高中数学苏教版选修44模块综合检测 Word版含答案Word文件下载.docx
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PB的值.
由条件,直线过点P(1,0),所以该直线的参数方程为
(t为参数).①
又椭圆的直角坐标方程为+y2=1.②
①代入②,整理,得
5t2-2t-6=0.
所以PA·
PB=|t1t2|=.
5.(本小题满分10分)在极坐标系中,圆C的方程为ρ=2sin,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),判断直线l和圆C的位置关系.
因为ρ=2sin=2(sinθ+cosθ),
所以ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ,
即圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
由消去参数t,得直线l的普通方程为y=2x+1.
故圆心到直线l距离d=<2,所以直线l和圆C相交.
6.(本小题满分10分)已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ,直线l的参数方程是(t为参数).
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设直线l与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求MN的最大值.
(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ,
又x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.
(2)将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得
y=-(x-2).
令y=0,得x=2,即M点的坐标为(2,0).
又曲线C为圆,圆C的圆心坐标为(0,1),
半径r=1,
则|MC|=,
∴MN≤MC+r=+1,
即MN的最大值为+1.
7.(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sinθ.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为(3,),求PA+PB.
(1)由ρ=2sinθ,得x2+y2-2y=0,即x2+(y-)2=5.
(2)法一:
将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得2+2=5,即t2-3t+4=0.
由于Δ=(3)2-4×
4=2>0,故可设方程两根为t1,t2,则t1+t2=3.又直线l过点P(3,),所以由上式及t的几何意义,得PA+PB=|t1|+|t2|=t1+t2=3.
法二:
直线的普通方程为y=-x+3+,代入圆的方程x2+(y-)2=5,得x2-3x+2=0,解得x=1,y=2+或x=2,y=1+.
不妨设A(1,2+),B(2,1+),则由P(3,),得PA+PB=+=3.
8.(本小题满分10分)已知直线l的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos.
(1)求直线l的倾斜角;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求AB.
(1)直线参数方程可以化为根据直线参数方程的意义,这条直线的倾斜角为60°
.
(2)l的直角坐标方程为y=x+,
ρ=2cos(θ-)的直角坐标方程为2+(y-)2=1,
∴圆心到直线l的距离d=,
∴AB=2=.
9.(本小题满分10分)(福建高考)在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),,圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)设P为线段MN的中点,求直线OP的平面直角坐标方程;
(2)判断直线l与圆C的位置关系.
(1)由题意知,M,N的平面直角坐标分别为(2,0),,
又P为线段MN的中点,从而点P的平面直角坐标为,
故直线OP的平面直角坐标方程为y=x.
(2)因为直线l上两点M,N的平面直角坐标分别为(2,0),,
所以直线l的平面直角坐标方程为x+3y-2=0.
又圆C的圆心坐标为(2,-),半径r=2,
圆心到直线l的距离d==<
r,故直线l与圆C相交.
10.(本小题满分10分)已知曲线C的极坐标方程是ρ2-4ρ·
cos+6=0.
(1)求出圆C的圆心的极坐标以及半径的大小;
(2)若点P(x,y)在圆上,求使不等式2x+y+c≥0恒成立的实数c的取值范围.
(1)圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x-4y+6=0,即(x-2)2+(y-2)2=2.圆心为(2,2),化为极坐标为,半径为.
(2)圆C的参数方程为
由不等式2x+y+c≥0即2(2+cosα)+2+sinα+c≥0恒成立,得c≥-(sinα+2cosα+6),
所以c≥-6=-6.
B卷[对应学生用书P35]
(时间:
100分钟 满分:
100分)
1.(本小题满分10分)在平面直角坐标系中,圆C的参数方程为(θ为参数,r>0),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos=2,若直线l与圆C相切,求r的值.
直线的极坐标方程可化为ρcosθ-ρsinθ=4,所以它的直角坐标方程为x-y-4=0.
圆的普通方程为(x+1)2+y2=r2.
由题意,得r==.
2.(本小题满分10分)已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),求直线l与曲线C相交所得的弦长.
圆C的直角坐标方程为x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4.
直线的普通方程式为y=2x+1,即2x-y+1=0.
圆心C(0,2)到直线l的距离d==<2,所以直线l截圆所得弦长为2=.
3.(本小题满分10分)在极坐标系中,已知圆C:
ρ=2cosθ和直线l:
θ=(ρ∈R)相交于A,B两点,求线段AB的长.
法一:
圆C:
ρ=2cosθ的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-)2+y2=2.
直线l:
θ=(ρ∈R)的直角坐标方程为y=x.
