中考数学热点冲刺坐标几何问题解析.docx

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中考数学热点冲刺坐标几何问题解析

坐标几何问题

一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究显得十分复杂，若通过适当的变换，即添加适当的辅助线（图），或者建立坐标系，将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，借助于坐标解决则能使原问题的本质得到充分的显示，从而使原问题顺利获解.

在坐标系内从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线（图）作法归纳为结果―――

（1）构造基本图形；

（2）构造等腰（边）三角形：

（3）构造直角三角形；（4）构造全等三角形；（5）构造相似三角形；（6）构造特殊四边形；（7）构造圆的特殊图形；方法―――（8）基本辅助线；（9）截取和延长变换；（10）对称变换；（11）平移变换和旋转变换.下面通过2019年全国各地中考的实例探讨其应用.

考向1平面直角坐标系内点的坐标特征

1.（2019·常德）点（－1，2）关于原点的对称点坐标是（）

A．（－1，－2）B．（1，－2）

C．（1，2）D．（2，－1）

【答案】B

【解析】根据平面直角坐标系中的点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y），故点（－1，2）关于原点的对称点坐标是（1，－2），故选择B．

2.（2019·杭州）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则

A．m=3，n=2B．m=-3，n=2

C．m=2，n=3D．m=-2，n=3

【答案】B

【解析】A，B关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同，故选B．

3.（2019·滨州）在平面直角坐标系中，将点A（1，－2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点B，则点B的坐标是（　　）

A．（－1，1）B．（3，1）

C．（4，－4）D．（4，0）

【答案】A

【解析】点A（1，－2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到（1－2，－2+3），即B（－1，1）．故选A．

4.（2019·泸州）在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是　　．

【答案】4

【解析】∵点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，∴a=3，b=1，∴a+b的值是4．故答案为：

4．

5.（2019·陇南）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，﹣2），“马”位于点（4，﹣2），则“兵”位于点　　．

【答案】（-1，1）．

【解析】由题意可以得到如下平面直角坐标系，则“兵”位于点（-1，1），故答案为：

（-1，1）

6.（2019·临沂）在平面直角坐标系中，点P（4，2）关于直线x=1的对称点的坐标是．

【答案】（﹣2，2）．

【解析】∵点P（4，2），∴点P到直线x=1的距离为4﹣1=3，

∴点P关于直线x=1的对称点P′到直线x=1的距离为3，

∴点P′的横坐标为1﹣3=﹣2，∴对称点P′的坐标为（﹣2，2）．

故答案为：

（﹣2，2）．

考向2点的坐标与距离（长度）的计算

1.（2019·常州）平面直角坐标系中，点P（－3，4）到原点的距离是__________．

【答案】5

【解析】本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识，根据两点间的距离公式或勾股定理，可求得点P（－3，4）到原点的距离是=5，因此本题答案为5．

2.（2019·鄂州）在平面直角坐标系中，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：

d，则点P（3，﹣3）到直线yx的距离为　　．

【答案】．

【解析】∵yx，∴2x+3y﹣5=0，

∴点P（3，﹣3）到直线yx的距离为：

，故答案为：

．

3.（2019·泰安）在平面直角坐标系中，直线l:

y=x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是________.

【答案】2n－

【解析】∵点A1是y=x+1与y轴的交点，∴A1（0，1），∵OA1B1C1是正方形，∴C1（1，0），A1C1=，∴A2（1，2），C1A2=2，A2C2=2，∴A3C2=4，A3C3=4，按照此规律，AnCn=2n－1，∴前n个正方形对角线长的和为:

+2+4+…+2n－1=（1+2+4+…+2n－1）=（1+1+2+4+…+2n－1－1）=（2n－1）=2n－.

4.（2019·河北）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A、B、C三地的坐标，数据如图（单位：

km）.笔直铁路经过A、B两地.

（1）A、B间的距离为km；

（2）计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A、C的距离相等，则C、D间的距离为km.

【答案】

（1）20；

（2）

【解析】

（1）；

（2）如图所示，

设AD=CD=x，则OD=17-x，OA=12，∵∠AOD=90°，∴，解得x=.

考向3坐标与几何图形的位置变换

1.（2019·荆州）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A'，则点A'的坐标为（　　）

A．（，1）B．（，﹣1）C．（2，1）D．（0，2）

【答案】A

【解析】如图，作AE⊥x轴于E，A′F⊥x轴于F．

∵∠AEO=∠OFA′=90°，∠AOE=∠AOA′=∠A′OF=30°，∴∠AOE=∠A′.

∵OA=OA′，∴△AOE≌△OA′F（AAS），∴OF=AE，A′F=OE=1，∴A′（，1）．故选A．

2.（2019·北京）在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为_______.

【答案】0

【解析】∵A、B两点关于x轴对称，∴B点的坐标为.

又∵A、B两点分别在又曲线和上；∴.∴；故填0.

