数学竞赛平面几何讲座三角形的五心Word文档格式.docx
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将△O2QO3绕着O3点旋转到△KSO3,易判断△KSO1≌△O2PO1,同时可
得△O1O2O3≌△O1KO3.∴∠O2O1O3=∠KO1O3=21
∠O2O1K
=21（∠O2O1S+∠SO1K=21（∠O2O1S+∠PO1O2=
2
1∠PO1S=∠A;
同理有∠O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ABC.二、重心
三角形三条中线的交点,叫做三角形的重心.掌握重心将每
条中线都分成定比2:
1及中线长度公式,便于解题.
例3.AD,BE,CF是△ABC的三条中线,P是任意一点.证明:
在△PAD,△
PBE,△PCF中,其中一个面积等于另外两个面积的和.
设G为△ABC重心,直线PG与AB
BC相交.从A,C,D,E,F分别作该直线的垂线,垂足为A′,C′,D′,E′,F′.易证AA′=2DD′,CC′=2FF′,2EE′=AA′+∴EE′=DD′+FF′.有S△PGE=S△PGD+S△PGF.
两边各扩大3倍,有S△PBE=S△PAD+S△PCF.
例4.如果三角形三边的平方成等差数列,那么该三角形和由它的三条中线围成
的新三角形相似.其逆亦真.
将△ABC简记为△,由三中线AD,BE,CF围成的三角形简记为△′.G
为重心,连DE到H,使EH=DE,连HC,HF,则△′就是△HCF.
（1a2,b2,c2成等差数列⇒△∽△′.若△ABC为正三角形,易证△∽△′.不妨设a≥b≥c,有CF=2
2221cba-+,BE=2
2221bac-+,AD=
222
1a
cb-+.
将a2
+c2=2b2,分别代入以上三式,得CF=
a
23,BE=
b23,AD=
c
23.
∴CF:
BE:
AD=
3:
b2
3
=a:
b:
c.
故有△∽△′.
（2△∽△′⇒a2,b2,c2成等差数列.当△中a≥b≥c时,△′中CF≥BE≥AD.∵△∽△′,∴
∆
∆SS'
=（
CF2.
据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的4
3”,有
A
A'
'
EPCBD
=
4
3.
∴
CF=
3⇒3a2=4CF2=2a2+b2-c2⇒
a2+c2=2b2.
三、垂心
三角形三条高的交战,称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等（外接圆三角形,给我们解题提供了极大的便利.
例5.设A1A2A3A4为⊙O内接四边形,H1,H2,H3,H4依次为
△A2A3A4,△A3A4A1,△A4A1A2,△A1A2A3的垂心.求证:
H1,H2,H3,H4四点共圆,并确定出该圆的圆心位置.
连接A2H1,A1H2,H1H2,记圆半径
为R.由△A2A3A4知
321
2sinHAAHA∠=2R⇒A2H1=2Rcos∠A3A2A4;
由△A1A3A4得
A1H2=2Rcos∠A3A1A4.
但∠A3A2A4=∠A3A1A4,故A2H1=A1H2.
易证A2H1∥A1A2,于是,A2H1A1H2,故得H1H2A2A1.设H1A1与H2A2的交点为M,故H1H2与A1A2关于M点
成中心对称.
同理,H2H3与A2A3,H3H4与A3A4,H4H1与A4A1都关于M点成中心对称.
故四边形H1H2H3H4与四边形A1A2A3A4关于M点成中心对称,两者是全等四边形,H1,H2,H3,H4在同一个圆上.后者的圆心设为Q,Q与O也关于M成中心对称.由O,M两点,Q点就不难确定了.
例6.H为△ABC的垂心,D,E,F分别是BC,CA,AB的中心.一个以H为圆
心的⊙H交直线EF,FD,DE于A1,A2,B1,B2,C1,C2.
求证:
AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.分析:
只须证明AA1=BB1=CC1即可.设BC=a,CA=b,AB=c,△ABC外接圆半径为R,⊙H的半径为r.
