同济第六版《高等数学》教案WORD版第03章中值定理与导数的应用.docx

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同济第六版《高等数学》教案WORD版第03章中值定理与导数的应用

第三章中值定理与导数的应用

教学目的：

1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。

2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

6、知道方程近似解的二分法及切线性。

教学重点：

1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；

2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；

3、函数图形的凹凸性；

4、洛必达法则。

教学难点：

1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；

2、极值的判断方法；

3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；

4、洛必达法则的灵活运用。

§31中值定理

一、罗尔定理

费马引理

设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内有定义并且在x0处可导如果对任意xU（x0）有

f（x）f（x0）（或f（x）f（x0））

那么f（x0）0

罗尔定理如果函数yf（x）在闭区间[a,b]上连续在开区间（a,b）内可导且有f（a）f（b）那么在（a,b）内至少在一点ξ使得f（ξ）0

简要证明

（1）如果f（x）是常函数则f（x）0定理的结论显然成立

（2）如果f（x）不是常函数则f（x）在（ab）内至少有一个最大值点或最小值点不妨设有一最大值点ξ（ab）于是

所以f（x）=0.

罗尔定理的几何意义

二、拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理如果函数f（x）在闭区间[ab]上连续在开区间（ab）内可导那么在（ab）内至少有一点ξ（a<ξ

f（b）f（a）f（ξ）（ba）

成立

拉格朗日中值定理的几何意义

f（ξ）=,

定理的证明引进辅函数

令ϕ（x）f（x）f（a）（xa）

容易验证函数f（x）适合罗尔定理的条件ϕ（a）ϕ（b）0ϕ（x）在闭区间[ab]上连续在开区间（ab）内可导且

ϕ（x）f（x）

根据罗尔定理可知在开区间（ab）内至少有一点ξ使ϕ（ξ）0即

f（ξ）0

由此得f（ξ）

即f（b）f（a）f（ξ）（ba）

定理证毕

f（b）f（a）f（ξ）（ba）叫做拉格朗日中值公式这个公式对于b

拉格朗日中值公式的其它形式

设x为区间[ab]内一点x∆x为这区间内的另一点（∆x>0或∆x<0）则在[xx∆x]（∆x>0）或[x∆xx]（∆x<0）应用拉格朗日中值公式得

f（x∆x）f（x）f（x∆x）∆x（0<<1）

如果记f（x）为y则上式又可写为

∆yf（x∆x）∆x（0<<1）

试与微分dyf（x）∆x比较dyf（x）∆x是函数增量∆y的近似表达式而

f（x∆x）∆x是函数增量∆y的精确表达式

作为拉格朗日中值定理的应用我们证明如下定理

定理如果函数f（x）在区间I上的导数恒为零那么f（x）在区间I上是一个常数

证在区间I上任取两点x1x2（x1

f（x2）f（x1）f（ξ）（x2x1）（x1<ξ

由假定f（ξ）0所以f（x2）f（x1）0即

f（x2）f（x1）

因为x1x2是I上任意两点所以上面的等式表明f（x）在I上的函数值总是相等的这就是说f（x）在区间I上是一个常数

例2证明当x>0时

证设f（x）ln（1x）显然f（x）在区间[0x]上满足拉格朗日中值定理的条件根据定理就有

f（x）f（0）f（ξ）（x0）0<ξ

由于f（0）0因此上式即为

又由0<ξ

三、柯西中值定理

设曲线弧C由参数方程

（axb）

表示其中x为参数如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线那么在曲线C上必有一点xξ使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB曲线C上点xξ处的切线的斜率为

弦AB的斜率为

于是

柯西中值定理如果函数f（x）及F（x）在闭区间[ab]上连续在开区间（ab）内可导且F（x）在（ab）内的每一点处均不为零那么在（ab）内至少有一点ξ使等式

.

成立

显然如果取F（x）x那么F（b）F（a）baF（x）1因而柯西中值公式就可以写成

f（b）f（a）f（ξ）（ba）（a<ξ

这样就变成了拉格朗日中值公式了

§3.3泰勒公式

对于一些较复杂的函数为了便于研究往往希望用一些简单的函数来近似表达由于用多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算便能求出它的函数值因此我们经常用多项式来近似表达函数

在微分的应用中已经知道当|x|很小时有如下的近似等式

ex1xln（1x）x

这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子但是这种近似表达式还存在着不足之处首先是精确度不高这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小其次是用它来作近似计算时不能具体估算出误差大小因此对于精确度要求较高且需要估计误差时候就必须用高次多项式来近似表达函数同时给出误差公式

