算法设计与分析+习题参考答案Word文档格式.docx
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returnx1,x2
elseifD=0return–b/（2*a）
elsereturn“norealroots”
else//a=0
ifb≠0return–c/b
else//a=b=0
ifc=0return“norealnumbers”
5.描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法
a.用文字描述
b.用伪代码描述
解答：
a.将十进制整数转换为二进制整数的算法
输入：
一个正整数n
输出：
正整数n相应的二进制数
第一步：
用n除以2，余数赋给Ki（i=0,1,2...），商赋给n
第二步：
如果n=0，则到第三步，否则重复第一步
第三步：
将Ki按照i从高到低的顺序输出
b.伪代码
算法DectoBin（n）
//将十进制整数n转换为二进制整数的算法
//输入：
正整数n
//输出：
该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中
i=1
whilen!
=0do{
Bin[i]=n%2;
n=（int）n/2;
i++;
}
whilei!
=0do{
printBin[i];
i--;
9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.（算法略）
对这个算法做尽可能多的改进.
算法MinDistance（A[0..n-1]）
数组A[0..n-1]
thesmallestdistancedbetweentwoofitselements
习题1.3
1.考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.
a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序
b.该算法稳定吗?
c.该算法在位吗?
解:
a.该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:
b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序
c.该算法不在位.额外空间forSandCount[]
4.（古老的七桥问题）
习题1.4
1.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度.
a.删除数组的第i个元素（1<
=i<
=n）
b.删除有序数组的第i个元素（依然有序）
hints:
a.Replacetheithelementwiththelastelementanddecreasethearraysizeof1
b.Replacetheithelementwithaspecialsymbolthatcannotbeavalueofthearray’selement（e.g.,0foranarrayofpositivenumbers）tomarktheithpositionisempty.
（“lazydeletion”）
第2章
习题2.1
7.对下列断言进行证明:
（如果是错误的,请举例）
a.如果t（n）∈O（g（n）,则g（n）∈Ω（t（n））
b.α>
0时,Θ（αg（n））=Θ（g（n））
a.这个断言是正确的。
它指出如果t（n）的增长率小于或等于g（n）的增长率，那么g（n）的增长率大于或等于t（n）的增长率
由t（n）≤c·
g（n）foralln≥n0,wherec>
则：
foralln≥n0
b.这个断言是正确的。
只需证明
。
设f（n）∈Θ（αg（n））,则有：
foralln>
=n0,c>
=n0,c1=cα>
即：
f（n）∈Θ（g（n））
又设f（n）∈Θ（g（n））,则有：
=n0,c>
=n0,c1=c/α>
f（n）∈Θ（αg（n））
8．证明本节定理对于下列符号也成立：
a.Ω符号
b.Θ符号
证明：
a。
weneedtoproofthatift1（n）∈Ω（g1（n））andt2（n）∈Ω（g2（n））,thent1（n）+t2（n）∈Ω（max{g1（n）,g2（n）}）。
由t1（n）∈Ω（g1（n）），
t1（n）≥c1g1（n）foralln>
=n1,wherec1>
由t2（n）∈Ω（g2（n）），
T2（n）≥c2g2（n）foralln>
=n2,wherec2>
那么，取c>
=min{c1,c2},当n>
=max{n1,n2}时：
t1（n）+t2（n）≥c1g1（n）+c2g2（n）
≥cg1（n）+cg2（n）≥c[g1（n）+g2（n）]
≥cmax{g1（n）,g2（n）}
所以以命题成立。
b.t1（n）+t2（n）∈Θ（
由大Ⓗ的定义知，必须确定常数c1、c2和n0，使得对于所有n>
=n0，有：
由t1（n）∈Θ（g1（n））知，存在非负整数a1,a2和n1使：
a1*g1（n）<
=t1（n）<
=a2*g1（n）-----
（1）
由t2（n）∈Θ（g2（n））知，存在非负整数b1,b2和n2使：
b1*g2（n）<
=t2（n）<
=b2*g2（n）-----
（2）
（1）+
（2）:
a1*g1（n）+b1*g2（n）<
=t1（n）+t2（n）<
=a2*g1（n）+b2*g2（n）
令c1=min（a1,b1）,c2=max（a2,b2），则
C1*（g1+g2）<
=t1（n）+t2（n）<
=c2（g1+g2）-----（3）
不失一般性假设max（g1（n）,g2（n））=g1（n）.
