循环矩阵的性质及其应用概要Word格式.docx
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an1
an2
A
an3
a3
特别地，n阶循环矩阵：
1
D
称为n阶基本循环矩阵，简记为：
Dcirc（0,1,0,,0）显然,D,D2,D3,DnI（n
阶单位矩阵）都是循环矩阵,由此得Aa0Ia1Da2D2an1Dn1,设
f（x）a0a1xa2x2an1xn1,
则Af（D）,这时a0a0I.
记Cnn为复数域C上的全体n阶方阵，Rnn为实数域上的全体n阶方阵，它们分别构成复数域和实数域上的n2维向量空间，记tr（A）为矩阵A的迹，AH为A的转置共轭阵.
定义1.2[2]设ACnn（Rnn）,如果矩阵A的最小多项式等于特征多项式，则
称A为循环矩阵.
定义1.3[2]设A是n维向量空间V上的一个线性变换，若存在向量V，
使得,A,,An1线性无关.则称为A的一个循环向量.
定义1.4[4]已知n阶基本循环矩阵
并令
IiDi（i1,2,,n），
称I,I1,I2,In1为循环矩阵基本列（其中IDnIn为单位矩阵）.
.循环矩阵的性质
2.1循环矩阵基本性质
性质2.1.1
性质2.1.2
[3]循环矩阵基本列I,I1,I2,In1是线性无关的.
[3]任意的n阶循环矩阵A都可以用循环矩阵基本列线性表出，即
Aa0Ia1I1an1In1.
b0
b1
b2
bn1
bn2
证明设A
，B=
bn3
b3
性质2.1.3
同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵.
，则
AB
+
a0an1an2
显然AB为循环矩阵.
定理2.1.1设A、B为n阶循环矩阵，则有：
（1）
ABBA；
乘积AB仍是循环矩阵，且满足乘法交换律，
（2）若A可逆，则A的逆矩阵也是循环矩阵；
证明
（1）设Aa0Ia1Da2D2an1Dn1f（D），
Bb0Ib1Db2D2bn1Dn1g（D），因为DnDnk（其中K为非负整数，
DI），所以
ABf（D）g（D）g（D）f（D）h（D）BA，
此处h（P）为不高于n1次的多项式，因此AB为n阶循环矩阵，且ABBA.
满足条件ABI即可.
设Aa0Ia1Da2D2an1Dn1，Bb0Ib1Db2D2bn1Dn1，有
AB（a0Ia1Da2D2an1Dn1）（b0Ib1Db2D2bn1Dn1）
要使ABI，则以下方程组必须成立：
a0b0an1b1a1bn11
a1b0a0b1a2bn10
an1b0an2b1a0bn10
解以上方程组可转化为求解：
AT（b0,b1,b2,bn1）T（1,0,0）T，因为A可逆，所
以ATA0，因此方程有唯一的解b0,b1,b2,bn1，可得到唯一的矩阵B，B为A的逆矩阵，且B为循环矩阵.
性质2.1.4n阶循环矩阵A的伴随矩阵A*也是循环矩阵.
证明伴随矩阵A*AA1，由定理2.1.1可知
A1b0Ib1Db2D2bn1Dn1
为循环矩阵，因此
A*A（b0Ib1Db2D2bn1Dn1）Ab0IAb1DAb2D2Abn1Dn1
也是循环矩阵.
2.2关于循环矩阵的判定相关性质
由定义1.2，有如下性质：
引理2.2.1[2]设ACnn（Rnn）,则rank（AHA）rank（AAH）rank（A）.
定理2.2.1[2]设ACnn（Rnn）,则A为循环矩阵的充要条件是矩阵
tr（IHI）tr（IHA）tr（IHAn1）
HHHn1
tr（AHI）tr（AHA）tr（AHAn1）
tr（An1）HItr（An1）HAtr（An1）HAn1
是满秩的.
由定义1.3，有如下性质：
引理2.2.2[2]设A是n维向量空间V上的一个线性变换，A有一个循环向量的充要条件是A的最小多项式等于特征多项式.
由此可知A为循环矩阵的充要条件是A有一个循环向量.
定理2.2.2设ACnn（Rnn）,rank（An）rank（An-1），则A为循环矩阵.
