（如图1：
AP=BP）
3、从圆外一点作圆的两条切线，它们的夹角被这点与圆心的连线平分（如图1：
∠APO=∠BPO）
图1
4、三角形的内切圆：
一个与一个三角形的三边都相切的圆（如图2）
5、外切三角形：
一个圆与三角形各边都相切的三角形（如图2）
6、三角形的内心：
三角形内切圆的圆心（如图2）
7、若Rt三角形的三边边长为e、f、d（其中f是斜边），那么它的内切圆半径长：
=
（如图2）
图2
8、公切线：
和两个圆都相切的直线（如图3）
（1）外公切线：
两个圆在公切线的同旁（如图3.1）
（2）内公切线：
两个圆在公切线的两旁（如图3.2）
图3.1图3.2
（3）五种圆的公切线情况：
两圆位置关系
外公切线条数
内公切线条数
公切线条数
图像
外离
2
2
4
外切
2
1
3
相交
2
0
2
内切
0
1
1
内含
0
0
0
（4）公切线长：
两圆的一条公切线上两个切点的距离
9、五种圆的圆心距长的关系：
10、当（如图4）
图4
二、与圆有关的角：
1、圆心角：
顶点在圆心的角（如图5，∠AOB）
（1）圆心角所对的弧：
圆心角的两边所夹的弧（如图5，弧︵AB）
（2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；相等的弧所对的圆心角相等
图5
2、圆周角：
顶点在圆周上并且两边与圆相交的角（如图6）
（1）圆周角所对的弧：
圆周角的两边所夹的弧
（2）圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半（如图7，∠BOC=2∠BAC）
推论：
同弧或等弧所对的圆周角相等
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
半圆（直径）所对的圆周角是直角（如图8，∠BAC=90°）
90°的圆周角所对的弦是直径（如图8，∠BAC=90°）
图6图7图8
3、圆内角：
顶点位于圆内的角（如图9，∠BAC）
注：
圆心角是特殊的圆内角
图9
4、圆外角：
顶点在圆外，两边与圆相切或相交的角（如图10，∠P）
图10
5、弦切角：
顶点在圆上，一条边与圆相交，另一边与圆相切的角（如图11，∠ACP）
（1）弦切角所对的弧：
在圆上位于弦切角内部的那段弧（如图，弧︵AC）
（2）弦切角定理：
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
图11
三、与圆有关的比例线段：
1、相交弦定理：
圆的两条相交弦中，每条弦被交点分成两条线段的乘积相等（如图12，AP·PB=CP·PD）
图12
2、割线定理：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两条线段的积相等（如图13，PB·PA=PD·PC）
图13
3、切割弦定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段的比例中项（如图14，）
图14
4、圆幂定理：
1、2、3定理的统称
设圆O的半径长为R，点P与圆心O的距离为d，
（1）当点P在圆外时，从点P分别过圆心O的割线PBA和任意一条割线PDC，再做圆O的切线PT，T为切点，得：
（如图15）
图15
（2）当点P在圆内时，过点P分别作一条直径AB和任意一条弦CD，得：
CP·PD=AP·PB=（R+d）（R-d）=-（）（如图15）
图16
（3）当点P在圆上时，d=R，得：
=0
（4）设一个圆的半径长为R，一点P与圆心的距离为d，且dR
①如果过点P的一条直线与圆相交于C、D两点，那么：
PC·PD=
②如果过点P的一条直线与圆相切于点T时，那么：
（5）圆外切于点T，直线是它们的内公切线。
设圆的半径长分别为，点P是直线上任意一点，，则：
四、圆内接四边形：
1、圆的内接多边形：
一个多边形的所有顶点都在同一个圆上
2、多边形的外接圆：
一个多边形所有顶点都在圆上的外接圆（外接圆是唯一确定的）
3、圆内切四边形的性质定理：
圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角都等于它的内对角
4、圆内接四边形的判定定理：
对角互补的四边形内接于圆
5、如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形内接于圆
6、四点共圆：
平面上的四个点在同一圆上
五、基本例题：
例1如图，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，点O是斜边AB上一点，以O为圆心的圆O分别为AC、BC相切于点D、E，AC=2时，求圆C的半径
例2如图，AB是圆O的直径，BC是圆O的切点，切点为B，OC平行于弦AD，求证：
DC是圆O的切线
例3如图，已知点P在圆O外，PA、PB是圆O的两条切线，切点分别为A、B、∠APB=60°，圆O的半径为5，求OP、PA、AB、CO的长
例4如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求Rt△ABC内切圆的半径
例5如图，已知圆、圆外切于点P，AB是一条外公切线，A、B为切点，求：
（1）连接AP、BP，证明：
AP⊥BP；
（2）连接并延长交圆于点D。
过D引圆的切线，切点为C，证明：
CD=BD；（3）设圆、圆的半径分别为1、3，求阴影部分的面积
例6如图，圆、圆外切于A，BC是两圆的一条外公切线，B、C为切点，直线BC交的延长线于P。
设圆的半径为3r，圆的半径为r，则外公切线BC与连心线的夹角为30°
例7如图，以圆O的半径OA为直径作圆，圆的弦AB交交圆于点C，求证：
AC=BC
例8，如图，在Rt△AOB中，∠O=90°，OA=6，OB=8，以点O为圆心、OA为半径作圆交AB于C，求BC的长
例9如图，已知弦AD和CE相交于圆O内一点F，延长EC与过圆上点A的切线相交于点B，若AB=BF=FD，BC=1，CE=8，求AF的长
例10如图，在直角梯形ABCD中，AB、BC、CD分别与圆O相切于点E、F、G，且AB//CD，OB与EF相交于点M，OC与FG相交于点N，连接MN，求：
（1）证明：
；
（2）若OB=6，OC=8，若AD与圆O相切，此时四边形
例11如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB是圆O的弦，AD、BC分别与圆O相交于点，E、F，求证：
四边形CDEF内接于圆
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