秋新课堂高中数学人教B版选修21学案第2章 25 直线与圆锥曲线 Word版含答案.docx
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秋新课堂高中数学人教B版选修21学案第2章25直线与圆锥曲线Word版含答案
2.5 直线与圆锥曲线
学习目标：
1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．（重点）2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．（重点、难点）
[自主预习·探新知]
1．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0.
方程特征
交点个数
位置关系
直线与椭圆
a≠0，Δ＞0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ＜0
0
相离
直线与双曲线
a＝0
1
直线与双曲线的渐近线平行且两者相交
a≠0，Δ＞0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ＜0
0
相离
直线与抛物线
a＝0
1
直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交
a≠0，Δ＞0
2
相交
a≠0，Δ＝0
1
相切
a≠0，Δ＜0
0
相离
思考：
直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？
[提示] 不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交．
2．弦长公式
当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：
若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则
|AB|＝|x1－x2|＝
＝|y1－y2|＝.
[基础自测]
1．思考辨析
（1）平面上到定点A（1,0）和到定直线l：
x＋2y＋3＝0的距离相等的点的轨迹为抛物线．（ ）
（2）一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2条．（ ）
（3）抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件．（ ）
[提示]
（1）√
（2）√
（3）× 必要不充分条件．
2．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m≥1或0＜m＜1
C．0＜m＜5且m≠1D．m≥1且m≠5
D [直线y＝kx＋1恒过定点（0,1），当（0,1）在椭圆上或椭圆内时直线与椭圆总有公共点．
∴≥1，解得m≥1.当m＝5时＋＝1表示圆．故选D.]
3．若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是（ ）
A．4 B．2C．1 D．－2
A [因为在双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，
所以若x＝a与双曲线有两个交点，
则a＞2或a＜－2，故只有A符合题意．]
[合作探究·攻重难]
直线与圆锥曲线的位置关系
[探究问题]
直线与圆锥曲线相交时，能用两点间距离公式求弦长吗？
[提示] 可以．当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法．
直线y＝mx＋1与椭圆x2＋4y2＝1有且只有一个交点，求m2的值．
[思路探究] 联立方程组，消元后利用判别式求解．
[解] 由消去y整理得
（4m2＋1）x2＋8mx＋3＝0，
由Δ＝64m2－12（4m2＋1）＝0，
得m2＝.
母题探究：
1.（改变问法）典例中若直线与椭圆相交，弦的中点的轨迹方程是什么？
[解] 设直线与椭圆交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
AB的中点坐标为M（x，y），
由消去y整理得
（4m2＋1）x2＋8mx＋3＝0，
∴x1＋x2＝2x＝－，即x＝－，①
∴y1＋y2＝2y＝－＋2，y＝－＋1＝，②
由①②得＝－4m，③
又点（x，y）在直线y＝mx＋1上，
所以m＝，④
由③④得x2＋4y2－4y＝0，
所以弦中点的轨迹方程为x2＋4y2－4y＝0.
2．（改变问法）典例中若直线与椭圆相交于A，B两点，求弦|AB|的长．
[解] 设A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y整理得
（4m2＋1）x2＋8mx＋3＝0，
∴Δ＝16m2－12＞0，解得m＜－或m＞，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝，
∴|AB|＝
＝
＝
[规律方法] 直线与圆锥曲线位置关系的判断方法
提醒：
过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.
弦长问题及中点弦问题
椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程.
【导学号：
33242204】
[思路探究] 本题有两种解法．一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”．二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含a，b的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解．
[解] 法一：
设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程并作差，得a（x1＋x2）（x1－x2）＋b（y1＋y2）（y1－y2）＝0.
而＝－1，＝kOC＝，
代入上式可得b＝a.
∵|AB|＝|x2－x1|＝2，即（x2－x1）2＝4，其中x1，x2是方程（a＋b）x2－2bx＋b－1＝0的两根，
又∵（x1＋x2）2－4x1x2＝（x2－x1）2＝4，
∴－4·＝4.
将b＝a代入，解得a＝，b＝，
∴所求椭圆的方程是＋y2＝1.
法二：
由
得（a＋b）x2－2bx＋b－1＝0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则|AB|＝
＝·.
∵|AB|＝2，∴＝1.①
设C（x，y），则x＝＝，
y＝1－x＝.
∵OC的斜率为，
∴＝，
代入①，解得a＝，b＝，
∴所求椭圆的方程是＋y2＝1.