显然，g1（n）+g2（n）<
2g1（n），即g1+g2<
2max（g1,g2）
又g2（n）>
0，g1（n）+g2（n）>
g1（n）,即g1+g2>
max（g1,g2）。
则（3）式转换为：
C1*max（g1,g2）<
=c2*2max（g1,g2）
所以当c1＝min（a1,b1）,c2＝2c2=2max（c1,c2），n0＝max（n1,n2）时，当n>
=n0时上述不等式成立。
证毕。
习题2.4
1.解下列递推关系（做a,b）
当n>
1时
a.
解：
b.
2.对于计算n!
的递归算法F（n），建立其递归调用次数的递推关系并求解。
3.考虑下列递归算法，该算法用来计算前n个立方的和：
S（n）=13+23+…+n3。
算法S（n）
//输入：
正整数n
前n个立方的和
ifn=1return1
elsereturnS（n-1）+n*n*n
a.建立该算法的基本操作次数的递推关系并求解
b.如果将这个算法和直截了当的非递归算法比，你做何评价？
7.a.请基于公式2n=2n-1+2n-1，设计一个递归算法。
当n是任意非负整数的时候，该算法能够计算2n的值。
b.建立该算法所做的加法运算次数的递推关系并求解
c.为该算法构造一棵递归调用树，然后计算它所做的递归调用次数。
d.对于该问题的求解来说，这是一个好的算法吗？
a.算法power（n）
//基于公式2n=2n-1+2n-1,计算2n
非负整数n
2n的值
Ifn=0return1
Elsereturnpower（n-1）+power（n-1）
c.
8.考虑下面的算法
算法Min1（A[0..n-1]）
//输入:
包含n个实数的数组A[0..n-1]
Ifn=1returnA[0]
Elsetemp←Min1（A[0..n-2]）
Iftemp≤A[n-1]returntemp
ElsereturnA[n-1]
a.该算法计算的是什么?
b.建立该算法所做的基本操作次数的递推关系并求解
a.计算的给定数组的最小值
foralln>
1
n=1
9.考虑用于解决第8题问题的另一个算法,该算法递归地将数组分成两半.我们将它称为Min2（A[0..n-1]）
算法Min（A[r..l]）
Ifl=rreturnA[l]
Elsetemp1←Min2（A[l..（l+r）/2]）
Temp2←Min2（A[l..（l+r）/2]+1..r）
Iftemp1≤temp2returntemp1
Elsereturntemp2
a.建立该算法所做的的操作次数的递推关系并求解
b.算法Min1和Min2哪个更快?
有其他更好的算法吗?
习题2.6
1.考虑下面的排序算法,其中插入了一个计数器来对关键比较次数进行计数.
算法SortAnalysis（A[0..n-1]）
//input:
包含n个可排序元素的一个数组A[0..n-1]
//output:
所做的关键比较的总次数
count←0
fori←1ton-1do
v←A[i]
j←i-1
whilej>
0andA[j]>
vdo
count←count+1
A[j+1]←A[j]
j←j+1
A[j+1]←v
returncount
比较计数器是否插在了正确的位置?
如果不对,请改正.
应改为:
ifj>
=0count=count+1
习题3.1
4.a.设计一个蛮力算法,对于给定的x0,计算下面多项式的值:
P（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
并确定该算法的最差效率类型.
b.如果你设计的算法属于Θ（n2）,请你为该算法设计一个线性的算法.
