极坐标与参数方程知识点总结Word文档下载推荐.docx
《极坐标与参数方程知识点总结Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《极坐标与参数方程知识点总结Word文档下载推荐.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
2,那么除极点外,平面内的点可用
唯一的极坐标,
表示;
同时,极坐标
表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化
（1）互化背景:
把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图
（2）所示:
（2）互化公式:
设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是x,y,极坐标是,0,于
是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点M直角坐标x,y极坐标,
cos
2
x2
y2
互化公式
sin
tan
x0
在一般情况下,由tan
确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.
4.常见曲线的极坐标方程
曲线图形极坐标方程
圆心在极点,半径为r的圆
圆心为r,0,半径为r的圆
圆心为
r,,
半径为r的圆
过极点,倾斜角为的直线
过点a,0,与极轴垂直的直线
过点a,,与极轴平行的直
线
r02
2r
22
2rsin0
（1）
R或
R
（2）
0或
cosa
a0
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一
即
,
2
,
都表示同一
点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同
.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式
只要求至少
有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程
点M
4
可以表示为
M,
2或M
5
等多种形式,其中,只有M
的极坐标满足方程
.
二、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中
如果曲线上任意一点的坐标
x,y
都是某个变数t的函数
ft
①,并且对
ygt
于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点Mx,y都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数
方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程
叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方
程.
如果知道变数
中的一个与参数t的关系
例如
ft,
求出另一个变数与参数
把它代入普通方程
的关系ygt
那么
就是曲线的参数方程
在参数方程与普通方程的互化中
必须使
x,y的取
gt
值范围保持一致.
注：
普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设
参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数
如图所示，设圆
O的半径为r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆
O上作匀速圆周运动，设
Mx,y
rcos
为参数。
这就是圆心在原点
O，半径为r的圆的参数方程，其中
的几何意
，则
rsin
义是OM0转过的角度。
a,b，半径为r的圆的普通方程是x
a2
b2
r2，
它的参数方程为：
a
b
4．椭圆的参数方程
以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2
y2
1ab
0其参数方程为
a2
b2
acos
为参数，其中参数
称为离心角；
焦点在y
轴上的椭圆的标准方程是
bsin
1a
bcos
为参数其中参数
仍为离心角，通常规定参数
的
b0其参数方程为
asin
范围为
0,2
。
椭圆的参数方程中，参数
的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角
区分开
来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在
0到2
的范围内），在其他任何一点，两个
角的数值都不相等。
但当
时，相应地也有
，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程
以坐标原点
O为中心，焦点在
x轴上的双曲线的标准议程为
x2
0,b0其参数方程为
asec
为参数，其中
且
3
btan
焦点在y轴上的双曲线的标准方程是
0,b
bcot
为参数，其
acsc
中0.2且
以上参数
都是双曲线上任意一点的离心角。
6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线
2px
p0的参数方程为
2pt2
t为参数
2pt
7．直线的参数方程
经过点M0
x0,y0，倾斜角为
的直线l
的普通方程是yy0
x0而过M0x0,y0
，
倾斜角为
x0
tcos
t为参数。
的直线l的参数方程为
y0
tsin
注：
直线参数方程中参数的几何意义：
过定点M0x0,y0，倾斜角为
的直线l的参数方程为
M
x,y为终点的有向线段
t为参数，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任一点
M0M的数量，当点M在M0上方时，t＞0；
当点M在M0下方时，t＜0；
当点M与M0重合时，t=0。
我们也可以把参数
t理解为以M0为原点，直线l向上的方向为正方向的数轴上的点
M的坐标，其单位长
度与原直角坐标系中的单位长度相同。
【要点名师透析】
一、坐标系
（一）平面直角坐标系中的伸缩变换
〖例〗在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换
x/
3x
2y/
（1）求点A1,
2经过变换所得的点
A的坐标；
B
（3,1）
，求点B的坐标；
（2）点B经过
变换得到点
（3）求直线l:
y
6x经过变换后所得到直线的
l方程；
C:
x2y21
（4）求双曲线64经过变换后所得到曲线C的焦点坐标。
（二）极坐标与直角坐标的互化
A（2,
）,B（2,5
）
〖例
2〗在极坐标系中，如果
为等边三角形
ABC的两个顶点，求顶点
C的极坐标
（
2）。
（三）求曲线的极坐标方程
〖例〗已知P，Q分别在∠AOB的两边OA，OB上，∠AOB=，⊿POQ的面积为8，求PQ中点M的
