算法设计与分析+习题参考答案Word文档格式.docx

1、 return x1,x2 else if D=0 return b/（2*a） else return “no real roots”else /a=0 if b0 return c/b else /a=b=0 if c=0 return “no real numbers”5. 描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法a.用文字描述b.用伪代码描述解答： a.将十进制整数转换为二进制整数的算法 输入：一个正整数n输出：正整数n相应的二进制数第一步：用n除以2，余数赋给Ki（i=0,1,2.），商赋给n第二步：如果n=0，则到第三步，否则重复第一步第三步：将Ki按照i从高到低的顺序输出b.伪

2、代码 算法 DectoBin（n）/将十进制整数n转换为二进制整数的算法/输入：正整数n/输出：该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin1.n中i=1while n!=0 do Bini=n%2;n=（int）n/2;i+;while i!=0 doprint Bini;i-;9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.（算法略）对这个算法做尽可能多的改进.算法 MinDistance（A0.n-1）数组A0.n-1the smallest distance d between two of its elements习题1.3 1.考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序

3、的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a. 该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序c.该算法不在位.额外空间for S and Count4.（古老的七桥问题）习题1.41.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度.a.删除数组的第i个元素（1=i0时,（g（n）= （g（n）a. 这个断言是正确的。它指出如果t（n）的增长率

4、小于或等于g（n）的增长率，那么 g（n）的增长率大于或等于t（n）的增长率 由 t（n）cg（n） for all nn0, where c 则： for all nn0b. 这个断言是正确的。只需证明。设f（n）（g（n）,则有： for all n=n0, c=n0, c1=c即：f（n）（g（n）又设f（n）（g（n）,则有：=n0,c=n0,c1=c/f（n）（g（n）8证明本节定理对于下列符号也成立：a.符号b.符号证明：a。we need to proof that if t1（n）（g1（n） and t2（n）（g2（n）, then t1（n）+ t2（n）（maxg1（n

5、）, g2（n）。由 t1（n）（g1（n）， t1（n）c1g1（n） for all n=n1, where c1由 t2（n）（g2（n）， T2（n）c2g2（n） for all n=n2, where c2那么，取c=minc1,c2,当n=maxn1,n2时： t1（n）+ t2（n）c1g1（n）+ c2g2（n） c g1（n）+c g2（n）cg1（n）+ g2（n） cmax g1（n）, g2（n）所以以命题成立。b. t1（n）+t2（n） （由大的定义知，必须确定常数c1、c2和n0，使得对于所有n=n0，有： 由t1（n）（g1（n）知，存在非负整数a1,a2和n

6、1使： a1*g1（n）=t1（n）=a2*g1（n）-（1）由t2（n）（g2（n）知，存在非负整数b1,b2和n2使： b1*g2（n）=t2（n）=b2*g2（n）-（2） （1）+（2）: a1*g1（n）+ b1*g2（n）=t1（n）+t2（n） = a2*g1（n）+ b2*g2（n）令c1=min（a1,b1）,c2=max（a2,b2），则 C1*（g1+g2）= t1（n）+t2（n） =c2（g1+g2）-（3）不失一般性假设max（g1（n）,g2（n）=g1（n）. 显然，g1（n）+g2（n）2g1（n），即g1+g20，g1（n）+g2（n）g1（n）,即g1+g

7、2max（g1,g2）。则（3）式转换为： C1*max（g1,g2） =n0时上述不等式成立。证毕。习题2.41.解下列递推关系 （做a,b）当n1时a.解：b.2.对于计算n!的递归算法F（n），建立其递归调用次数的递推关系并求解。3.考虑下列递归算法，该算法用来计算前n个立方的和：S（n）=13+23+n3。算法S（n） /输入：正整数n 前n个立方的和if n=1 return 1else return S（n-1）+n*n*na. 建立该算法的基本操作次数的递推关系并求解b. 如果将这个算法和直截了当的非递归算法比，你做何评价？7. a. 请基于公式2n=2n-1+2n-1，设计一个

