1819 章末综合测评2 数 列.docx

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1819章末综合测评2数列

章末综合测评

（二）　数　列

（满分：

150分　时间：

120分钟）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．{an}是首项为5，公差为4的等差数列，如果an＝2017，则序号n等于（　　）

【导学号：

12232259】

A．504　　　　　B．505

C．506D．507

A　[{an}的通项公式an＝4n＋1，令4n＋1＝2017，得n＝504.]

2．在等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝18，则公比q的值为（　　）

A．1B．－

C．1或－D．－1或－

C　[由题知＋＋a3＝18，即＋＋6＝18，化简得，q＝1或－.]

3．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是（　　）

【导学号：

12232260】

A．－2B．－3

C．－4D．－6

C　[由题意，知a6≥0，a7<0.

∴

∴－≤d<－.

∵d∈Z，∴d＝－4.]

4．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a＋3b＋c＝10，则a的值是（　　）

A．1B．－1

C．－3D．－4

D　[由题意，得

解得a＝－4，b＝2，c＝8.]

5．已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1（a≠0），则{an}（　　）

【导学号：

12232261】

A．一定是等差数列

B．一定是等比数列

C．或者是等差数列，或者是等比数列

D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

C　[∵Sn＝an－1（a≠0），

∴an＝

即an＝

当a＝1时，an＝0，数列{an}是一个常数列，也是等差数列；当a≠1时，数列{an}是一个等比数列．]

6．在等差数列{an}中，若a4＝－4，a9＝4，Sn是等差数列{an}的前n项和，则（　　）

A．S5＜S6B．S5＝S6

C．S7＝S5D．S7＝S6

C　[因为a4＋a9＝a6＋a7＝0，

所以S7－S5＝a6＋a7＝0，所以S7＝S5.]

7．计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机价格降低，现在的价格是8100元的计算机，则15年后价格降低为（　　）

【导学号：

12232262】

A．2200元B．900元

C．2400元D．3600元

C　[由题意，可得第一个五年的价格变为8100×，所以可知每5年的价格变动符合8100×，其中n为5年的个数，由题知＝3，所以15年后的价格为8100×＝2400元．]

8．已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则＝（　　）

A．2B．4

C．5D．

B　[依题意得＝＝2，

即＝2，数列a1，a3，a5，a7，…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此＝4.]

9．已知数列{an}是首项a1＝4，公比q≠1的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则公比q等于（　　）

【导学号：

12232263】

A.B．－1

C．－2D．2

B　[由题知2a5＝4a1－2a3，所以2（4q4）＝4×4－2（4q2）解得q＝1（舍）或q＝－1.]

10．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图1所示：

图1

则第七个三角形数是（　　）

A．27B．28

C．29D．30

B　[法一：

∵a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，

∴a6－a5＝6，a6＝21，a7－a6＝7，a7＝28.

法二：

由图可知第n个三角形数为，

∴a7＝＝28.]

11．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，7小时后细胞存活的个数是（　　）

【导学号：

12232264】

A．33个B．65个

C．66个D．129个

D　[设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成数列{an}，则即＝2，所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an－1＝2n－1，an＝2n－1＋1，故7小时后细胞存活个数为28－1＋1＝129.]

12．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0，且a11>|a10|，则{an}的前n项和Sn中最大的负数为（　　）

A．S17B．S18

C．S19D．S20

C　[∵a10<0，a11>0，且a11>|a10|，

∴a11＋a10>0.

S20＝＝10·（a11＋a10）>0.

S19＝＝·2a10<0.]

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）

13．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项的和为________．

【导学号：

12232265】

75　[因为Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2.

所以数列前10项的和为：

（1＋2＋…＋10）＋20＝75.]

14．数列{an}满足a1＝2，an＝an－1＋2n（n≥2），则an＝________.

n（n＋1）　[由an＝an－1＋2n（n≥2），得an－an－1＝2n，则a2－a1＝4，a3－a2＝6，a4－a3＝8，…，an－an－1＝2n把各式相加，得an－a1＝4＋6＋8＋…＋2n，

∴an＝2＋4＋6＋…＋2n＝n（n＋1）．]

15．{an}是递增等差数列，前三项的和为24，前三项的积为384，则它的通项公式an＝________.

