任意正多边形小孔夫琅禾费衍射成像探讨docWord格式文档下载.docx

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DepartmentofPhysics,BeijingNormal

University:

Abstract：

BasedonthegeneralformofFraunhoferdiffractionintegral,thecalculativemethodtoanalyzearbitraryregularpolygonFraunhoferdiffractionwasputforward.UsingtheMatlabsoftware,computersimulationwascarriedout,attemptingtogetal1possibleFraunhoferdiffractionimagingoftheregularpolygonholewithjustonefunctionfile.

Keyword：

regularpolygonhole;

Fraunhoferdiffraction;

Mat1ab;

Received：

2017-06-05

1理论基础

光的衍射现象能体现光的波动性，即光在直线传播中遇到圆孔、小球、直边等障碍物时，不被挡住反而绕到其后面传播，进入光强不应为零的暗区［1-2］.惠更斯-菲涅耳原理以波动理论解释光如何传播，指出波阵面上每一点均为次波源，这些次波的包络面即为新波面.

设衍射平面上有1束波长为入的平面波垂直入射，衍射平面到与之平行的观察平面之间的距离为z,衍射平面上的P（xo,y。

）点与观察平面上的Q（x,y）点

2兀

k=T

间的距离为r.U。

（x。

，y。

）和U（x,y）分别表示P和Q点的光场，八,则

有

U（x,y）=

CU°

（们以（））K（0）

其中C为比例系数，K（。

）为倾斜因子［当9增大时，K（9）缓慢减小］,£

为平面波的1个波面［3］.

索末菲使用恰当的格林函数，从光的波动方程得到瑞利-索末菲衍射公式及

K（0）二cos。

的结论.

=—Uq（）--cosOd.

1AJJxr

而cose精确值为g"

r，则

U（z，w）=《Uo（Zo以0）—djc0dj^（

r=J.?

+（z—们）？

+（丁一义）2

其中，距离

在通常的光学处理系统中，Z应远远大于衍射小孔和观察区域的最大线度，且从P到Q点的距离应远远大于光的波长，即r入，相当于用平面波的振幅替代球面波前在观察平面上产生的复振幅[3].易推知。

应为小量，则有

K（0）=cosOr1.

虽然（3）式分母中的r可以直接用z代替，但不能忽略的是，当入很小时，k值很大，指数中的r的微小误差可能引入远大于2JI的相位变化，使之不可以直接用z代替.对其做二项式展开[4]

保留展开式的前两项，有

厂2z[l+歹（=）+歹（=）-・（6）

于是得到了菲涅耳衍射积分

U（z,y）=。

。

（工0，弘）云0%＞如尸.寸2cLr°

dyo.

（7）

从二项式展开式中弃去高次项所引入的误差越小，则菲涅耳近似的精度越高.要

求该误差所表示的最大相位变化1rad，,即距离z满足L》

77[（X—Xo）+（丁一No）]3x

4A,此区域称为菲涅耳衍射区[5].

考虑另一近似以便于计算.采用夫琅禾费近似，即'

2,那么

—[_xl+y2J：

"

'

在整个孔径上近似等于0,使得X。

和y。

的平方项的影响可忽略.因此在夫琅禾费衍射区内有

•k,2,2.

Uq（jfo,j/（））e

—8

\kz"

歹（工iv）ee2z-

iXz

即在夫琅禾费衍射区内观察平面上的夫琅禾费衍射积分公式的一般形式.

2计算原理

2.1计算思路

如图1所示，由于正多边形的中心对称性，对于正L边形的小孔，只需要计算出1个小三角形的衍射场分布，将其进行L-1次坐标旋转变换，随后将其全部相加,就能获得任意正多边形小孔的夫琅禾费衍射成像.此前的衍射成像模拟程序都局

限在某个特定形状小孔上，而在这种思路的指导下，本文做出了只用1个函数文件计算出所有可能的多边形小孔夫琅禾费衍射成像的尝试.

图1正多边形由多个小三角形组成下载原图

2.2等腰三角形孔的夫琅禾费衍射

设衍射屏是等腰三角形孔，如图2所示，其顶角为底边长为a.单位振幅的

_0x_y

m—tan—9w=：

—,衫=六・

平面光波垂直入射时，令」人°

图2等腰三角形孔下载原图

设而’，则根据式（8）可得:

2.3正多边形孔的夫琅禾费衍射

如果衍射屏为边长为a的正n边形孔（如图3）,则以其几何中心为原点，建立坐标系.由于S=S]+&

+・・・+Sn,这样夫琅禾费衍射积分就可以分别在这n个三角形区域进行，由于这n个三角形是全等的，其积分结果应当对称•可从&

的衍射结果式（9）出发，依次绕z轴旋转9角，即对式（9）依次作下列坐标变换：

x-*xcos9+）sin们

U（z—）=

最后可得*-■,观察屏上的光强分布为I（X,y）=U（x,y）U（x,

y）.