证明由于rank（An）rank（An-1），故n-rank（An-1）nrank（An），即An1的核空间的维数小于An的核空间的维数.所以必存在向量Cn（Rn），使得
An10，而An0.
下面证明就是A的一个循环向量，即,A,,An1线性无关.
设x1,x2,,xnC（R），且满足x1x2AxnAn10，则
An1（x1x2AxnAn1）x1An1x2AnxnA2n2x1An10
所以x10，x2AxnAn10，从而
An2（x2AxnAn1）0，
即x2An10，所以x20，x3A2xnAn10.
依次类推下去，可得x1x2xn0，因此,A,,An1线性无关，
即为A的一个循环向量，所以A是循环矩阵.
2.3循环矩阵可逆的判定及互素推论
推论2.3.1[5]循环矩阵A可逆的充要条件是方程a0a1xa2x2anxn0无单位根.
推论2.3.2设A是以a1,a2,,an为元素的n阶循环矩阵，则A可逆的充要条件是f（x）a1a2xa3x2anxn1与xn1互素，即（f（x）,xn1）1.
证明由Af
（1）f
（2）f（n），A可逆的充要条件是A0，即
f（x）a1a2xa3x2anxn1与xn1没有公共根，从而（f（x）,xn1）1.
推论2.3.3若f（x）a1a2xa3x2anxn1与xn1互素，则
f1（x）ana1xa2x2an1xn1，f2（x）an1anxa1x2an2xn1
⋯⋯fn1（x）a2a3xa4x2a1xn1都与xn1互素.
证明因为分别以f1（x）,f2（x）,,fn1（x）的系数为元素的循环矩阵和以
f（x）的系数为元素的循环矩阵的行列式最多相差一个符号，由推论2.3.2便可推出此推论.
2.4循环矩阵的一个定理及其得出的推论
2.5
n
n0
为所有n1次单位根.
表示的意义均和定理2.4.1相同.
推论2.4.1[5]循环矩阵A的秩为1,2,,n中非零数的个数.
2.6循环矩阵对角化相关性质
性质2.5.1任何一个循环矩阵A在复数域上都与一个对角矩阵相似.
证明n阶循环矩阵D的特征值为
2k2k2kcosisin（k0,1,2,,n1）（i21）nn
由于kj（kj）,又因D相似于对角矩阵
diag0,1,,n1
即存在可逆矩阵P，P1DP.
设Aa0Ia1Da2D2an1Dn1f（D）是任意一个循环矩阵，则A相似
于对角矩阵
diagf（0）,f
（1）,f（n1）
事实上，DPP1
Af（D）f（PP1）a0Ia1PP1an1Pn1P1
Pdiagf（0）,f
（1）,f（n1）P
定理2.5.1任何一个对角矩阵都相似于一个循环矩阵.证明设是n阶对角矩阵
diag1,2,,n
其中1,2,,n为复数.
2n1
a0a1n1a2n21an1nn11
其中0,1,n1是n阶循环矩阵D的特征值
kcos2kisin2k（k0,1,2,,n1）nn
则以a0,a1,an1为未知数的上述方程组有且仅有唯一解，因为它的系数行列式是范德蒙行列式，且0,1,n1互不相等，从而系数行列式不为零.
构造n阶循环矩阵则A的特征值为1,2,,n.
由性质2.5.1，A相似于对角矩阵
推论2.5.1n阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是A相似于某个循环矩阵.
证明充分性：
若A相似于循环矩阵B，由性质2.5.1，B与某对角矩阵相似.根据相似关系的可传递性知，A相似于对角矩阵.
必要性：
若A相似于对角矩阵，由定理2.5.1知，对角矩阵相似于某个循环矩阵B.根据相似关系的可传递性知，A相似于循环矩阵.
性质2.5.2复数域上任意一个n阶矩阵都可以对角化，更一般地，可由同一个复n阶可逆矩阵，使复数域上任意n阶循环矩阵同时对角化.
证明由性质2.5.1易知，任意一个n阶矩阵A都可以对角化，由于A是任
意的，所有的结论全部得证.