【导学号：

12232266】

4n　[设前三项分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝24且a（a－d）（a＋d）＝384，解得a＝8且d＝±4，又{an}递增，∴d>0，即d＝4，∴an＝8＋4（n－2）＝4n.]

16．已知公差不为零的正项等差数列{an}中，Sn为其前n项和，lga1，lga2，lga4也成等差数列，若a5＝10，则S5＝________.

30　[设{an}的公差为d，则d≠0.

由lga1，lga2，lga4也成等差数列，

得2lga2＝lga1＋lga4，∴a＝a1a4，

即（a1＋d）2＝a1（a1＋3d），d2＝a1d.

又d≠0，故d＝a1，a5＝5a1＝10，d＝a1＝2，

S5＝5a1＋×d＝30.]

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程演算步骤）

17．（本小题满分10分）数列{an}对任意n∈N＋，满足an＋1＝an＋1，a3＝2.

（1）求数列{an}通项公式．

（2）若bn＝＋n，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

[解]　

（1）由已知得an＋1－an＝1，数列{an}是等差数列，且公差d＝1又a3＝2，所以a1＝0，所以an＝n－1.

（2）由

（1）得，bn＝＋n，

所以Sn＝（1＋1）＋＋…＋＋n＝1＋＋＋…＋＋（1＋2＋3＋…＋n）

＝＋＝＋.

18．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝，数列{xn}的通项由xn＝f（xn－1）（n≥2且x∈N＋）确定．

（1）求证：

是等差数列；

（2）当x1＝时，求x2018.

【导学号：

12232267】

[解]　

（1）证明：

∵xn＝f（xn－1）＝（n≥2且n∈N＋），

∴＝＝＋，

∴－＝（n≥2且n∈N＋），

∴是等差数列．

（2）由

（1）知＝＋（n－1）×＝2＋＝.

∴＝＝.

∴x2018＝.

19．（本小题满分12分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，＝.

（1）求等比数列{an}的公比q；

（2）求a＋a＋…＋a.

[解]　

（1）由＝，a1＝－1，知公比q≠1，＝－.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，q＝－.

（2）由

（1），得an＝（－1）×，所以a＝，所以数列{a}是首项为1，公比为的等比数列，故a＋a＋…＋a＝＝.

20．（本小题满分12分）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和（n∈N＋），且a2＝3，S4＝16.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.

【导学号：

12232268】

[解]　

（1）设等差数列{an}的公差是d，

由已知条件得

解得a1＝1，d＝2，∴an＝2n－1.

（2）由

（1）知，an＝2n－1，

∴bn＝＝

＝，

Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝

＝＝.

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f，n∈N*.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn＝（n≥2），b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<对一切n∈N*都成立，求最小的正整数m的值.

【导学号：

12232269】

[解]　

（1）∵an＋1＝f＝＝an＋，

∴{an}是以a1＝1为首项，为公差的等差数列，

∴an＝n＋.

（2）当n≥2时，

bn＝＝

＝，

当n＝1时，上式同样成立，

∴bn＝.

∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn

＝

＝，

∵Sn<对一切n∈N*都成立，即<对一切n∈N*都成立．

又随着n的增大而增大，且<，

∴≤，∴m≥2019.

∴最小的正整数m的值为2019.

22．（本小题满分12分）在1和100之间插入n个实数，使得这（n＋2）个数构成递增的等比数列，将这（n＋2）个数的积记作Tn，n∈N*.

（1）求数列{Tn}的通项公式；

（2）设bn＝2lgTn－3，求数列的前n项和Sn.

[解]　

（1）设a1＝1，an＋2＝100，公比为q，则qn＋1＝100.

又Tn＝a1·a2·a3·…·an＋2＝1×q×q2×…×qn＋1＝q1＋2＋3＋…＋（n＋1）＝q＝100＝10n＋2.

∴数列{Tn}的通项公式Tn＝10n＋2

（2）bn＝2lgTn－3＝2（n＋2）－3＝2n＋1，∴＝，

∴Sn＝＋＋＋…＋，

则Sn＝＋＋＋…＋＋，

两式相减，得Sn＝＋2－

＝＋2×－

＝－－，

∴Sn＝5－.