矩阵行列式的概念与运算.docx

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矩阵行列式的概念与运算

矩阵、行列式的概念与运算

知识点总结：

一、矩阵的概念与运算

1、矩阵中的行向量是，;

2、如：

，那么

矩阵加法满足交换律和结合律,即如果是同阶的矩阵,那么有：

。

同理如果矩阵是两个同阶矩阵,那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵叫做矩阵与的差，记作。

实数与矩阵的乘法满足分配律：

即。

矩阵对乘法满足：

，

3、矩阵乘法不满足交换率,如

矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵的列数与右边矩阵的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。

二、行列式概念及运算

1.用记号表示算式,即=，其中叫做二阶行列式;算式叫做二阶行列式的展开式；其计算结果叫做行列式的值;都叫做行列式的元素.利用对角线可把二阶行式写成它的展开式，这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法则；即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积.

2。

二元一次方程组的解

二元一次方程组（其中不全为零）；记叫做方程组的系数行列式；记,即用常数项分别替换行列式中的系数或的系数后得到的。

（1）若D则方程组有唯一一组解,;

（2）若,且中至少有一个不为零,则方程组无解；

（3）若,则方程组有无穷多解.

3.三阶行列式及对角线法则

用表示算式;其结果是。

我们把叫做三阶行列式；叫做三阶行列式的展开式.其计算结果叫做行列式的值；（）都叫做三阶行列式的元素。

4．三阶行列式按一行（或一列）展开

把行列式中某一元素所在的行和列去后，剩下的元素保持原来的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式;余子式前添上相应的正负号叫做该元素的代数余子式;其中第行与第列的代数余子式的符号为.

三阶行列式可以按其一行或一列）展开成该行（或该列）元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

三阶行列式有有两种展开方式：

（1）按对角线法则展开，

（2）按一行（或一列）展开。

5.三元一次方程组的解

三元一次方程组

记为方程组的系数行列式；记，

，即用常数项分别替换行列式中的系数后得到的。

（1）当时,方程组有惟一解

（2）当时,方程组有无穷多组解或无解。

举例应用:

一、填空题：

1、已知，则;

解:

;

2、已知，则；

解：

；

3、已知，则；

解：

4。

矩阵的一种运算该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点在矩阵的作用下变换成曲线的值为.

解：

由题意,代入,整理可得令，，，用待定系数法

二、选择题

5、给出下列三个式子：

（1）

（2）

（3）

其中正确的式子的个数是（）

A。

0个B。

1个C。

2个D。

3个

解：

由于上面各命题都不对,所以选择（A）

6。

下面给出矩阵的一些性质中正确的是（）

A.AB=BAB.若AB=（0）,则A=（0）或B=（0）C。

若AB=AC，则B=CD.（AB）C=A（BC）

解：

根据矩阵的性质,知道（A），（B）,（C）都不对，所以选取（D）

7、已知若A=2B,则x,y的值分别为（）.

A.1，2B。

C.2，1D。

不存在

解：

由

8、下列说法正确的是（）.

A。

任意两个矩阵都可以相加

B。

任意两个矩阵都可以相乘

C.一个阶矩阵与一个阶矩阵相乘得到一个阶矩阵

D。

一个阶矩阵与一个阶矩阵相乘得到一个阶矩阵

解：

根据矩阵的乘法性质，得到（C）成立。

三、解答题

9、已知矩阵，求矩阵，使

解：

设，则

由，得。

10．给出方程组有唯一解的充要条件

解：

由

即对应

即，所以当且仅当时有唯一解。

11．

（1）求的值;

（2）求

解：

（1）

（2）由此猜想：

，下面用数学归纳法加以证明

证明：

（1）当时,等式成立：

（2）当时，等式成立，即，

那么

则当时，等式成立。

根据

（1）、

（2）的证明知等式对都成立。

12、某电器商场销售的彩电、U盘和MP3播放器三种产品。

该商场的供货渠道主要是甲、乙两个品牌的二级代理商。

今年9月份,该商场从每个代理商处各购得彩电100台、U盘52个、MP3播放器180台。

而10月份，该商场从每个代理商处购得的产品数量都是9月份的1.5倍。

现知甲、乙两个代理商给出的产品单价（元）入下表所示：

彩电

U盘

MP3播放器

甲代理商单价

2350

1200

750

乙代理商单价

2100

920

700

（1）计算，并指出结果的实际意义；

（2）用矩阵求该商场在这两个月中分别支付给两个代理商的购货费用。

解：

（1），第一行表示9月份该商场从两个代理商处购得的彩电、U盘、MP3播放器的数量，第二行表示10月份该商场从两个代理商处购得的彩电、U盘、播放器的数量。

（2）

即9月份付给甲代理商的购货费为432400元，付给乙代理商的购货费为383840元;10月份付给甲代理商的购货费为648600元，付给乙代理商的购货费为575760元。

13．关于的二元方程组，并讨论解的情况.

解:

,

（1）当即且时，方程组有唯一解

（2）当时，，方程组有无穷多组解,此时方程组可化为，

令,则原方程组的解可表示为.

（3）当时,但，方程组无解。

14．已知函数

（1）当时，解不等式；

（2）求的取值范围,使得在上是单调函数。

解

（1）：

原不等式即为，解得；

（2），且当或时,在上是单调函数。

15．解方程组：

解：

（1）当且时，方程组有唯一解

（2）当时,原方程组为消去得，所以方程组无解.

（3）当时,原方程组为,所以方程组有无穷多解。

16．已知行列式

（1）写成元素的余子式，代数余子式；

（2）将该行列式按第二列展开;

（3）求证:

（4）若为整数，试判断该行列式的值能否被整除；

解：

（1）的余子式为,代数余子式。

（2）按第二列展开为

=

=

（4），又为整数，所以也为整数，该行列式的值能被整除.

17．顶点为的的面积等于行列式的值的绝对值的一半.试用此结论求：

（1）求以为顶点的四边形的面积;

（2）已知，若和所对应的点分别为，你能得出什么结论?

解：

作图可知四边形由两个三角形与组成。

由已知可得:

的绝对值=的绝对值=9。

的绝对值的绝对值

所以所求四边形的面积为.

（3）依题意：

的绝对值

所以的面积为，从而点三点共线.

18。

已知函数的定义域为，最大值为4．试求函数（）的最小正周期和最值．

解：

当＞0时，，

解得，从而，，

T=，最大值为，最小值为；

当m＜0时,,解得，

从而,,

T=，最大值为，最小值为．