七年级上一元一次方程培优讲义精品Word文档下载推荐.docx
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举例
联系
学
等式
用等号连接的式子。
3+2=5，x+1=0
都是
内
方程
含有未知数的等式。
X+1=0，x+y=2
用等
容
一元一次
方程两边都是整式，只含有一个未知数并且
X+1=0，2
号连
未知数的指数是一次的方程。
5
接的
y+1=1y
2
式子
方程的解的概念：
使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
（1）解方程的概念：
求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。
（2）判断一个未知数的值是不是方程的解：
将未知数的值代入方程，看左右两边的值是否相等，能使方程左右两边相等的味之素的值就是方程的解。
否则就不是方程的解。
一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路。
一般步骤
注意点
（1）去分母
（2）去括号
方程的每一项都要乘以最简公分母
去掉括号，括号内的每项符号都要同时变或不
变
（3）移项
（4）合并同类项
移项要变号
只要把系数合并，字母和它的指数不变。
（5）方程两边同除相除时系数不等于0。
若为0，则方程可能无
以未知数的系数解或有无穷多解。
重点题型总结及应用
知识点一：
一元一次方程的概念
例1、已知下列各式：
①2x－5＝1；
②8－7＝1；
③x＋y；
④1x－y＝x2；
⑤3x＋y＝6；
⑥5x＋3y＋4z＝0；
⑦1－1＝8；
⑧x＝0。
其中方程的个数是（
）
m
n
A、5
B、6
C、7
D、8
举一反三：
【变式1】判断下列哪些方程是一元一次方程：
（1）-2x2+3=x
（2）3x-1=2y
（3）x+1=2
（4）2x2-1=1-2（2x-x2）
x
【变式】若关于
的方程
mx
m2
3
是一个一元一次方程，则m
_______．
【变式3】若关于x的方程k
x3
kx
k2
0是一元一次方程，则k
_______
m3
是一元一次方程，则m
4
【变式5】若关于x的方程
2（m
2）
x2
（m2）x
5是一元一次方程，
则m_______．
【变式6】已知：
（a－3）（2a＋5）x＋（a－3）y＋6＝0是关于x的一元一次方程，
则a=_______．
知识点二：
方程的解
题型一：
已知方程的解，求未知常数
例2、当k取何值时，关于x的方程4xk
5x0.8
kx的解为x
2？
0.5
0.2
0.1
已知ymmym．
（1）当m4时，求y的值；
（2）当y4时，求m的值．
题型二：
已知一方程的解，求另一方程的解
例3、已知x
1是关于x的方程1
1
的解，解关于y的方程：
（mx）2x
m（y3）2m（2y5）．
题型三：
同解问题
例4、方程2x3
3a
的解相同，求a的值.
3与1
【变式1】已知方程4x
2m
3x
1与方程3x2m
6x
1的解相同．
（1）求m的值；
（2）求代数式（m
3）2010（2m
2）2011的值．
【变式2】已知方程2
x1
x与方程4
kx2
3k
2x的解相同，求
k的值.
【变式3】方程23（x1）
0的解与关于x的方程k
3k22x的解互为倒数，
求k的值。
题型四：
已知方程解的情况，求未知常数的取值范围
例5、要使方程
ax=a的解为
1,则（
A.a
可取任何有理数
B.a
＞0
C.a
＜0
D.a
≠0
例6、关于
x的方程
ax+3=4x+1的解为正整数
则
a的值为（
A.2
B.3
C.1
或
D.2
已知方程2ax=（a＋1）x+6,求a为何整数时,方程的解是正整数.
知识点三：
等式的性质（方程变形——解方程的重要依据）
注：
分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为，
如方程：
x3－x4=1.6，将其化为：
－=1.6。
方程的右边没有变化，
这要与“去分母”区别开。
例7、下列等式变形正确的是（
A.若x
y,则x5y5
B.
若a
b,则acbc
C.若a
b,则2a3b
D.
若x
y,则x
y
c
1、若ax
ay,下列变形不一定正确的是（
A.ax
by5
ax
3by3
C.
1ax
1ay
xy
2、下列等式变形错误的是（）
A.由a=b得a+5=b+5B.