设函数f（x）在含有x0的开区间内具有直到（n1）阶导数现在我们希望做的是找出一个关于（xx0）的n次多项式

pn（x）a0a1（xx0）a2（xx0）2an（xx0）n

来近似表达f（x）要求pn（x）与f（x）之差是比（xx0）n高阶的无穷小并给出误差|f（x）pn（x）|的具体表达式

我们自然希望pn（x）与f（x）在x0的各阶导数（直到（n1）阶导数）相等这样就有

pn（x）a0a1（xx0）a2（xx0）2an（xx0）n

pn（x）a12a2（xx0）nan（xx0）n1

pn（x）2a232a3（xx0）n（n1）an（xx0）n2

pn（x）3!

a3432a4（xx0）n（n1）（n2）an（xx0）n3

pn（n）（x）n!

an

于是

pn（x0）a0pn（x0）a1pn（x0）2!

a2pn（x）3!

a3pn（n）（x）n!

an

按要求有

f（x0）pn（x0）a0f（x0）pn（x0）a1f（x0）pn（x0）2!

a2f（x0）pn（x0）3!

a3

f（n）（x0）pn（n）（x0）n!

an

从而有

a0f（x0）a1f（x0）

（k012n）.

于是就有

pn（x）f（x0）f（x0）（xx0）（xx0）2（xx0）n

泰勒中值定理如果函数f（x）在含有x0的某个开区间（ab）内具有直到（n1）的阶导数则当x在（ab）内时f（x）可以表示为（xx0）的一个n次多项式与一个余项Rn（x）之和

其中（ξ介于x0与x之间）

这里

多项式

称为函数f（x）按（xx0）的幂展开的n次近似多项式公式

称为f（x）按（xx0）的幂展开的n阶泰勒公式而Rn（x）的表达式

其中（ξ介于x与x0之间）

称为拉格朗日型余项

当n0时泰勒公式变成拉格朗日中值公式

f（x）f（x0）f（ξ）（xx0）（ξ在x0与x之间）

因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广

如果对于某个固定的n当x在区间（ab）内变动时|f（n1）（x）|总不超过一个常数M则有估计式

及

可见妆xx0时误差|Rn（x）|是比（xx0）n高阶的无穷小即

Rn（x）o[（xx0）n]

在不需要余项的精确表达式时n阶泰勒公式也可写成

.

当x00时的泰勒公式称为麦克劳林公式就是

或

其中

由此得近似公式

.

误差估计式变为

例1．写出函数f（x）ex的n阶麦克劳林公式

解因为f（x）f（x）f（x）f（n）（x）ex

所以f（0）f（0）f（0）f（n）（0）1

于是（0<θ<1）

并有

这时所产性的误差为

|Rn（x）||xn1|<|x|n1

当x=1时可得e的近似式

其误差为|Rn|<

例2．求f（x）sinx的n阶麦克劳林公式

解因为

f（x）cosxf（x）sinxf（x）cosx

f（0）0f（0）1f（0）0f（0）1f（4）（0）0

于是

当m1、2、3时有近似公式

sinxx

§34函数单调性与曲线的凹凸性

一、函数单调性的判定法

如果函数yf（x）在[ab]上单调增加（单调减少）那么它的图形是一条沿x轴正向上升（下降）的曲线这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）即yf（x）0（yf（x）0）由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的关系

反过来能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？

定理1（函数单调性的判定法）设函数yf（x）在[ab]上连续在（ab）内可导

（1）如果在（ab）内f（x）0那么函数yf（x）在[ab]上单调增加

（2）如果在（ab）内f（x）0那么函数yf（x）在[ab]上单调减少

证明只证

（1）在[ab]上任取两点x1x2（x1x2）应用拉格朗日中值定理得到

f（x2）f（x1）f（ξ）（x2x1）（x1ξx2）

由于在上式中x2x10因此如果在（ab）内导数f（x）保持正号即f（x）0那么也有f（ξ）0于是

f（x2）f（x1）f（ξ）（x2x1）0

即f（x1）f（x2）

这函数yf（x）在[ab]上单调增加

注判定法中的闭区间可换成其他各种区间

例1判定函数yxsinx在[02π]上的单调性

解因为在（02π）内

y1cosx0

所以由判定法可知函数yxcosx在[02π]上的单调增加

例2讨论函数yexx1的单调性（没指明在什么区间怎么办？

）

解yex1

函数yexx1的定义域为（）因为在（0）内y0所以函数yexx1在（0]上单调减少因为在（0）内y0所以函数yexx1在[0）上单调增加

例3讨论函数的单调性

解函数的定义域为（）

当时函数的导数为

（x0）函数在x=0处不可导

当x0时函数的导数不存在