圆心C到直线l的距离d==1.
所以AB的长为2.
θ=(ρ∈R)的直角坐标方程分别为x2+y2-2x=0和y=x.
解方程组
得或
所以A,B两点的坐标为(0,0),(,),
4.(本小题满分10分)经过点A,倾斜角为α的直线l与圆x2+y2=25相交于B,C两点.
(1)求弦BC的长;
(2)求弦BC的中点M的轨迹方程;
(3)如果A为BC的中点,求直线BC的方程;
(4)若BC=8,求直线BC的方程.
设直线l的方程为代入圆的方程x2+y2=25,得t2-3(2cosα+sinα)t-=0.因为Δ=9(2cosα+sinα)2+55>0,所以方程必有两个不同的实数根t1和t2,且t1+t2=3(2cosα+sinα),t1t2=-.
(1)BC=|t1-t2|=
=.
(2)因为弦BC的中点M对应的参数t==(2cosα+sinα),故点M的轨迹的参数方程是
(α为参数,0≤α<π).
(3)因为A是中点,故t1+t2=0,所以2cosα+sinα=0,tanα=-2,所以弦BC的方程为4x+2y+15=0.
(4)因为BC=8,所以=8,即3cos2α+4sinαcosα=0,
所以cosα=0或tanα=-,
因此直线BC的方程是x=-3或3x+4y+15=0.
5.(本小题满分10分)在极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ=cos,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),
求直线l被圆C所截得的弦长.
曲线C的极坐标方程ρ=cos可化为ρ=cosθ-sinθ,化为直角坐标方程为x2+y2-x+y=0,即2+2=.
(t为参数),可化为3x+4y+1=0.
所以圆心到直线的距离d==.
因此弦长为2=.
6.(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为(α为参数).
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为,判断点P与直线l的位置关系;
(2)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标,
得P(0,4).
因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x-y+4=0,所以点P在直线l上.
(2)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为(cosα,sinα),从而点Q到直线l的距离为
d=
==cos+2.
由此得,当cos=-1时,d取得最小值,且最小值为.
7.(本小题满分10分)已知曲线C:
3x2+4y2-6=0(y≥0).
(1)写出曲线C的参数方程;
(2)若动点P(x,y)在曲线C上,求z=x+2y的最大值与最小值.
(1)(0≤θ≤π,θ为参数).
(2)设点P的坐标为,(0≤θ≤π),则z=x+2y=cosθ+sinθ
=2
=2sin.
∵0≤θ≤π,
∴≤θ+≤.
∴-≤sin≤1.
∴当sin=-,即θ=π时,z=x+2y取得最小值是-;
当sin=1,即θ=时,z=x+2y取得最大值是2.
8.(本小题满分10分)(辽宁高考)在直角坐标系xOy中,圆C1:
x2+y2=4,圆C2:
(x-2)2+y2=4.
(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.
(1)圆C1的极坐标方程为ρ=2,
圆C2的极坐标方程ρ=4cosθ.
解得ρ=2,θ=±
,
故圆C1与圆C2交点的坐标为,.
注:
极坐标系下点的表示不唯一.
由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1,),(1,-).
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为
-≤t≤.
将x=1代入得ρcosθ=1,
从而ρ=.
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
-≤θ≤.
9.(本小题满分10分)在直角坐标平面内,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的参数方程为(α为参数),曲线D的极坐标方程为ρsin=-.
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程;
(2)判断曲线C与曲线D的交点个数,并说明理由.
(1)由已知得
消去参数α,得曲线C的普通方程为x2=-,x∈[-1,1].
(2)由ρsin(θ-)=-得曲线D的直角坐标方程为x-y-3=0,
由消去y,得2x2+x-3=0,
解得x=-(舍去)或x=1.当x=1时,y=-2.
故曲线C与曲线D只有一个交点.
10.(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(α为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l的极坐标方程为ρsin=.
(1)求直线l的直角坐标方程;
(2)设直线l与圆C交于点A,B,与x轴交于点P,求PA+PB的值.
(1)由ρsin=,
得ρ=,
所以y-x=,
即直线l的直角坐标方程为x-y+2=0.
(2)圆C的普通方程为(x-2)2+(y-3)2=1,①
∵P(-2,0),
∴直线l的参数方程为
(t为参数).②
把②代入①并整理,得到t2-7t+24=0.
由于Δ=(-7)2-4×
24=2>
0,故可设t1,t2是上述方程的两实根,
所以t1+t2=7,t1t2=24.
故由t的几何意义得PA+PB=t1+t2=7.