部编人教版九年级数学上册教学论文一元二次方程根的分布范围的妙解Word格式.docx

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怎样能解决这样的问题呢？

这是学生难以搞懂的一个问题。

下面我们用一种巧妙的解法------“换元法”来解决这个问题。

关于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下面的三个结论是极易证明的。

定理 

有方程ax2+bx+c=0（a≠0），如果

（1）方程有一根大于0而另一根小于0，那么△≥0，且＜0；

反之，如果△≥0，且＜0,那么方程ax2+bx+c=0的两根中，一根大于0而另一根小于0.

（2）方程的两根都大于0，那么△≥0且＜0,＞0；

反之,如果△≥0且＜0，＞0，那么方程ax2+bx+c=0的两根都大于0.

（3）方程的两根都小于0，那么△≥0且＞0，＞0；

反之，如果△≥0且＞0，＞0，那么方程ax2+bx+c=0的两根都小于0.

应用上述定理中的三个结论，便可以解决各种类型的一元二次方程实根分布范围的问题。

当然还必须运用一定的方法----“换元法”来辅助完成。

例题1、若方程mx2-2x-6m-4=0的两根，一个根大于1而另一个根小于1，求的取值范围。

解：

∵此题求的根的分布范围与1的关系，

∴可以设x=y+1,代入原方程得：

my2+（2m-2）y-（5m+6）=0. 

（1）

则方程

（1）的两根中一根大于0，而另一根小于0，由定理中的结论

（1）得:

＜0,

解这个不等式就可求得m的取值范围是:

m＜-或m＞0.

例题2、若方程x2+（m+2）x+4=0的两根均比1大，求m的取值范围。

解：

因为两根都要大于1，而设x=y+1,则y就是大于0的根代入原方程得：

y2+（4+m）y+（m+7）=0 

（1）

则方程

（1）的两根都大于0，由定理中的结论

（2）得:

（4+m）2-4（m+7）≥0,

4+m＜0,

m+7＞0.

解这个不等式组，即得的取值范围是-7＜m＜-6,或m≥2.

例题3、若方程x2+（m-2）x+（5-m）=0的两根都小于2，求的取值范围。

因为两根都小于2，则设x=y+2,代入原方程得：

y2+（2+m）y+（m+5）=0 

则方程

（1）的两根都小于0，由定理中的结论（3）得：

（2+m）2-4（m+5）≥0,

2+m＞0,

m+5＞0.

解这个不等式组，即得m的取值范围是:

-5＜m≤-4或m≥4.

例题4、已知方程x2+mx+2（m+1）=0有一个根小于1而另一根大于3，求m的取值范围。

由方程的一根小于1而另一根大于3，于是可设x=y+1，代入原方程得：

y2+（m+2）y+（3m+3）=0

则此方程有一根小于0而另一根大于0，由定理中的结论

（1）得：

3m+3＜0 

（1）.

又由方程的一根小于1而另一根大于3，于是可以设x=y+3，代入原方程得：

y2+（m+6）y+（5m+11）=0

5m+11＜0 

（2）.

解由

（1）、

（2）联立的不等式组，即得m的取值范围是:

m＜-.

例题5、已知方程（1+m）x2-3mx+4m=0的两根都大于2而小于5，求的取值范围。

∵方程有实根，

∴△=9m2-16m（m+1）

=-7m2-16m≥0

即 

-≤m≤0 

由方程的两根都大于2，于是可设x=y+2，代入原方程得:

（1+m）y2+（2-m）y+（2m+4）=0

则此方程的两根都大于0，由定理中的结论

（2）得：

＜0 

＞0.

∴m＞2或m＜-2 

（2）

又∵方程的两根都小于5，

∴可设x=y+5,代入原方程得：

（1+m）y2+（10+7m）y+14m+25=0

则此方程的两根都小于5，由定理中的结论（3）得;

＞0

＞0.

∴m＞-1,或m＜-. 

（3）

解由

（1）、

（2）、（3）联立的不等式组，即得m的取值范围是:

-≤m≤-2.

例题6、若方程mx2+2（m-1）x+（m-1）=0的两根x1、x2为且-1＜x1＜0, 

0＜x2＜1,求m的取值范围。

由题意知，原方程的两根都大于-1，于是可以设x=y-1，代入原方程得：

my2-2y+1=0

＜0

∴m＞0 

又由题意知，原方程的一根大于0而另一根小于0，由定理中的结论

（1）得：

＜0,

∴0＜m＜1 

（2）

又由题意知，原方程的两根都小于1，于是可以设x=y+1，代入原方程得：

my2+（4m-2）y+（4m-3）=0

则此方程的两根都小于0，由定理中的结论（3）得：

＞0

∴m＞或m＜0. 

解由

（1）、

（2）、（3）联立的不等式组，即得的取值范围是:

＜m＜1.

例题7、若x=1时，代数式ax2+bx+c的值小于0；

当a＞0,且有b2-4ac≥0，试证明ax2+bx+c的一根大于1而另一根小于1.

证明：

由已知条件知，x=1时，a*12+b*1+c=a+b+c＜0

因为要证明的根与1有关，所以设x=y+1，代入所给方程得:

ay2+（2a+b）y+（a+b+c）=0 

∵b2-4ac≥0,

a＞0,a+b+c＜0,

∴＜0 

由定理中结论

（1）可知，方程

（1）的一根大于0而另一根小于0，从而由x=y+1知方程ax2+bx+c=0的一根大于1而另一根小于1.