极坐标方程。
（四）极坐标的应用
〖例〗如图，点A在直线x=4上移动，⊿OPA为等腰直角三角形，⊿OPA的顶角为∠OPA（O，P，A依次按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状。
（一）把参数方程化为普通方程
〖例〗已知曲线
C：
（t为参数），C：
为参数）。
（1）化C，C
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C上的点P对应的参数为t
，Q为C上的动点，求
中点
到直线
2t
C3:
（t为参数）距离的最小值。
t
（二）椭圆参数方程的应用
在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求
的最大值
解答：
（三）直线参数方程的应用
〖例〗过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相应
的的值。
解析：
（四）圆的参数方程的应用
〖例〗已知曲线C的参数方程是为参数），且曲线C与直线=0相交于两点A、B
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求弦AB的垂直平分线的方程（3）求弦AB的长【感悟高考真题】
1．在极坐标系中，点（2，3）到圆
2cos
的圆心的距离为（）
（A）2（B）
2．在极坐标系中，圆
41
9（C）9（D）3
2sin的圆心的极坐标是（）
（1,
（A）
（B）
（C）（1,0）
（D）
3．在直角坐标系
xOy中，曲线C1的参数方程为
1
（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系
xOy有相同的长度单位，且以原点O为极点，以x
轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为
（cos
sin）
10,则C1与C2的交点个数为______
2cos
4．直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
3sin
为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy
取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为
（cossin）10,则C1与C2的交点个数为___
5.
（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为
=2sin4cos，以极点为原点，极轴为x
轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为
6．（2011·
陕西高考理科·
T15C）直角坐标系xoy中，以原点为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
3cos
设点A，B分别在曲线C1：
为参数）和曲线C2：
1上，则|AB|的最小值为
．
7．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系
xOy中，以原点为极点，
8.（2011.天津高考理科
.T11）.已知抛物线C的参数方程为
8t2
（t为参数）若斜率为
1的直线经过抛
8t
物线C的焦点，且与圆（x-4）
+y2=r2（r>
0）相切，则r=________.
5cos
5
t2
R）
≤＜
（t
（0
9.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为
和y
，它们
的交点坐标为
3cos（为参数）
10．
（2）在直角坐标系
xOy中，直线l
的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为
ysin
（I）已知在极坐标系（与直角坐标系
xOy取相同的长度单位，且以原点
O为极点，以x轴正半轴为极轴）
中，点P的极坐标为
4,，判断点P与直线l位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线
l的距离的最小值.
5cos
11.选修4-4：
坐标系与参数方程（本小题满分
10分）在平面直角坐标系
xOy中，求过椭圆
3sin（
为参数）的右焦点，且与直线
t（t为参数）平行的直线的普通方程。
12.（2011·
新课标全国高考理科·
Ｔ23）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
uuuv
为参数）M是C1上的动点，P点满足OP
2OM,P点的轨迹为曲线C2
x2cos
y22sin（
（Ⅰ）求C2的方程
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2
的异于极点的交点为B，求AB.
13.（2011·
新课标全国高考文科·
22sin（
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
3与C1的异于极点的交点为
A，与C2
的异于极点的交点为
B，求AB.
14.（2011·
辽宁高考理科·
Ｔ
23）（本小题满分10
分）（选修4-4：
坐标系与参数方程）在平面直角坐标系
为参数）
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
，曲线
C2的参数方程为
b0,
（a
.在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
l：
θ=a与
π
C1，C2各有一个交点．当
a=0时，这两个交点间的距离为
2，当a=2
时，这两个交点重合．
（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出
a与b的值；
（II）设当
=4时，l与C1，C2的交点分别为
A1，B1，当a=-4时，l与C1，
C2的交点为
A2，B2，求四边形A1A2B2B1
的面积．
15.
极坐标p
和参数方程
（t为参数）所表示的图形分别是（
D）
A.直线、直线B.直线、圆
C.圆、圆
D.圆、直线
16．极坐标方程（p-1）（
）=（p
0）表示的图形是
（A）两个圆
（B）两条直线
（C）一个圆和一条射线
（D）一条直线和一条射线
2sin
与
pcos
的交点的极坐标为______．
17．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ<
2）π中，曲线ρ=
为参数，0
）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，
18．已知P为半圆C:
点M在射线OP上，线段OM与C的弧
的长度均为
（I）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点
M的极坐标；
（II）求直线A
升级会员 