八年级数学下册第四章因式分解试题新北师大Word文件下载.docx

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三项

适用

条件

有公因式

平方差形式

（1）两项.

（2）每项都是平方的形式.（3）两项符号相反

完全平方形式

（1）三项.

（2）两项是平方的形式.

（3）另一项是两数乘积的二倍

【例1】分解因式：

2x2-6x=________.

【标准解答】两项中都含有公因式2x，提取公因式2x得2x2-6x=2x（x-3）.

答案：

2x（x-3）

【例2】分解因式：

4x2-1=________.

【标准解答】4x2-1=（2x）2-12=（2x+1）（2x-1）.

（2x+1）（2x-1）

【例3】分解因式：

（a+b）3-4（a+b）=________.

【标准解答】

（a+b）3-4（a+b）

=（a+b）

=（a+b）（a+b+2）（a+b-2）.

（a+b）（a+b+2）（a+b-2）

【例4】分解因式：

a3-10a2+25a=________.

【标准解答】a3-10a2+25a=a（a2-10a+25）=a（a-5）2.

a（a-5）2

【例5】分解因式：

（2a-b）2+8ab=________.

（2a-b）2+8ab=4a2-4ab+b2+8ab=4a2+4ab+b2=（2a+b）2.

（2a+b）2

1.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（　　）

A.x2+1B.x2+2x-1

C.x2+x+1D.x2+4x+4

2.分解因式：

（x+3）2-（x+3）=________.

3.在实数范围内因式分解x4-4=________.

4.因式分解：

x3y2-x5=________.

5.分解因式：

-a3+a2b-

ab2=________.

6.给出三个多项式

x2+x-1，

x2+3x+1，

x2-x，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.

2.分解因式与整体代入求值

（1）利用平方差公式分解因式，再整体代入求值

通过对已知条件或对所求代数式利用平方差公式进行因式分解，再整体代入求值.

【例1】若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n=________.

【标准解答】m2-n2=（m+n）（m-n）

=2（m+n）=6，∴m+n=3.

3

（2）利用完全平方公式分解因式，再整体代入求值

通过对已知条件利用完全平方公式分解因式，对所求代数式化简分解因式，找出已知条件与所求代数式之间的关系，然后整体代入求值.

【例2】已知a2+2ab+b2=0，求代数式a（a+4b）-（a+2b）（a-2b）的值.

【标准解答】∵a2+2ab+b2=0，∴a+b=0，

又∵a（a+4b）-（a+2b）（a-2b）=a2+4ab-（a2-4b2）=4ab+4b2=4b（a+b）.

∴原式=4×

b×

0=0.

1.若m-n=2，m+n=5，则m2-n2的值为________.

2.已知m+n=3，求2m2+4mn+2n2-6的值.

3.因式分解的解题技巧

（1）通过加减变形，进行因式分解

分解某些多项式，有时需要加上并减去一个适当的项，从而在多项式的值保持不变的前提下达到因式分解的目的.

4a4+1.

【标准解答】本题只需在原式中加上并减去4a2，即能运用完全平方公式和平方差公式进行分解.

原式=4a4+1+4a2-4a2=（4a4+4a2+1）-4a2

=（2a2+1）2-（2a）2=（2a2+2a+1）（2a2-2a+1）.

（2）通过拆项变形，进行因式分解

当多项式的因式分解遇到困难时，有时也可考虑采用拆项的方法，将多项式中的某一项进行拆分，然后将新得到的多项式进行适当组合，同样可以实现因式分解.

2x3+3x2-1.

【标准解答】将3x2拆成2x2+x2，再将2x2与2x3组合，x2与-1组合，则能运用提取公因式法与平方差公式进行分解.

原式=2x3+2x2+x2-1

=（2x3+2x2）+（x2-1）

=2x2（x+1）+（x+1）（x-1）

=（x+1）（2x2+x-1）.

（3）通过换元变形，进行因式分解

当多项式的次数较高，且其中含有相同的多项式因子时，采用换元法就能降低原多项式的次数，从而简化因式分解操作.

（a2+2a）（a2+2a+4）+4.

【标准解答】设y=a2+2a，则原式=y（y+4）+4=y2+4y+4=（y+2）2，

∴（a2+2a）（a2+2a+4）+4=（a2+2a+2）2.

（4）由整式的乘法可知，（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，根据因式分解与整式乘法的关系可得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）.因此可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式.

例如，将式子x2+3x+2分解因式，这个式子的二次项系数是1，常数项2=1×

2，一次项系数3=1+2，因此这是一个符合x2+（p+q）x+pq型的式子，利用这个关系可得x2+3x+2=（x+1）（x+2）.

【例4】利用这种方法，将下列多项式分解因式.

（1）x2+9x+20.　　

（2）x2-7x+12.

（1）x2+9x+20=（x+4）（x+5）.

（2）x2-7x+12=（x-3）（x-4）.

1.分解因式：

（1）x2-7x-8.

（2）x2+3x-18.

（3）a2+7ab+12b2.

（4）（a+b）2-5（a+b）-14.

2.先阅读以下材料，然后解答问题.

分解因式mx+nx+my+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）；

也可以mx+nx+my+ny=（mx+my）+（nx+ny）=m（x+y）+n（x+y）=（m+n）（x+y）.

以上分解因式的方法称为分组分解法.请用分组分解法分解因式：

a3-b3+a2b-ab2.

3.观察下列分解因式的过程：

x2+2ax-3a2

=x2+2ax+a2-4a2（先加上a2，再减去a2）

=（x+a）2-4a2（运用完全平方公式）

=（x+a+2a）（x+a-2a）

=（x+3a）（x-a）.

像上面这样通过加减项配出完全平方式，把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法.请你用配方法分解因式：

x2-4xy+3y2.

跟踪训练答案解析

【跟踪训练】

1.【解析】选D.根据完全平方公式：

b）2可得，选项A，B，C都不能用完全平方公式进行分解因式，D选项x2+4x+4=（x+2）2.

2.【解析】

（x+3）2-（x+3）

=（x+3）（x+3-1）=（x+3）（x+2）.

（x+3）（x+2）

3.【解析】x4-4=（x2+2）（x2-2）=

（x2+2）（x+

）（x-

）.

）

4.【解析】x3y2-x5=x3（y2-x2）=x3（y-x）（y+x）.

x3（y-x）（y+x）

5.【解析】原式=-a

=-a

.

-a

6.【解析】如：

+

=

+（x+3x）+（-1+1）

=x2+4x=x（x+4）.

又如：

=x2+2x+1=（x+1）2.

1.【解析】m2-n2=（m+n）（m-n）=5×

2=10.

10

2.【解析】2m2+4mn+2n2-6=2（m+n）2-6.

∵m+n=3，∴2（m+n）2-6=2×

32-6=12.

1.【解析】

（1）x2-7x-8=（x-8）（x+1）.

（2）x2+3x-18=（x+6）（x-3）.

（3）a2+7ab+12b2=（a+3b）（a+4b）.

（4）（a+b）2-5（a+b）-14=（a+b-7）（a+b+2）.

2.【解析】a3-b3+a2b-ab2=（a3+a2b）-（b3+ab2）=a2（a+b）-b2（b+a）=（a+b）（a2-b2）

=（a+b）2（a-b）.

3.【解析】x2-4xy+3y2=x2-4xy+3y2+y2-y2

=x2-4xy+4y2-y2=（x-2y）2-y2

=[（x-2y）+y][（x-2y）-y]

=（x-y）（x-3y）.