C.对于该问题来说,能不能设计一个比线性效率还要好的算法呢?
a.AlgorithmsBruteForcePolynomialEvaluation（P[0..n],x）
//由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p在给定点x的值
P[0..n]是多项式按低幂到高幂的常系数,以及定值x
多项式p在给定点x的值
p=0.0
fori=nto0do
power=1
forj=1toido
power=power*x
p=p+P[i]*power
returnp
算法效率分析:
基本操作:
两个数相乘,且M（n）仅依赖于多项式的阶n
b.thaabovealgorithmsisveryinefficient,becausewerecomputepowersofxagainandagainasiftherewerenorelationshipamongthem.Infact,wecanmovefromthelowesttermtothehighestandcomputexibyusingxi-1.
AlgorithmsBetterBruteForcePolynomialEvaluation（P[0..n],x）
P=P[0]
fori←1tondo
power←power*x
p←p+P[i]*power
returnp
基本操作乘法运算总次数M（n）:
c.不行.因为计算任意一个多项式在任意点x的值,都必须处理它的n+1个系数.例如:
（x=1,p（x）=an+an-1+..+a1+a0,至少要做n次加法运算）
5.应用选择排序对序列example按照字母顺序排序.
6.选择排序是稳定的吗?
（不稳定）
7.用链表实现选择排序的话,能不能获得和数组版相同的Θ（n2）效率?
Yes.Bothoperation—findingthesmallestelementandswappingit–canbedoneasefficientlywiththelinkedlistaswithanarray.
9.a.请证明,如果对列表比较一遍之后没有交换元素的位置,那么这个表已经排好序了,算法可以停止了.
b.结合所做的改进,为冒泡排序写一段伪代码.
c.请证明改进的算法最差效率也是平方级的.
Hints:
a.第i趟冒泡可以表示为:
如果没有发生交换位置,那么:
b.AlgorithmsBetterBubblesort（A[0..n-1]）
//用改进的冒泡算法对数组A[0..n-1]排序
升序排列的数组A[0..n-1]
count←n-1//进行比较的相邻元素对的数目
flag←true//交换标志
whileflagdo
flag←false
fori=0tocount-1do
ifA[i+1]<
A[i]
swap（A[i],A[i+1]）
flag←true
count←count-1
c最差情况是数组是严格递减的,那么此时改进的冒泡排序会蜕化为原来的冒泡排序.
10.冒泡排序是稳定的吗?
（稳定）
习题3.2
1.对限位器版的顺序查找算法的比较次数:
a.在最差情况下
b.在平均情况下.假设成功查找的概率是p（0<
=p<
=1）
a.Cworst（n）=n+1
b.在成功查找下,对于任意的I,第一次匹配发生在第i个位置的可能性是p/n,比较次数是i.在查找不成功时,比较次数是n+1,可能性是1-p.
6.给出一个长度为n的文本和长度为m的模式构成的实例,它是蛮力字符串匹配算法的一个最差输入.并指出,对于这样的输入需要做多少次字符比较运算.
文本:
由n个0组成的文本
模式:
前m-1个是0,最后一个字符是1
比较次数:
m（n-m+1）
7.为蛮力字符匹配算法写一个伪代码,对于给定的模式,它能够返回给定的文本中所有匹配子串的数量.
AlgorithmsBFStringmatch（T[0..n-1],P[0..m-1]）
//蛮力字符匹配
数组T[0..n-1]—长度为n的文本,数组P[0..m-1]—长度为m的模式
在文本中匹配成功的子串数量
fori←0ton-mdo
j←0
whilej<
mandP[j]=T[i+j]
ifj=m
8.如果所要搜索的模式包含一些英语中较少见的字符,我们应该如何修改该蛮力算法来利用这个信息.
每次都从这些少见字符开始比较,如果匹配,则向左边和右边进行其它字符的比较.
习题4.1
1.a.为一个分治算法编写伪代码,该算法求一个n个元素数组中最大元素的位置.
b.如果数组中的若干个元素都具有最大值,该算法的输出是怎样的呢?
c.建立该算法的键值比较次数的递推关系式并求解.
d.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较
AlgorithmsMaxIndex（A[l..r]）{
Input:
AportionofarrayA[0..n-1]betweenindiceslandr（l≤r）
Output:
TheindexofthelargestelementinA[l..r]
ifl=rreturnl
elsetemp1←MaxIndex（A[l..（l+r）/2]）
temp2←MaxIndex（A[（l+r）/2..r]）
ifA[temp1]≥A[temp2]returntemp1
elsereturntemp2
b.返回数组中位于最左边的最大元素的序号.
c.键值比较次数的递推关系式:
C（n）=C（n/2）+C（n/2）+1forn>
C
（1）=0
设n=2k，C（2k）=2C（2k-1）+1
=2[2C（2k-2）+1]+1=22C（2k-2）+2+1
=2[22C（2k-3）+1]+2+1=23C（2k-3）+22+2+1
=...
