届广东省深圳市南山区高三上学期期末考试理科数学.docx
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届广东省深圳市南山区高三上学期期末考试理科数学
南山区高三期末考试
理科数学01.08
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1、答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损.之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B铅笔填涂相应的信息点．
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效．
3、非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案、不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．
4、考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损、考试结束后，将答题卡交回．
5、考试不可以使用计算器．
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．
1、已知全集U=R，集合P={x|x2≤1}，那么∁UP=
A、（－∞，－1）B、（1，+∞）
C、（－1，1）D、（－∞，－1）∪（1，+∞）
2、计算：
A、2B、－2C、2iD、－2i
3、下列函数中是偶函数，且又在区间（－∞，0）上是增函数的是
A、y=x2B、y=x-2C、D、
4、下列ss中的假ss是
A、x∈R，x3<0B、“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件
C、∀x∈R，2x>0D、“x<2”是“|x|<2”的充分不必要条件
5、已知x，y满足，则z=2x－y的最大值是
A、B、C、D、2
6、已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且A=60o，c=3b，
则的值为
A、B、C、D、
7、点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，－1）的距离与到直线x=－1的距离和的最小值是
A、B、C、2D、
8、若对任意a，b∈A，均有a+b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，下面正确的是
A、集合{－4，－2，0，2，4}为闭集合
B、集合{n|n=3k，k∈Z}为闭集合
C、若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
D、闭集合A至少有两个元素
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
（一）必做题：
（11～13题）：
9、已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n，（n∈N*），则an=______.
10、如果执行右图程序框图，那么输出的S=______.
11、ss“若空间两条直线a，b分别垂直平面α，则a∥b”，学生小夏这样证明：
设a，b与平面α相交于A，B，连结A、B，
∵a⊥α，b⊥α，ABα，……①
∴a⊥AB，b⊥AB，……②
∴a∥b.……③
这里的证明有两个推理，即①②和②③，老师评改认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是_________.
12、已知，，且，则x的值为______.
13、双曲线（a>0，b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，以过F1作倾斜角为30o的直线交双曲线的右支与M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为__________.
（二）选做题：
（14～15题，考生只能从中选做一题）：
14、（坐标系与参数方程选做题）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________________.
15、（几何证明选讲选做题）
如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，
则__________.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤.
16、（本小题满分12分）
已知函数（x∈R）的最小正周期为T=6π，且f（2π）=2.
（1）求f（x）的表达式；
（2）设，，，求cos（α－β）的值.
17、（本小题满分12分）
有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.
优秀
非优秀
总计
甲班
10
乙班
30
合计
105
已知在全部105人中抽到随机抽取一人为优秀的概率为.
（1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：
把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚的骰子，出现的点数之和为被抽取人序号.试求抽到6或10号的概率.
18、（本小题满分14分）
如图所示，在所有棱长都为2a的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D点为棱AB的中点.
（1）求四棱锥C1-ADB1A1的体积；
（2）求证：
AC1∥平面CDB1；
（3）求异面直线AC1与DB1所成的角的余弦值.
19、（本小题满分14分）
已知椭圆C：
（a>b>0）的离心率为，其左焦点为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点D（1，0），直线l：
y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，设线段AB的中点为M，若DM⊥AB，试求k的取值范围.
20、（本小题满分14分）
已知函数（x>0），设f（x）在点（n，f（n）（n∈N*）处的切线在y轴上的截距为bn，数列{an}满足a1=0.5，an+1=f（an）（n∈N*）.
（1）求a2，a3的值；
（2）证明数列是等差数列并求出数列{an}的通项公式；
（3）在数列中，仅当n=5时，取得最小值，求λ的取值范围.
21、（本小题满分14分）
已知函数f（x）=ln（x－a）－x2的一个极值点.
（1）当a=0.5时，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）在[1，2]上为减函数，求实数a的取值范围；
（3）若直线y=x为函数y=f（x）的图像的一条切线，求实数a的值.
高三数学（理）参考答案及评分标准
2017、01、08
一、选择题：
（10×5′=50′）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
D
D
C
B
A
B
A
二、填空题：
（4×5′=20′）
11、2n；12、94；13、②⇒③；14、ρ=2sinθ；15、1.
三、解答题：
（80′）
16、（本题满分12分）
解：
（1）依题意得，∴，……2分由f（2π）=2，得，即，∴A=4，……4分
∴.……5分
（2）由，得，
即，∴，……6分
又∵，∴，……7分
由，得，
即，∴，……9分
又∵，∴，……10分
cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ.……12分
17、（本题满分12分）
解：
（1）
优秀
非优秀
总计
甲班
10
45
55
乙班
20
30
50
合计
30
75
105
……3分
（2）根据列联表中的数据，得到
，……5分
因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.……6分
（3）设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）.
所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、
（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、
（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共36个.……8分
事件A包含的基本事件有：
（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（4，6）、
（5，1）、（5，5）、（6，4），共8个，……10分
∴，……11分
故抽到6或10号的概率是.……12分
18、（本题满分12分）
解：
（1）取线段A1B1中点M，连结C1M，
∵C1A1=C1B1，点M为线段A1B1中点，
∴C1M⊥A1B.
又三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴A1A⊥平面C1A1B1，
∴A1A⊥C1M，
∵A1A∩A1B1=A1，
∴C1M⊥平面ADB1A1，……2分
∴.
……5分
（2）连结BC1，B1C交于点E，
则点E是B1C的中点，连结DE，
因为D点为AB的中点，
所以DE是△ABC1的中位线，
所以AC1∥DE，……7分
因为DE平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.
……9分
（3）因为AC1∥DE，
所以∠EDB1是异面直线AC1与DB1所成的角，……10分
因为棱长为2a，所以，，
取DB1的中点F，连接EF，则EF⊥DB1，且，……12分
所以，
即异面直线AC1与DB1所成的角的余弦值为.……14分
19、（本题满分14分）
解：
（1）由题意知，，，∴a=2，b=1，……1分
所以，椭圆C的方程为.……4分
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0），
由，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2－1）=0，……6分
据△>0，得4k2+1>m2（※），……7分
有，，∴，
∴，，……10分
又由题意知，DM垂直平分AB，则DM的方程为：
x=－ky+1，……11分
将点M的坐标代入，得，（☆）……12分
由（※），（☆）得，，
解得所求.……14分
20、（本题满分14分）
解：
（1）易求得，.……2分
（2）∵，则，……3分
得，……5分即，……6分
∴数列是首项为2，公差为1的等差数列，……7分
∴，即.……9分
（3）∵，……10分
∴函数f（x）在点（n，f（n））（n∈N*）处的切线方程为：
，……11分
令x=0，得.……12分
∴，
仅当n=5时取得最小值，只需，解得－11<λ<－9，
故λ的取值范围为（－11，－9）．……14分
21、（本题满分12分）
解：
（1）当时，f（x）的定义域为，……1分
又……2分
∴时，f′（x）>0；x∈（1，+∞）时，f′（x）<0.……3分
所以f（x）的递增区间为，递减区间为（1，+∞）.……4分
（2）当x∈[1，2]时，x－a>0恒成立，即a<1；……5分
当x∈[1，2]时，恒成立，即恒成立，
……6分
又x∈[1，2]时，，……8分
所以.……9分
（3）设切点为（x0，y0），则，……10分
所以ln（x0－a）－x02=x0，且，即.
所以，所以……11分
设g（x）=x2+x+ln（1+2x），，则，
所以g（x）在上为增函数，又g（0）=0，……13分
所以g（x）=0有唯一解x=0，故x0=0，于是a=－1.……14分
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