2.7等比数列构成的循环矩阵相关性质
设序列aiin1是公比为q的等比数列，把由该序列构成的循环矩阵记为
矩阵A可逆时，其逆矩阵由序列biin1构成，记为
定理2.6.1若等比数列aiin1满足q1，若n为偶数时，q1，则由该数
列构成的循环矩阵
（1）的逆矩阵
（2）存在，且
b11
n，b2
qb1
q
n，b3
b4
bn.
a1（1q
n）
n）3
即
A1
（3）
证明只须确定bi（i
1,2,
n），由
A1A
E
，即A（A
1）
E知，A乘（A1）
的第一列等于E的第一列可得bi满足的方程组.
A（b1,b2,bn）（1,0,,0）（4）
注意到aiai1q（i2,3,,n），ana1qn1，对（4）的增广矩阵进行初等变换
an
a4
a5
a1（1qn）
（1qn
）
a1（1
q）
q1，知a1（1qn）0，可得
又a10,q1，当n为偶数时，
定理及（3）式成立，证毕.
由上述定理及（3）式易得
推论2.6.1[8]若等比数列aiin1满足公比q1，当n为偶数时，q1，则
由该数列构成的循环矩阵A及其逆矩阵A1的行列式分别为：
2.8循环矩阵行列式与特征值相关性质
性质2.7.1若A为复数域上的
n阶循环矩阵
那么A的行列式
detAf（0）f
（1）f（n1），
这里kcos2kisin2k（k0,1,2,,n1）是全部n次单位根，
nn
证明作n阶矩阵
n1
2
diag（f（0）,f
（1）,,f（n1））.
所以det0，从而
detf（0）f
（1）
detAdetdet（A）det（diag（f（0）,f
（1）,f（n1）））
f（n1）.
的循环矩阵，且设
定理2.7.1[9]设A是形如
f（x）aiXi，0,1,,n1是1的全部n次单位根.
i0
isin2k（k0,1,2,,n1）n
这里i是虚数单位（i21），则A的n个特征值是：
f（0）,f
（1）,f（n1）,
注意detAf（k）.
k0
2.9循环矩阵的奇异性
定理2.8.1[9]在定理2.7.1的条件下，循环矩阵A奇异的充要条件是存在
某个
j（0jn1），使
f（j）0.
由于对任意的自然数n，01是1的n次单位根，故有
推论2.8.1[9]若ai0，则A奇异.
推论2.8.2[9]设n为偶数，若
（1）iaj0，则A奇异.
2.10循环矩阵与向量空间相关性质
定理2.9.1数域P上的所有nn阶循环矩阵按照矩阵的加法和乘法构成一个向量空间，其基为循环矩阵基本列I,I1,,In1，零向量为n阶零方阵，负向量为A.
证明对于数域P上的所有nn阶循环矩阵，很容易证明任意两个循环矩阵相加还是循环矩阵，循环矩阵的任意常数倍还是循环矩阵，那么就得到了这个定理.
三．广义循环矩阵
定义3.1若把a0,a1,a2,⋯,an推广为m阶方阵A0,A1,⋯,An时，我们称矩
为广义循环矩阵。
A1,⋯,An两两可换，我们称矩阵
A0
An1
An
A=
A02
A12
An21
An2
A0n
A1n
Ann1
Ann
为广义范德蒙矩阵，其行列式为广义范德蒙行列式．
定理1设E是m阶单位阵,且A0,A1,⋯,An均是m阶方阵且两两可换，矩
是广义循环矩阵，
An2
A2
A3
E0
D=02
12
2n1
2n
20
2n1
E1
0n
1n
nn1
其中矩阵
jein1,i2
Aji,ij0
1,j0,1,...,n
为m阶数量方阵,i0,1,...,n;
类似地由定理2可以得到下面的推论,推论中D,i和i所表示的意义均和定理2
相同。
推论3.1
对于广义循环矩阵D，我们有detDdet（i）．i0
推论3.2
广义循环矩阵
D可逆的充要条件是矩阵Ai均可逆，i=0，1，?
，n
推论3.3
推论3.4
定义3.2
D的特征值为矩
0,1,
n的全部特征值．
ran1
J
ran2
ra1
ra2
ra3
r-循环矩阵
D的秩rank（D）rank（i）。
令：
J0
，则J02
r
00
关于r-循环矩阵也有与循环矩阵的性质和结论。
J0n
rE
定义
3.3
向后（对称）循环矩阵
3.4
后（对称）r-循环矩阵
ra0
ran3
ran2
3.5
向后单位置换矩阵
K2=E,
K=K*
参考文献
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