由a=b得6a=6b
C.由x+2=y+2得x=y
由x÷
3=3
÷
y得x=y
3、运用等式性质进行的变形,正确的是（）
A.如果
a=b
那么
a+c=b-c;
如果
6＋a=b-6
a=b;
C.如果
a×
3=b÷
3;
a2=3a
a=3
4、下列等式变形错误的是（）
A.由a=b得a+5=b+5
B.由a=b得a
bC.由x+2=y+2得x=yD.由-3x=-3y
得
9
x=-y
5、运用等式性质进行的变形,正确的是（）
A.
如果a=b,那么a+c=b-c;
如果a
b,那么a=b;
如果a=b,那么a
b;
如果a2=3a,那么a=3
6、如果ma=mb，那么下列等式中不一定成立的是（
A.ma+1=mb+1B.ma—3=mb—3
C.a=b
1ma
1mb
7、运用等式性质进行的变形,正确的是（）。
b
如果a2
3a,那么a=3
知识点四：
解一元一次方程的一般步骤：
例8、（用常规方法）解方程：
1
x1=2
2x1
（非常规方法解方程）
（一）巧凑整数解方程
例9、解方程：
11＋9x＝2－5x
9797
思路点拨：
仔细观察发现，含未知数的项的系数和为，
常数项和为，故直接移项凑成比先去分母简单。
【变式】解方程：
0.4x＋0.9－0.04＋0.3x＝2x－5
0.050.02
（二）巧用观察法解方程
例10、解方程：
1（y＋1）＋1（y＋2）＝3－1（y＋3）
234
（三）巧去括号法解方程
含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方
法，以避免繁杂的计算过程。
3x－5＋
－＝
例11、解方程：
3
6
因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系，所以从向去括号可以使计算简单。
－
2
x2
22
（四）运用拆项法解方程
在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆
项后
再合并，有时可以使运算简便。
例12、解方程：
x＋3－2－3x＝5
482
注意到_____________________，这样逆用分数加减法法则，可使计算简
便。
（五）巧去分母解方程
当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现
比较繁琐的运算。
为了避免这样的运算。
应把分母化成整数。
化整数时，利用分数的基
本性质将各个分子、分母同时扩大相同的倍数即可。
x－1.3－2x
例13、解方程：
0.070.7
＝1
（六）巧组合解方程
例14、解方程：
x－5＋x＋5＝x－3＋2x＋3
3849
按常规解法将方程两边同乘化去分母，但运算较复杂，注意到左边
的第一项和右边的第项中的分母有公约数，左边的第项和右
边的第一项的分母有公约数，移项局部通分化简，可简化解题过程。
（七）巧解含有绝对值的方程
解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。
对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个
一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则_________________________。
例15、解方程：
|x－2|－3＝0
解法一：
解法二：
【变式1】5|x|－16＝3|x|－4
【变式2】3x14
解一元一次方程常用的技巧有：
（1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。
（2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。
（3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。
（4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形。
知识点五：
理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用题型一：
方程有唯一解
例16、若（3a+2b）x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且x有唯一解,求这个解.
方程有无数解
例17、关于x的方程
3x－4=a－bx
有无穷多个解,则
a.b
的值应是（）
A.a=4,b=
－3
B.a=
－4,b=
－3
C.a=4,b=3
D.a.b
可取任意
数
方程无解
例18、已知关于
a
x1（x
6）无解，则
a的值是（
26
A.1
B.-1
±
D.不等于
1的数
1、已知关于x的方程a（2x-1）=3x-2无解，试求a的值．
2、若关于x的方程︳2x－1︳+m=0无解,则m=____________.
3.
（1）关于x的方程4k（x+2）－1=2x无解,求k的值;
（2）关于x的方程kx－k=2x－5的解为正数,求k的取值范围.
4、已知关于x的方程a（2x－1）=4x+3b,当a、b为何值时:
（1）方程有唯一解?
（2）方程有无数解?
（3）方程没有解?
总结升华：
理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况
（1）a≠0时，方程有唯一解x=；
（2）a=0，b=0时，方程有无数个解；
（3）a=0，b≠0时，方程无解。
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