[规律方法] 直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决（要考虑特殊情形）；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线适合题意.
[跟踪训练]
1．已知点A（－1,0），B（1,0），直线AM，BM相交于点M，且kMA×kMB＝－2.
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过定点（0,1）作直线PQ与曲线C交于P，Q两点，且|PQ|＝，求直线PQ的方程．
[解]
（1）设M（x，y），
则kMA＝，kMB＝（x≠±1），
∴×＝－2，
∴x2＋＝1（x≠±1）．
（2）当直线PQ的斜率不存在，即PQ是椭圆的长轴时，其长为2，显然不合题意，即直线PQ的斜率存在，
设直线PQ的方程是y＝kx＋1，
P（x1，y1），Q（x2，y2），
则y1－y2＝k（x1－x2），
联立
消去y得（k2＋2）x2＋2kx－1＝0.
∵Δ＝4k2＋4（k2＋2）＝8（k2＋1）＞0，∴k∈R，
x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|PQ|＝
＝
＝2·，
∴|PQ|＝＝2·，
k2＝2，k＝±，
∴直线PQ的方程是y＝±x＋1.
圆锥曲线中的最值及范围问题
已知双曲线C：
－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为3，其中一条渐近线的方程为x－y＝0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点P为椭圆E的左顶点，＝2，求||2＋||2的取值范围.
【导学号：
33242205】
[解]
（1）由双曲线－＝1的焦距为3，得c＝，
∴a2＋b2＝.①
由题意知＝，②
由①②解得a2＝3，b2＝，
∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
（2）由
（1）知P（－，0）．
设G（x0，y0），由＝2，得（x0＋，y0）＝2（－x0，－y0）．
即
解得∴G.
设A（x1，y1），则B（－x1，－y1），
||2＋||2＝2＋y＋2＋y＝2x＋2y＋＝2x＋3－x＋＝x＋.
又∵x1∈[－，]，∴x∈[0,3]，
∴≤x＋≤，
∴||2＋||2的取值范围是.
[规律方法]
（1）求参数范围的方法
据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围．
（2）求最值问题的方法
①几何法
题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决．
②代数法
题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等．
[跟踪训练]
2．已知椭圆C：
x2＋2y2＝4.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
[解]
（1）由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.
故椭圆C的离心率e＝＝.
（2）设点A，B的坐标分别为（t,2），（x0，y0），其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.又x＋2y＝4，所以|AB|2＝（x0－t）2＋（y0－2）2＝2＋（y0－2）2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4（0＜x≤4）．
因为＋≥4（0＜x≤4），当且仅当x＝4时等号成立，所以|AB|2≥8.
故线段AB长度的最小值为2.
[当堂达标·固双基]
1．直线y＝kx＋1与椭圆4x2＋y2＝1的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离D．相交或相切
D [直线y＝kx＋1过定点A（0,1），而A在椭圆4x2＋y2＝1上，故直线y＝kx＋1与椭圆相切或相交．]
2．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于（ ）
A．2或－2 B．－1
C．2D．3
C [由得k2x2－4（k＋2）x＋4＝0，
则＝4，解得k＝2（k＝－1舍去）．]
3．已知双曲线C：
x2－＝1，过点P（1,2）的直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（ ）
【导学号：
33242206】
A．1条B．2条
C．3条D．4条
B [因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，点P在一条渐近线上，
又由于双曲线的顶点为（±1,0），所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条．过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．]
4．若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且只有一个公共点，则k的值为________．
±1或± [由得（1－k2）x2＋2kx－2＝0.
当1－k2＝0时，即k＝±1时，
方程变为±2x－2＝0，x＝±1，
此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点．
当1－k2≠0时，由Δ＝4k2＋8（1－k2）＝0，
解得k＝±，
此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点．
综上所述k＝±1，±.]
5．直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．
（1）求线段AB的长；
（2）当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
【导学号：
33242207】
[解] 由
得（3－a2）x2－2ax－2＝0.
由题意可得3－a2≠0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝，x1x2＝.
（1）|AB|＝
＝
＝
＝.
（2）由题意知，OA⊥OB，则·＝0.
即x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋（ax1＋1）（ax2＋1）＝0，
即（1＋a2）x1x2＋a（x1＋x2）＋1＝0，
∴（1＋a2）·＋a·＋1＝0，
解得a＝±1.
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