8、递归算法。当n是任意非负整数的时候，该算法能够计算2n的值。 b. 建立该算法所做的加法运算次数的递推关系并求解 c. 为该算法构造一棵递归调用树，然后计算它所做的递归调用次数。 d. 对于该问题的求解来说，这是一个好的算法吗？a.算法power（n）/基于公式2n=2n-1+2n-1,计算2n非负整数n 2n的值If n=0 return 1Else return power（n-1）+ power（n-1）c.8.考虑下面的算法 算法 Min1（A0.n-1） /输入:包含n个实数的数组A0.n-1 If n=1 return A0 Else tempMin1（A0.n-2） If tem

9、pAn-1 return temp Else return An-1a.该算法计算的是什么?b.建立该算法所做的基本操作次数的递推关系并求解a.计算的给定数组的最小值for all n1n=19.考虑用于解决第8题问题的另一个算法,该算法递归地将数组分成两半.我们将它称为Min2（A0.n-1）算法 Min（Ar.l） If l=r return Al Else temp1Min2（Al.（l+r）/2） Temp2Min2（Al.（l+r）/2+1.r） If temp1temp2 return temp1 Else return temp2a.建立该算法所做的的操作次数的递推关系并求解b.

10、算法Min1和Min2哪个更快?有其他更好的算法吗?习题2.6 1.考虑下面的排序算法,其中插入了一个计数器来对关键比较次数进行计数.算法SortAnalysis（A0.n-1）/input:包含n个可排序元素的一个数组A0.n-1/output:所做的关键比较的总次数count0for i1 to n-1 do vAi ji-1 while j0 and Ajv do countcount+1 Aj+1Aj jj+1 Aj+1vreturn count比较计数器是否插在了正确的位置?如果不对,请改正.应改为: if j=0 count=count+1习题3.14. a.设计一个蛮力算法,对于

11、给定的x0,计算下面多项式的值:P（x）=anxn+an-1xn-1+a1x+a0并确定该算法的最差效率类型.b.如果你设计的算法属于（n2）,请你为该算法设计一个线性的算法.C.对于该问题来说,能不能设计一个比线性效率还要好的算法呢?a.Algorithms BruteForcePolynomialEvaluation（P0.n,x）/由高幂到低幂用蛮力法计算多项式p在给定点x的值P0.n是多项式按低幂到高幂的常系数,以及定值x 多项式p在给定点x的值p=0.0for i=n to 0 do power=1 for j=1 to i do power=power*x p=p+Pi*power

12、return p算法效率分析:基本操作:两个数相乘,且M（n）仅依赖于多项式的阶nb.tha above algorithms is very inefficient, because we recompute powers of x again and again as if there were no relationship among them.In fact ,we can move from the lowest term to the highest and compute xi by using xi-1.Algorithms BetterBruteForcePolynomia

13、lEvaluation（P0.n,x） P=P0 for i1 to n do powerpower*x pp+Pi*power return p基本操作乘法运算总次数M（n）:c.不行.因为计算任意一个多项式在任意点x的值,都必须处理它的n+1 个系数.例如: （x=1,p（x）=an+an-1+.+a1+a0,至少要做n次加法运算） 5.应用选择排序对序列example按照字母顺序排序.6.选择排序是稳定的吗?（不稳定）7.用链表实现选择排序的话,能不能获得和数组版相同的（n2）效率?Yes.Both operationfinding the smallest element and sw

14、apping it can be done as efficiently with the linked list as with an array. 9.a.请证明,如果对列表比较一遍之后没有交换元素的位置,那么这个表已经排好序了,算法可以停止了.b.结合所做的改进,为冒泡排序写一段伪代码.c.请证明改进的算法最差效率也是平方级的.Hints:a.第i趟冒泡可以表示为:如果没有发生交换位置,那么:b.Algorithms BetterBubblesort（A0.n-1）/用改进的冒泡算法对数组A0.n-1排序升序排列的数组A0.n-1countn-1 /进行比较的相邻元素对的数目flagtr