3.（2019·攀枝花）正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y=kx＋b（k＞0）和x轴上，已知A1（0，1），点B1（1，0），则C5的坐标是.

【答案】（47，16）

【解析】如图，

C1（2，1），C2（5，2），C3（11，4），C4（23，8），…

∵C1的横坐标：

2=21，纵坐标：

1=20，C2的横坐标：

5=22＋20，纵坐标：

2=21，

C3的横坐标：

11=23＋21＋20，纵坐标：

4=22，C4的横坐标：

23=24＋22＋21＋20，纵坐标：

8=23，

…依此类推，C5的横坐标：

25＋23＋22＋21＋20=47，纵坐标：

16=24，∴C5（47，16）.

考向4坐标与几何图形

1.（2019·镇江）如图，菱形的顶点、在轴上在的左侧），顶点、在轴上方，对角线的长是，点为的中点，点在菱形的边上运动．当点到所在直线的距离取得最大值时，点恰好落在的中点处，则菱形的边长等于　　

A．B．C．D．3

【答案】A

【解析】如图1中，当点是的中点时，作于，连接．

，，，，，

，，当点与重合时，的值最大．

如图2中，当点与点重合时，连接交于，交于．设．

，，，，

四边形是菱形，，，，

，，，

，，，，，故选．

2.（2019·天水）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A、B两点，点B坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA=30°，则圆中阴影部分的面积为．

【答案】2π﹣2

【解析】连接AB，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，

∵OB=2，∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=22，AB=AO÷sin30°=4，即圆的半径为2，

∴S阴影=S半圆﹣S△ABO2×22π﹣2．故答案为：

2π﹣2．

3．（2019·龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB，BC的长分别是一元二次方程x2-7x+12=0的两个根（BC>AB），OA=2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点E出发沿折线段ED→DA向点A运动，运动时间为t（0≤t＜6）秒，设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S.

（1）求点D的坐标；

（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？

若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解：

（1）∵x2-7x+12=0，∴x1=3，x2=4，∵BC＞AB，∴BC=4，AB=3，∵OA=2OB，∴OA=2，OB=1，

∵矩形ABCD，∴点D的坐标为（-2，4）.

（2）设EP交y轴于点F，当0≤t≤2时，如图1，PE=x，

∵CD∥AB，∴△OBF∽△EPF，∴，∴，∴OF=，∴S=OF·PE==，

当2＜t≤6时，如图2，AP=6-t，

∵OE∥AD，∴△OBF∽△ABP，∴，∴，∴OF=，∴S=OF·OA==，

综上所述，.

（3）存在，P1（-2，）;P2（-2，）;P3（-2，4-）.理由如下：

①如图3，作BE的中垂线，交AD于点P1，连接P1B，P1E，设点P1的坐标为（-2，m），

在Rt△ABP1中，由勾股定理得AB2+AP12=P1B2，即32+m2=P1B2，

在Rt△EDP1中，由勾股定理得ED2+DP12=P1E2，即22+（4-m）2=P1E2，

∵P1B=P1E，∴32+m2=22+（4-m）2，解得m=，∴P1（-2，）;

②如图4，当BE=BP2时，在Rt△BCE中，由勾股定理得BE==，∴BP2=，

在Rt△ABP2中，由勾股定理得AP2==，∴P2（-2，）;

③如图5，当EB=EP3时，在Rt△DEP3中，由勾股定理得DP3==，∴AP3=4-，∴P3（-2，4-）.综上，点P的坐标为P1（-2，）或P2（-2，）或P3（-2，4-）.

考向5坐标与函数中的几何图形

1.（2019山东泰安）已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB=AB，且S△OAB=.

（1）求反比例函数与一次函数的表达式;

（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标.

解：

（1）过点A作AM⊥x轴于点M，则S△OAB==.

∵B（5，0），∴OB=5，即=，AM=3.

∵OB=AB，∴AB=5，在Rt△ABM中，BM==4，

∴OM=OB+BM=9，∴A（9，3）.

∵点A在反比例函数图象上，

∴，m=27，反比例函数的表达式为:

.

设一次函数表达式为y=kx+b，

∵点A（9，3），B（5，0）在直线上，∴3=9k+b，0=5k+b，

解之，得k=，b=，∴一次函数的表达式为:

y=x.

（2）设点P（x，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AB2=（9－5）2+32=25，AP2=（9－x）2+32=x2－18x+90，BP2=（5－x）2=x2－10x+25，根据等腰三角形的两边相等，分类讨论:

①令AB2=AP2，得25=x2－18x+90，解之，得:

x1=5，x2=13，当x=5时，点P与点B重合，故舍去，P1（13，0）;

②令AB2=BP2，得25=x2－10x+25，解之，得:

x3=0，x4=10，当x=0时，点P与原点重合，故P2（0，0），P3（10，0）;

③令AP2=BP2，得x2－18x+90=x2－10x+25，解之，得:

x=，∴P4（，0）;

综上所述，使