=2iC（2k-i）+2i-1+2i-2+...+2+1
=2kC（2k-k）+2k-1+2k-2+...+2+1=2k－1=n-1
可以证明C（n）=n-1对所有n>
1的情况都成立（n是偶数或奇数）
d.比较的次数相同，但蛮力算法不用递归调用。
2、a.为一个分治算法编写伪代码，该算法同时求出一个n元数组的最大元素和最小元素的值。
b.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。
c.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。
a.同时求出最大值和最小值，只需要将原数组一分为二，再使用相同的方法找出这两个部分中的最大值和最小值，然后经过比较就可以得到整个问题的最大值和最小值。
算法MaxMin（A[l..r],Max,Min）
//该算法利用分治技术得到数组A中的最大值和最小值
数值数组A[l..r]
最大值Max和最小值Min
if（r=l）Max←A[l]；
Min←A[l];
//只有一个元素时
else
ifr－l=1//有两个元素时
ifA[l]≤A[r]
Max←A[r];
Min←A[l]
else
Max←A[l];
Min←A[r]
else//r－l>
MaxMin（A[l,（l+r）/2],Max1,Min1）;
//递归解决前一部分
MaxMin（A[（l+r/）2..r],Max2,Min2）;
//递归解决后一部分
ifMax1＜Max2Max=Max2//从两部分的两个最大值中选择大值
ifMin2<
Min1Min=Min2;
//从两部分的两个最小值中选择小值
b.假设n=2k,比较次数的递推关系式:
C（n）=2C（n/2）+2forn>
2
C
（1）=0,C
（2）=1
C（n）=C（2k）=2C（2k-1）+2
=2[2C（2k-2）+2]+2
=22C（2k-2）+22+2
=22[2C（2k-3）+2]+22+2
=23C（2k-3）+23+22+2
...
=2k-1C
（2）+2k-1+2k-2+...+2//C
（2）=1
=2k-1+2k-1+2k-2+...+2//后面部分为等比数列求和
=2k-1+2k-2//2（k-1）=n/2,2k=n
=n/2+n-2
=3n/2－2
b.蛮力法的算法如下：
算法simpleMaxMin（A[l..r]）
//用蛮力法得到数组A的最大值和最小值
Max=Min=A[l];
fori=l+1tordo
ifA[i]>
MaxMax←A[i];
elseifA[i]<
MinMin←A[i]
returnMax,Min
时间复杂度t（n）=2（n-1）
算法MaxMin的时间复杂度为3n/2-2，simpleMaxMin的时间复杂度为2n-2，都属于Θ（n），但比较一下发现，MaxMin的速度要比simpleMaxMin的快一些。
6.应用合并排序对序列E,X,A,M,P,L,E按字母顺序排序.
8.a.对合并排序的最差键值比较次数的递推关系式求解.（forn=2k）
b.建立合并排序的最优键值比较次数的递推关系式求解.（forn=2k）
c.对于4.1节给出的合并排序算法,建立它的键值移动次数的递推关系式.考虑了该算法的键值移动次数之后,是否会影响它的效率类型呢?
a.递推关系式见4.1节.
b.最好情况（列表升序或降序）下:
Cbest（n）=2Cbest（n/2）+n/2forn>
1（n=2k）
Cbest
（1）=0
c.键值比较次数M（n）
M（n）=2M（n）+2nforn>
M
（1）=0
习题4.2
1.应用快速排序对序列E,X,A,M,P,L,E按字母顺序排序
4.请举一个n个元素数组的例子,使得我们有必须对它使用本节提到的”限
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