连HA1,AH交EF于M.A21
A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH
=r2+（AM2-MH2
①
又AM2-HM2=（
1AH12-（AH-2
AH12
=AH·
AH1-AH2=AH2·
AB-AH2
=cosA·
bc-AH2
②而
ABH
AH∠sin=2R⇒AH2=4R2cos2A,
∥=
H
BB
AABCC1
2111
22
E
asin=2R⇒a2=4R2sin2A.
∴AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a2.③由①、②、③有A21
A=r2
+
bc
cb22
22-+·
bc-（4R2-a2
=
1（a2+b2+c2-4R2+r2.
同理,21BB=
1（a2+b2+c2-4R2+r2,
CC=
故有AA1=BB1=CC1.
四、内心
三角形内切圆的圆心,简称为内心.对于内心,要掌握张角公式,还要记住下面一个极为有用的等量关系:
设I为△ABC的内心,射线AI交△ABC外接圆于A′,则有A′I=A′B=A′C.换言之,点A′必是△IBC之外心（内心的等量关系之逆同样有用.
例7.ABCD为圆内接凸四边形,取
△DAB,△ABC,△BCD,△CDA的内心O1,O2,O3,O4.求证:
O1O2O3O4为矩形.
（1986,中国数学奥林匹克集训题
证明见《中等数学》1992;
4
例8.已知⊙O内接△ABC,⊙Q切AB,AC于EO内切.试证:
EF
中点P是△ABC之内心.
在第20届IMO中,美国提供的一道题实际上是例8的一种特例,但它增
加了条件AB=AC.当AB≠AC,怎样证明呢?
如图,显然EF中点P、圆心Q中点K都在∠BAC平分线上.易知
AQ=
α
sinr.
∵QK·
AQ=MQ·
QN,∴QK=AQ
QNMQ⋅
sin/2（rrrR⋅-=2（sinrR-⋅α.
由Rt△EPQ知PQ=r⋅αsin.
∴PK=PQ+QK=r⋅αsin+2（sinrR-⋅α=R2sin⋅α.∴PK=BK.α
利用内心等量关系之逆定理,即知P是△ABC这内心.
ABCDO234A
M
B
CK
NE
RQF
五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点,是旁切圆的圆心,称为旁心.旁心常常与内心联系在一起,旁心还与三角形的半周长关系密切.
例9.在直角三角形中,求证:
r+ra+rb+rc=2p.
式中r,ra,rb,rc分别表示内切圆半径及与a,b,c相切的旁切圆半径,
p表示半周.
设Rt△ABC中,c为斜边,先来证明一个特性:
p（p-c=（p-a（p-b.
∵p（p-c=21（a+b+c·
1（a+b-c
=41[（a+b2-c2]=
1ab;
（p-a（p-b=21（-a+b+c·
1（a-b+c
1[c2-（a-b2]=2
ab.
∴p（p-c=（p-a（p-b.①观察图形,可得ra=AF-AC=p-b,rb=BG-BC=p-a,rc=CK=p.而r=
=p-c.∴r+ra+rb+rc
=（p-c+（p-b+（p-a+p=4p-（a+b+c=2p.由①及图形易证.
例10.M是△ABC边AB上的任意一点.r1,r2,r分别是△AMC,△BMC,△
ABC内切圆的半径,q1,q2,q分别是上述三角形在∠ACB内部的旁切圆
半径.证明:
1qr·
2qr=
q
r.