15、ue /交换标志while flag do flagfalse for i=0 to count-1 do if Ai+1Ai swap（Ai,Ai+1） flagtrue countcount-1c最差情况是数组是严格递减的,那么此时改进的冒泡排序会蜕化为原来的冒泡排序.10.冒泡排序是稳定的吗?（稳定）习题3.21.对限位器版的顺序查找算法的比较次数:a.在最差情况下b.在平均情况下.假设成功查找的概率是p（0=p=1）a.Cworst（n）=n+1b.在成功查找下,对于任意的I,第一次匹配发生在第i个位置的可能性是p/n,比较次数是i.在查找不成功时,比较次数是n+1,可能性是1-p.6

16、.给出一个长度为n的文本和长度为m的模式构成的实例,它是蛮力字符串匹配算法的一个最差输入.并指出,对于这样的输入需要做多少次字符比较运算.文本:由n个0组成的文本模式:前m-1个是0,最后一个字符是1比较次数: m（n-m+1）7.为蛮力字符匹配算法写一个伪代码,对于给定的模式,它能够返回给定的文本中所有匹配子串的数量.Algorithms BFStringmatch（T0.n-1,P0.m-1）/蛮力字符匹配数组T0.n-1长度为n的文本,数组P0.m-1长度为m的模式在文本中匹配成功的子串数量for i0 to n-m do j0 while j C（1）=0 设n=2k，C（2k）=2C

17、（2k-1）+1 =22 C（2k-2）+1+1=22C（2k-2）+2+1 =222C（2k-3）+1+2+1=23C（2k-3）+ 22+2+1 =. =2iC（2k-i）+ 2i-1+2 i-2 +.+2+1 =2kC（2k-k）+ 2k-1+2 k-2 +.+2+1=2k1=n-1可以证明C（n）=n-1对所有n1的情况都成立（n是偶数或奇数）d.比较的次数相同，但蛮力算法不用递归调用。2、a.为一个分治算法编写伪代码，该算法同时求出一个n元数组的最大元素和最小元素的值。b.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。c.请拿该算法与解同样问题的蛮力算法做一个比较。 a.同时求出最大值

18、和最小值，只需要将原数组一分为二，再使用相同的方法找出这两个部分中的最大值和最小值，然后经过比较就可以得到整个问题的最大值和最小值。算法 MaxMin（Al.r,Max,Min） /该算法利用分治技术得到数组A中的最大值和最小值数值数组Al.r最大值Max和最小值Minif（r=l） MaxAl；MinAl; /只有一个元素时elseif rl=1 /有两个元素时if AlArMaxAr; MinAl elseMaxAl; MinAr else /rlMaxMin（Al,（l+r）/2,Max1,Min1）; /递归解决前一部分MaxMin（A（l+r/）2.r,Max2,Min2）; /递归

19、解决后一部分if Max1Max2 Max= Max2 /从两部分的两个最大值中选择大值if Min22C（1）=0, C（2）=1C（n）=C（2k）=2C（2k-1）+2=22C（2k-2）+2+2=22C（2k-2）+22+2=222C（2k-3）+2+22+2=23C（2k-3）+23+22+2.=2k-1C（2）+2k-1+2k-2+.+2 /C（2）=1=2k-1+2k-1+2k-2+.+2 /后面部分为等比数列求和=2k-1+2k-2 /2（k-1）=n/2,2k=n=n/2+n-2=3n/22b.蛮力法的算法如下：算法 simpleMaxMin（Al.r）/用蛮力法得到数组A的最大值和最小值Max=Min=Al;for i=l+1 to r do if AiMax MaxAi;else if Ai1 （n=2k）Cbest（1）=0c.键值比较次数M（n）M（n）=2M（n）+2n for nM（1）=0习题4.21.应用快速排序对序列E,X,A,M,P,L,E按字母顺序排序4.请举一个n个元素数组的例子,使得我们有必须对它使用本节提到的”限