由此，得到了正多边形小孔的夫琅禾费衍射的计算方法.原则上存在任意多边形孔的夫琅禾费衍射公式，但是将每个都计算出来极其繁琐且不具操作性.因此，不妨考虑用计算机程序模拟的方法解决这个问题.

图3正n边形孔下载原图

3Matlab模拟

3.1程序

根据以上计算分析编写夫朗禾费任意多边形小孔衍射仿真函数文件（运行环境:

MatlabR2014b）[6]:

functiondbx（L）%L是边数

thc-pi*（L-2）L：

%多边形的外角

mtan（（pHhe）/2）i%等腰小：

角形顶角的1/2

a=3e-5；

lamda=500e-9:

%光的波长

z=6；

%衍射屏到观察屏的距离

k2*pilanula:

ha/（2*m*lanula*z）；

x=~l20.005:

1；

y=—1s0.005s1:

fori=1s1s401

forj=1s1:

401

forn=1JL

Ca*exp（（-l）-（l/2）*k*z）*exp（（-1）•（1/2）*k*

（（x（i））*2+（y（j））*2）/2/z）/（4★pi*m*y（j））;

alpha=h*（x（i）+m*y（j））;

beta=h*（x（i）-m*

El（n<

ij）=C*（cxp（-<

-l）"

（1/2）*pi*alpha）*sin（alpha）/alpha-exp（-（-1）*（1/2）*pi*beta）*sin（beta）/beta）,%单个小三角形的衍射场

Mi）=x（i）；

%x和y分别转过一角度x（i）=x（i）*cos（lhe）4y（j）★sin（the）;

y（j）=-u（i）*sin（the）+y（j）*cos（the）:

end

E（iJ）=sum（El（:

.i・j））3%L个小三角形相加

I（ifj）-abs（E（iJ）r2i%求光强

encl

m=max（I（:

））；

n=min（I（:

10=（I-n）/（m-n）:

figure

（1）

imshowClO）%画图

figure

（2）mesh（I）

3.2运行结果

3.2.1正三角形小孔

在指令窗口输入“〉〉dbx（3）”得到图像如图4所示.

3.2.2正四边形小孔

在指令窗口输入“〉〉dbx（4）”，得到图像如图5所示.

（a）

图4正三角形小孔衍射图样下载原图

1.5

（b）

a

图5正四边形小孔衍射图样下载原图

3.2.3正五边形小孔

在指令窗口输入“〉〉dbx（5）”，得到图像如图6所示.

3.2.4正六边形小孔

在指令窗口输入“〉〉dbx（6）”，得到图像如图7所示.

图6正五边形小孔衍射图样下载原图

65432loo

40

（poto【m

图7正六边形小孔衍射图样下载原图

4结束语

在当今社会，计算机技术迅猛发展并口臻完善，基于Matlab的计算机模拟技术对物理研究的帮助日趋显著.由计算机模拟结果可见，衍射图样为旋转对称图形,且在正多边形各边的垂直方向上光强较强;

边数越多，光强较强的区域越密集.不难推断，当n—8时，光强分布为圆形亮斑外套着明暗相间的圆环，即圆孔的夫琅禾费衍射图样.可以看到，计算机模拟的正五边形的衍射图样由于排布十分密集，已经接近圆孔的夫琅禾费衍射图样.

参考文献

[1]姚启钧.光学教程5版.北京:

高等教育出版社，2014.

[2]加塔克•光学[M].梁铃廷，胡宏章，译.北京:

机械工业出版社，1984:

74-85.

[3]厉江帆，姜宗福，黄春佳，等.夫琅禾费衍射公式的一般形式[J].大学物理，2003,22（11）:

9-14.

[4]于爱军.光的多边形衍射的计算机模拟[D].大连:

大连理工大学，2007.

[5]JosephWG.IntroductiontoFourieroptics[M].北京：

电子工业出版社,2006:

59-67.

[6]彭芳麟.计算物理基础[M].5版.北京:

高等教育出版社,2010.