（IMO-12
对任意△A′B′C′,由正弦定理可知
OD=OA′·
'
sin
=A′B′·
sin'
sin
BOAB·
2'
sinA
KrrOOO2
C
b
AB
OO'
A'
B'
⋅sin22，=A′B′·
A'
+B'
sin2A'
coscos22.O′E=A′B′·
sin2ODA'
B'
=tgtg.∴O'
E22亦即有sinr1rA∠CMA∠CNBB·
2=tgtgtgtgq1q22222=tgABrtg=.22q六、众心共圆这有两种情况：
（1同一点却是不同三角形的不同的心；
（2同一图形出现了同一三角形的几个心.ABCDEF（1例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE中，=BC，=DE，=FA.试证：
AD，BE，CF三条对角线交于一点；
（2AB+BC+CD+DE+EF+FA≥AK+BE+CF.分析：
连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是△ACE的三条内角平分线，I为△ACE的内心.从而有ID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC.易证BP，，是它的三条高，是它的垂心，DQFSI利用不再由△BDF，..等式有：
ErdosABI+DI+FI≥2·
（IP+IQ+IS.F不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.BQ∴BI+DI+FI≥IA+IE+IC.IPE∴AB+BC+CD+DE+EF+FAS=2（BI+DI+FIC≥（IA+IE+IC+（BI+DI+FID=AD+BE+CF.I就是一点两心.例12．△ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.证明OE丄CD.A分析：
设AM为高亦为中线，取AC中点F，E必在DF上且DE:
EF=2:
1.设EFDCD交AM于G，G必为△ABC重心.G连GE，MF，MF交DC于K.易证：
OKBC
111DG:
GK=DC:
（−DC=2:
1.323∴DG:
GK=DE:
EF⇒GE∥MF.∵OD丄AB，MF∥AB，∴OD丄MF⇒OD丄GE.但OG丄DE⇒G又是△ODE之垂心.易证OE丄CD.例13．△ABC中∠C=30°
，O是外心，I是内心，边AC上的D点与边BC上的E点使得AD=BE=AB.求证：
OI丄DE，OI=DE.分析：
辅助线如图所示，作∠DAO平分线交BC于K.易证△AID≌△AIB≌△EIB，∠AID=∠AIB=∠EIB.DAC30°
利用内心张角公式，有OKI1FE∠AIB=90°
+∠C=105°
，2B∴∠DIE=360°
-105°
×
3=45°
.1∵∠AKB=30°
+∠DAO21=30°
+（∠BAC-∠BAO21=30°
+（∠BAC-60°
21=∠BAC=∠BAI=∠BEI.2∴AK∥IE.由等腰△AOD可知DO丄AK，∴DO丄IE，即DF是△DIE的一条高.同理EO是△DIE之垂心，OI丄DE.由∠DIE=∠IDO，易知OI=DE.例14．锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d外，重心到三边距A离和为d重，垂心到三边距离和为d垂.H3求证：
1·
d垂+2·
d外=3·
d重.G3O2O3G2分析：
这里用三角法.设△ABC外接圆H2OG半径为1，三个内角记为A，B，IBC.易知d外=OO1+OO2+OO3CO1G1H1=cosA+cosB+cosC，∴2d外=2（cosA+cosB+cosC.①∵AH1=sinB·
AB=sinB·
（2sinC=2sinB·
sinC，同样可得BH2·
CH3.∴3d重=△ABC三条高的和=2·
（sinB·
sinC+sinC·
sinA+sinA·
sinB②BH=2，∴sin∠BCH
∴HH1=cosC·
BH=2·
cosB·
cosC.同样可得HH2，HH3.∴d垂=HH1+HH2+HH3=2（cosB·
cosC+cosC·
cosA+cosA·
cosB③欲证结论，观察①、②、③，须证（cosB·
cosC+cosC·
cosA+cosA·
cosB+（cosA+cosC=sinB·
sinB.即可.cosB+练习题1.I为△ABC之内心，射线AI，BI，CI交△ABC外接圆于A′，B′，C′.则AA′+BB′+CC′＞△ABC周长.2.△T′的三边分别等于△T的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.3.I为△ABC的内心.取△IBC，△ICA，△IAB的外心O1，2，3.求证：
1O2O3OO△O与△ABC有公共的外心.（4.AD为△ABC内角平分线.取△ABC，△ABD，△ADC的外心O，O1，O2.则△OO1O2是等腰三角形.5.△ABC中∠C＜90°
，从AB上M点作CA，CB的垂线MP，MQ.H是△CPQ的垂心.当M是AB上动点时，求H的轨迹.（IMO-716.△ABC的边BC=（AB+AC，取AB，AC中点M，N，G为重心，I为内心.2试证：
过A，M，N三点的圆与直线GI相切.7.锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3.已知：
H1，H2，H3，求作△ABC.8.已知△ABC的三个旁心为I1，I2，I3.求证：
△I1I2I3是锐角三角形.9.AB，AC切⊙O于B，C，过OA与BC的交点M任作⊙O的弦EF.求证：
（1△AEF与△ABC有公共的内心；
（2△AEF与△ABC有一个旁心重合.
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